1、7.2空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 1四个公理、三个推论 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过 这个公共点的一条直线 公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面 推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论
2、 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2空间两条直线的位置关系 (1)位置关系的分类 分类： 共面直线 平行直线 相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 定理： 过平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 (2)异面直线所成的角 定义： 设 a， b 是异面直线，经过空间任一点 O，作直线 aa， bb，把直线 a与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围： 0， 2 . 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等 3直线与平面的
3、位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况 4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况 微思考 1分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？ 提示不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内分别在两个不同平面内的两条直线可 能平行或相交或异面 2平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？ 提示平行或相交 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)有三个公共点的两个平面必重合() (2)三条两两相交的直线确定一个平面() (3)若 Al，Bl，且 A，B，则 l.() (4)如果两个不重合的平面，有一条公共直线 a，就
4、说平面，相交，记作a.() 题组二教材改编 2.如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成角的大小为() A30B45C60D90 答案C 解析连结 B1D1， D1C(图略)， 则 B1D1EF， 故D1B1C 即为所求的角 又 B1D1B1CD1C， B1D1C 为等边三角形，D1B1C60. 3如果直线 a平面，直线 b平面.且，则 a 与 b() A共面B平行 C是异面直线D可能平行，也可能是异面直线 答案D 解析，说明 a 与 b 无公共点， a 与 b 可能平行也可能是异面直线 4两两平行的三条直线可确定_
5、个平面 答案1 或 3 解析若三条直线在同一平面内，则确定 1 个平面若三条直线不共面，则确定 3 个平面 题组三易错自纠 5若直线 ab，且直线 a平面，则直线 b 与平面的位置关系是() AbBb Cb或 bDb 与相交或 b或 b 答案D 解析由题意知，b 与的位置关系可能是 b，b 与相交或 b. 6下列关于异面直线的说法正确的是_(填序号)若 a，b，则 a 与 b 是异面 直线； 若 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 异面； 若 a，b 不同在平面内，则 a 与 b 异面； 若 a，b 不同在任何一个平面内，则 a 与 b 异面 答案 解析a，b，则 a 与 b
6、可能平行，异面或相交 a 与 b 异面，b 与 c 异面，则 a 与 c 平行、相交或异面 a，b 不同在内，则 a 与 b 异面或平行 由异面直线的定义可知正确. 题型一 平面基本性质的应用 例 1 如图所示， 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别为 D1C1， C1B1的中点， ACBD P，A1C1EFQ.求证： (1)D，B，F，E 四点共面； (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，则 P，Q，R 三点共线 证明(1)EF 是D1B1C1的中位线，EFB1D1. 在正方体 AC1中，B1D1BD，EFBD. EF，BD 确定一个平面，即 D，B，F，E
7、四点共面 (2)在正方体 AC1中，设平面 A1ACC1为， 平面 BDEF 为. QA1C1，Q. 又 QEF，Q， 则 Q 是与的公共点，同理，P 是与的公共点， PQ. 又 A1CR，RA1C. R，且 R， 则 RPQ，故 P，Q，R 三点共线 思维升华 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内 (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上 (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 跟踪训练 1 如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB 和 BC
8、 上的点，G，H 分别是 CD 和 AD 上的点若 EH 与 FG 相交于点 K. 求证：EH，BD，FG 三条直线相交于同一点 证明因为 KEH， EH平面 ABD， 所以 K平面 ABD， 同理 K平面 CBD， 而平面 ABD 平面 CBDBD，因此 KBD，所以 EH，BD，FG 三条直线相交于同一点 题型二 判断空间两直线的位置关系 例 2 (1)是一个平面，m，n 是两条直线，A 是一个点，若 m，n，且 Am，A，则 m，n 的位置关系不可能是() A垂直B相交C异面D平行 答案D 解析依题意，mA，n， m 与 n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行 (2)已知在长
9、方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是长方形 A1B1C1D1与长方形 BCC1B1的中 心，则下列说法正确的是() A直线 MN 与直线 A1B 是异面直线 B直线 MN 与直线 DD1相交 C直线 MN 与直线 AC1是异面直线 D直线 MN 与直线 A1C 平行 答案C 解析如图， 因为 M，N 分别是长方形 A1B1C1D1与长方形 BCC1B1的中心，所以 M，N 分别是 A1C1，BC1 的中点，所以直线 MN 与直线 A1B 平行，所以 A 错误； 因为直线 MN 经过平面 BB1D1D 内一点 M，且点 M 不在直线 DD1上， 所以直线 MN 与直线 DD1是异面直
10、线，所以 B 错误； 因为直线 MN 经过平面 ABC1内一点 N，且点 N 不在直线 AC1上， 所以直线 MN 与直线 AC1是异面直线，所以 C 正确； 因为直线 MN 经过平面 A1CC1内一点 M，且点 M 不在直线 A1C 上，所以直线 MN 与直线 A1C 是异面直线，所以 D 错误 思维升华 (1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常 借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系 (2)对异面直线的判定常用到以下结论： 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过 点 B 的直线是异面直线 跟踪训练 2 (
11、1)空间中有三条线段 AB，BC，CD，且ABCBCD，那么直线 AB 与 CD 的 位置关系是() A平行 B异面 C相交或平行 D平行或异面或相交均有可能 答案D 解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能， 如图可知 AB，CD 有相交，平行，异面三种情况 (2)如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个 结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论序号都填上) 答案 解析因
12、为点 A 在平面 CDD1C1外，点 M 在平面 CDD1C1内，直线 CC1在平面 CDD1C1内， CC1不过点M， 所以AM与CC1是异面直线， 故错； 取DD1中点E， 连结AE(图略)， 则BNAE， 但 AE 与 AM 相交，故错；因为 B1与 BN 都在平面 BCC1B1内，M 在平面 BCC1B1外，BN 不过点 B1，所以 BN 与 MB1是异面直线，故正确；同理正确，故填. 题型三 求两条异面直线所成的角 例 3 (2021青岛模拟)如图， 在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA12AB2，则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为(
13、) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 答案D 解析连结 BC1， 易证 BC1AD1， 则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角 连结 A1C1， 由 AB1，AA12，易得 A1C1 2，A1BBC1 5，故 cosA1BC1A1B 2BC2 1A1C21 2A1BBC1 4 5， 即异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为4 5. 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角 (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角 (3)三求：解三角形，求出所作的角 跟踪训练 3 (2018全国)在长方体 ABCDA1
14、B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为() A.1 5 B. 5 6 C. 5 5 D. 2 2 答案C 解析如图，连结 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连结 DM，OM.易知 O 为 BD1的中 点，所以 AD1OM，则MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角或其补角因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3， AD1 AD2DD212， DMAD2 1 2AB 2 5 2 ， DB1 AB2AD2BB21 5. 所以 OM1 2AD 11，OD1 2DB 1 5 2 ， 于是在DMO 中，由余弦定理， 得
15、 cosMOD 12 5 2 2 5 2 2 21 5 2 5 5 ， 即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 课时精练课时精练 1(2021上海市松江区模拟)给出以下四个命题： 依次首尾相接的四条线段必共面； 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； 垂直于同一直线的两条直线必平行 其中正确命题的个数是() A0B1C2D3 答案B 解析中，空间四边形的四条线段不共面，故错误 中，由公理 2 知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故正确 中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另
16、一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故错误 中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故错误 2已知平面，两两垂直，直线 a，b，c 满足：a，b，c，则直线 a，b，c 不 可能满足以下哪种关系() A两两垂直B两两平行 C两两相交D两两异面 答案B 解析设l，且 l 与 a，b 均不重合， 假设 abc，由 ab 可得 a，b， 又l，可知 al，bl， 又 abc，可得 cl， 因为，两两互相垂直，可知 l 与相交， 即 l 与 c 相交或异面 若 l 与 a 或 b 重合，同理可得 l 与 c 相交或异面， 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 3.
17、如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面 ABC 与平面 的交线是() A直线 AC B直线 AB C直线 CD D直线 BC 答案C 解析由题意知，Dl，l，所以 D， 又因为 DAB，所以 D平面 ABC， 所以点 D 在平面 ABC 与平面的交线上 又因为 C平面 ABC，C， 所以点 C 在平面与平面 ABC 的交线上， 所以平面 ABC平面CD. 4.在如图所示的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是棱 B1B，AD 的中点，则直线 BF 与 平面 AD1E 的位置关系是() A平行 B相交但不垂直 C垂直 D异面 答案A 解析如图，取 AD1的中点 O
18、，连结 OE，OF，则 OFBE，OFBE， 四边形 BFOE 是平行四边形， BFOE， BF平面 AD1E，OE平面 AD1E， BF平面 AD1E. 5(多选)(2020全国改编)下列四个命题中是真命题的为() A两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B过空间中任意三点有且仅有一个平面 C若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D若直线 l平面，直线 m平面，则 ml 答案AD 解析对于 A，可设 l1与 l2相交，这两条直线确定的平面为； 若 l3与 l1相交，则交点 A 在平面内， 同理，l3与 l2的交点 B 也在平面内， 所以，AB，即 l3，A 为真命题； 对于 B，若
19、三点共线，则过这三个点的平面有无数个， 故 B 为假命题； 对于 C，两条直线有可能平行也有可能异面， 故 C 为假命题； 对于 D，若直线 m平面， 则 m 垂直于平面内所有直线， 因为直线 l平面， 所以直线 m直线 l， D 为真命题 6 (多选)如图所示， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点， 直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论正确的是() AA，M，O 三点共线BA，M，O，A1共面 CA，M，C，O 共面DB，B1，O，M 共面 答案ABC 解析MA1C，A1C平面 A1ACC1， M平面 A1ACC1， 又M平面 AB1D1， M
20、在平面 AB1D1与平面 A1ACC1的交线 AO 上， 即 A，M，O 三点共线， A，M，O，A1共面且 A，M，C，O 共面， 平面 BB1D1D平面 AB1D1B1D1， M 在平面 BB1D1D 外， 即 B，B1，O，M 不共面，故选 A，B，C. 7如图，G，H，M，N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线 GH，MN 是异面直 线的图形有_(填序号) 答案 解析中 GHMN； 中，G，H，N 三点共面，但 M平面 GHN，因此 GH，MN 是异面直线； 中连结 GM，GMHN 且 GMHN，所以直线 GH 与 MN 必相交； 中，G，M，N 三点共面，但 H平面 GMN，
21、因此 GH，MN 是异面直线 8.如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，C1是圆柱上底 面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为_ 答案2 解析取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连结 C1D，AD， 因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， 所以 ADBC，所以直线 AC1与 AD 所成的角即为异面直线 AC1与 BC 所成的角，因为 C1是 圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D 垂直于圆柱下底面，所以 C1DAD. 因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， 所以 C1D 2AD， 所以直线 AC1与 AD 所成角
22、的正切值为 2， 所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2. 9.(2021西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N 分别为 DE，BE，EF，EC 的中点，在这个正四面体中，GH 与 EF 平行；BD 与 MN 为异面直线；GH 与 MN 成 60角；DE 与 MN 垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是_ 答案 解析还原成正四面体 ADEF，其中 H 与 N 重合，A，B，C 三点重合 易知 GH 与 EF 异面，BD 与 MN 异面 又GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角， 易证 DEAF，MNAF，MNDE. 因此正确的序号是. 10已知下列说法：
23、若两个平面，a，b，则 ab； 若两个平面，a，b，则 a 与 b 是异面直线； 若两个平面，a，b，则 a 与 b 一定不相交； 若两个平面，a，b，则 a 与 b 平行或异面； 若两个平面b，a，则 a 与一定相交 其中正确的序号是_(将你认为正确的序号都填上) 答案 解析错a 与 b 也可能异面 错a 与 b 也可能平行 对，与无公共点， 又a，b，a 与 b 无公共点 对由已知及知，a 与 b 无公共点， 那么 ab 或 a 与 b 异面 错a 与也可能平行 11.如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，BAD FAB90，BCAD 且
24、BC1 2AD，BEAF 且 BE 1 2AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明由已知 FGGA，FHHD， 可得 GH 綊 1 2AD.又 BC 綊 1 2AD，GH 綊 BC. 四边形 BCHG 为平行四边形 (2)解BE 綊 1 2AF，G 是 FA 的中点， BE 綊 FG，四边形 BEFG 为平行四边形，EFBG. 由(1)知 BG 綊 CH，EFCH， EF 与 CH 共面 又 DFH，C，D，F，E 四点共面 12.已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC20，BD19，异面
25、直线 AC 与 BD 所成角的余弦值 为18 19，点 P，Q，M，N 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点 (1)求证：四边形 PQMN 是平行四边形； (2)求四边形 PQMN 的面积 (1)证明因为 P，Q 分别是 AB，BC 的中点， 所以 PQAC，且 PQ1 2AC， 同理 MNAC，且 MN1 2AC， 所以 PQMN，PQMN， 所以四边形 PQMN 是平行四边形 (2)解因为 P，N 分别是 AB，AD 的中点， 所以 PNBD，PN1 2BD 19 2 ， 又因为 PQAC， 所以 PQ 与 PN 所成的角就是异面直线 AC，BD 所成的角， 所以 sinQPN 1cos
26、2QPN1 18 19 2 37 19 ， 所以四边形 PQMN 的面积为 SPQPNsinQPN1019 2 37 19 5 37. 13(2019全国)如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，ECD 为正三角形，平面 ECD平 面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则() ABMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 BBMEN，且直线 BM，EN 是相交直线 CBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 DBMEN，且直线 BM，EN 是异面直线 答案B 解析如图，取 CD 的中点 O，连结 ON，EO，因为ECD 为正三角形，所以 EOCD，又 平面 ECD平面 ABCD， 平面 EC
27、D平面 ABCDCD， 所以 EO平面 ABCD.设正方形 ABCD 的边长为 2，则 EO 3，ON1，所以 EN2EO2ON24，得 EN2.过 M 作 CD 的垂线， 垂足为 P，连结 BP，则 MP 3 2 ，CP3 2，所以 BM 2MP2BP2 3 2 2 3 2 2227，得 BM 7，所以 BMEN.连结 BD，BE，因为四边形 ABCD 为正方形，所以 N 为 BD 的中点， 即 EN，MB 均在平面 BDE 内，所以直线 BM，EN 是相交直线 14已知球 O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)ABCD 的外接 球，BC3，AB2 3，点 E 在线段
28、BD 上，且 BD3BE，过点 E 作球 O 的截面，则所得的 截面中面积最小的截面圆的面积是_ 答案2 解析如图，设BDC 的中心为 O1，球 O 的半径为 R， 连结 AO1，O1D，OD，O1E，OE， 则 O1D3sin 602 3 3， AO1 AD2DO213， 在 RtOO1D 中， R23(3R)2，解得 R2， BD3BE，DE2，在DEO1中，O1E 342 32cos 301， OE O1E2OO21 2， 过点 E 作球 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面圆的面积最小， 此时截面圆的半径为 22 22 2， 面积为 2. 15已知正方体 ABCDA1B1C1D1的
29、棱长为 3 2，E，F 分别为 BC，CD 的中点，P 是线段 A1B 上的动点，C1P 与平面 D1EF 的交点 Q 的轨迹长为() A3B. 13C4D3 2 答案B 解析如图所示，连结 EF，A1B，连结 A1C1，B1D1交于点 M，连结 B1E，BC1交于点 N， 由 EFB1D1，即 E，F，B1，D1共面， 由 P 是线段 A1B 上的动点，当 P 重合于 A1或 B 时， C1A1，C1B 与平面 D1EF 的交点分别为 M，N， 即 Q 的轨迹为 MN， 由棱长为 3 2， 得 C1M1 2A 1C13, 则 BC16， 又 BE B1C1 BN NC1 1 2， 则 NC1
30、2 3BC 14， 由 A1BBC1A1C1，得A1C1B60， 则 MN MC21NC212MC1NC1cosA1C1B9162341 2 13. 16 如图 1， 在边长为 4 的正三角形 ABC 中， D， F 分别为 AB， AC 的中点， E 为 AD 的中点 将 BCD 与AEF 分别沿 CD，EF 同侧折起，使得二面角 AEFD 与二面角 BCDE 的 大小都等于 90，得到如图 2 所示的多面体 (1)在多面体中，求证： A，B，D，E 四点共面； (2)求多面体的体积 (1)证明因为二面角 AEFD 的大小等于 90， 所以平面 AEF平面 DEFC， 又 AEEF，AE平面 AEF，平面 AEF平面 DEFCEF， 所以 AE平面 DEFC， 同理，可得 BD平面 DEFC， 所以 AEBD，故 A，B，D，E 四点共面 (2)解因为 AE平面 DEFC，BD平面 DEFC,EFCD，AEBD，DECD， 所以 AE 是四棱锥 ACDEF 的高，点 A 到平面 BCD 的距离等于点 E 到平面 BCD 的距离， 又 AEDE1，CD2 3，EF 3，BD2， 所以 VVACDEFVABCD1 3S 梯形CDEFAE1 3S BCDDE7 3 6 .
