1、1.3全称量词与存在量词全称量词与存在量词 考试要求1.理解全称量词和存在量词的意义.2.能正确地对含一个量词的命题进行否定 1全称量词和存在量词 (1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词， 用符号“”表示 (2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量 词，用符号“”表示 2全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定 命题名称语言表示符号表示命题的否定 全称命题 对 M 中任意一个 x， 有 p(x)成立 xM，p(x)xM，綈 p(x) 存在性命题 存在 M 中的一个 x， 使 p(x)成立 xM，p(x)x
2、M，綈 p(x) 微思考 1怎样判断一个存在性命题是真命题？ 提示要判定存在性命题“xM，P(x)”，只需在集合 M 找到一个 x，使 P(x)成立即可 2命题 p 和綈 p 可否同时为真，思考一下此结论在解题中的作用？ 提示命题 p 和綈 p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定 的真假 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)至少有一个三角形的内角和为是全称命题() (2)“全等三角形的面积相等”是存在性命题() (3)写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词() 题组二教材改编 2命题“xR，x2x10”的否定是_ 答案xR，x
3、2x10 3命题“xN，x20”的否定是_ 答案xN，x20 4命题“对于函数 f(x)x2a x(aR)，存在 aR，使得 f(x)是偶函数”为_命题(填 “真”或“假”) 答案真 解析当 a0 时，f(x)x2(x0)为偶函数 题组三易错自纠 5(多选)下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有() AxR，x2x1 40，所以 AC 均为存在性命题且为假命题，故选 AC. 6若命题“tR，t22ta0”是假命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，1 解析命题“tR，t22ta2 答案B 解析A 中锐角三角形的内角都是锐角， 所以 A 是假命题； B 中当 x0 时， x20， 满足 x
4、20， 所以 B 既是存在性命题又是真命题； C 中因为 2( 2)0 不是无理数， 所以 C 是假命题； D 中对于任意一个负数 x，都有1 x2，所以 D 是假命题 (2)下列四个命题： x(0，)， 1 2 x 1 2 log x； x 0，1 3 ， 1 2 x 1 3 x成立，故是假命题； 对于，当 x1 2时，有 1 111 233 111 logloglog 232 成立，故是真命题； 对于，当 0 x1 1 2 x，故是假命题； 对于，x 0，1 3 ， 1 2 x10 BxN*，(x1)20 CxR，lg x1DxR，tan x2 答案B 解析当 xN*时，x1N，可得(x1
5、)20，当且仅当 x1 时取等号，故 B 不正确；易知 A，C，D 正确，故选 B. (2)已知函数 f(x) 1 2 x，则() AxR，f(x)0 Bx(0，)，f(x)0 Cx1，x20，)，fx1fx2 x1x2 f(x2) 答案B 解析幂函数 f(x) 1 2 x的值域为0，)，且在定义域上单调递增，故 A 错误，B 正确，C 错误，D 选项中当 x10 时，结论不成立 题型二 含有一个量词的命题的否定 1已知命题 p：“xR，exx10”，则綈 p 为() AxR，exx10BxR，exx10 CxR，exx10DxR，exx10 答案C 解析根据全称命题与存在性命题的否定关系，可
6、得綈 p 为“xR，exx10”，故选 C. 2(2020山东模拟)设命题 p：所有正方形都是平行四边形，则綈 p 为() A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不是平行四边形 答案C 解析“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈 p 为有的正方形不是平行四边形 3命题：“xR，sin xcos x2”的否定是_ 答案xR，sin xcos x2 4若命题 p 的否定是“对所有正数 x， xx1”，则命题 p 是_ 答案x(0，)， xx1 思维升华 对全称命题、存在性命题进行否定的方法
7、(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定 题型三 根据命题的真假求参数的取值范围 例 2 (1)已知命题 p：xR，x2a0；命题 q：xR，x22ax2a0.若命题 p，q 都 是真命题，则实数 a 的取值范围为_ 答案(，2 解析由命题 p 为真，得 a0，由命题 q 为真，得4a24(2a)0，即 a2 或 a1， 所以 a2. (2)已知 f(x)ln(x21)，g(x) 1 2 xm，若对x10,3，x21,2，使得 f(x1)g(x2)，则 实数 m 的取值范围是_ 答案 1 4， 解析当 x0,3时，f(x)min
8、f(0)0，当 x1,2时， g(x)ming(2)1 4m，由题意得 f(x) ming(x)min， 即 01 4m，所以 m 1 4. 本例中，若将“x21,2”改为“x21,2”，其他条件不变，则实数 m 的 取值范围是_ 答案 1 2， 解析当 x1,2时，g(x)maxg(1)1 2m， 由题意得 f(x)ming(x)max，即 01 2m，m 1 2. 思维升华 (1)已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围 (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， 可根据命题的含义， 利用函数值域(或最值) 解决 跟踪训练 2 (1)由命题“xR，x22x
9、m0”是假命题，求得实数 m 的取值范围是(a， )，则实数 a_. 答案1 解析由题意得命题“xR，x22xm0”是真命题，所以44m1， 故实数 m 的取值范围是(1，)，从而实数 a 的值为 1. (2)若 f(x)x22x，g(x)ax2(a0)，x11，2，x01,2，使 g(x1)f(x0)，则实 数 a 的取值范围是_ 答案 0，1 2 解析由于函数 g(x)在定义域1,2内是任意取值的， 且必存在 x01,2， 使得 g(x1)f(x0)， 因此问题等价于函数 g(x)的值域是函数 f(x)值域的子集函数 f(x)的值域是1,3，因为 a0， 所以函数 g(x)的值域是2a,2
10、2a，则有 2a1 且 22a3，即 a1 2.故 a 的取值范围 是 0，1 2 . 课时精练课时精练 1下列命题中是假命题的是() AxR，log2x0BxR，cos x1 CxR，x20DxR,2x0 答案C 解析因为 log210，cos 01，所以选项 A，B 均为真命题，020，选项 C 为假命题，2x0， 选项 D 为真命题，故选 C. 2(2021长沙期末)命题 p：“xN*， 1 2 x1 2”的否定为( ) AxN*， 1 2 x1 2 BxN*， 1 2 x1 2 CxN*， 1 2 x1 2 DxN*， 1 2 x1 2 答案D 解析命题 p 的否定是把“”改成“”，再
11、把“ 1 2 x1 2”改为“ 0 1 2 x 1 2”即可，故选 D. 3下列命题是真命题的是() A所有的素数都是奇数 BxR，x210 C对于每一个无理数 x，x2是有理数 DxZ，1 xZ 答案B 解析对于 A,2 是素数，但 2 不是奇数，A 假；对于 B，xR，总有 x20，则 x210 恒成立，B 真；对于 C， 是无理数，( )2还是无理数，C 假；对于 D,1Z，但1 11Z， D 假，故选 B. 4若命题 p：xR,2x210，则该命题的否定是() AxR,2x210BxR,2x210 CxR,2x210DxR,2x210 的否定是“xR，2x210” 5已知命题 p：x1
12、，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈 p 是() Ax1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0 Bx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0 Cx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0 Dx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0 答案C 解析已知全称命题 p：x1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0，则綈 p：x1，x2R，f(x2) f(x1)(x2x1)0”是真命题，则(a2) 2441 4a 24a0，解得 0a4，故选 D. 7(多选)下列命题为假命题的是() AxR，ln(x21)2,2xx2 C，R，sin()sin sin Dx(
13、0，)，sin xcos x 答案ABD 解析x211， ln(x21)ln 10， 故 A 为假命题； 当 x4 时，2xx2，故 B 为假命题； 当0 时，sin()0sin sin ， 故 C 为真命题； 当 x 6时，sin 60”的否定是“xR，x2x10”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件 D已知 f(x)在 x0处存在导数，则“f(x0)0”是“x0是函数 f(x)的极值点”的必要不充分条件 答案BC 解析对于 A，设 f(x)2x1 x，x(0,1)，因为 f(x)2 xln 21 x20，所以 f(x)在(0,1)上单调 递增，而 f 1 2 220，f 1 2
14、f(1)0”的否定是“xR，x2x10”，B 不正确； 对于 C，“函数 f(x)在(a，b)内 f(x)0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充分条件，C 不正确； 对于 D，因为 f(x)在 x0处存在导数，根据极值点的定义可知，“x0是函数 f(x)的极值点”可以 推出“f(x0)0”，但是“f(x0)0”不一定可以推出“x0是函数 f(x)的极值点”，比如函 数 f(x)x3在 x0 处有 f(0)0，但是 x0 不是函数 f(x)的极值点，D 正确 9(2020北京通州区模拟)已知命题“xR，x25x15 2 a0”的否定为假命题，则实数 a 的取值范围是_ 答案 5 6， 解析
15、由“xR，x25x15 2 a0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式 x25x15 2 a0 对任意实数 x 恒成立 设 f(x)x25x15 2 a，则其图象恒在 x 轴的上方 故25415 2 a5 6， 即实数 a 的取值范围为 5 6，. 10已知命题“xR，sin xa0”是真命题，则 a 的取值范围是_ 答案(，1 解析由题意，对xR，asin x 成立由于对xR，1sin x1，所以 a1. 11若命题“xR，kx2kx10”是真命题，则 k 的取值范围是_ 答案(4,0 解析“对xR，kx2kx10”是真命题， 当 k0 时，则有10； 当 k0 时，则有 k0 且
16、(k)24k(1)k24k0， 解得4kx3”的否定是“x(0,2)，3xx3”； 若 f(x)2x2 x，则xR，f(x)f(x)； 若 f(x)x 1 x1，则x(0，)，f(x)1. 其中真命题是_(将所有真命题的序号都填上) 答案 解析对于，命题“x(0,2)，3xx3”的否定是“x(0,2)，3xx3”，故为真命题； 对于，若 f(x)2x2 x，则xR，f(x)2x2x(2x2x)f(x)，故为真命题； 对于，对于函数 f(x)x 1 x1x1 1 x11211，x1，当且仅当 x0 时，f(x) 1，故为假命题故答案为. 13命题“xR，f(x)g(x)0”的否定是() AxR，
17、f(x)0 且 g(x)0 BxR，f(x)0 或 g(x)0 CxR，f(x)0 且 g(x)0 DxR，f(x)0 或 g(x)0 答案D 解析根据全称命题与存在性命题的互为否定的关系可得：命题“xR，f(x)g(x)0”的 否定是“xR，f(x)0 或 g(x)0”故选 D. 14若“x 1 2，2，使得 2x2x10 成立”是假命题，则实数的取值范围是_ 答案(，2 2 解析若“x 1 2，2，使得 2x2x12x1 x成立”是假命题， x 1 2，2，当 x 2 2 时，2x1 x取最小值 2 2， 故实数的取值范围为(，2 2 15(多选)下列命题正确的是() Ax0，ln x 1
18、 ln x2 B命题“x(0，)，ln xx1”的否定是“x(0，)，ln xx1” C设 x，yR，则“x2 且 y2”是“x2y24”的必要不充分条件 D设 a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件 答案ABD 解析当 x1 20 时，ln x0，ln x 1 ln xm(x21)，q：函数 f(x)4x2x1m1 存在零点若命题 p， q 一真一假，则实数 m 的取值范围是_ 答案 8 17，1 解析x 1 4， 1 2 ，2xm(x21)，即 m 2x x21 2 x1 x 在 1 4， 1 2 上恒成立，当 x1 4时， x1 xmax 17 4 ， 2x x21min 8 17，若 p 为真，则 m0，所以若 q 为真，则 m1.又命题 p，q 一真一假， 则 m 8 17， m1 或 m 8 17， m1， 解得 8 17m1. 故所求实数 m 的取值范围是 8 17，1.
