1、大一轮复习讲义 第二章函数概念与基本初等函数 2.2函数的基本性质 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值， 理解实际意义. 2.了解函数奇偶性的含义. 3.结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义. 考试要求 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 知识梳理 1.函数的单调性函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1，x2 当
2、x1x2时，都有，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1x2时，都有， 那么就说函数f(x)在区间D上 是减函数 f(x1)f(x2) 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数yf(x)在 这一区间具有(严格的)单调性， 叫做yf(x)的单调区间. 增函数减函数 区间D 2.函数的最值函数的最值 前提一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)对于任意的xI，都 有； (2)存在x0I，使得_ (1)对于任意的xI，都有 ； (2)存在x0I，使得_ 结论M为最大
3、值M为最小值 f(x)M f(x0)M f(x)M f(x0)M 3.函数的奇偶性函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有，那么函数f(x)就叫做 偶函数 关于对称 奇函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x，都有，那么函数f(x)就 叫做奇函数 关于 对称 f(x)f(x)y轴 f(x)f(x)原点 4.周期性周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的任何值时，都有，那么就称函数yf(x)为周期 函数，非零常数T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)
4、的所有周期中存在一个 的正数， 那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. f(xT)f(x) 最小 最小正数 微思考 1.函数yf(x)满足x1，x2D，x1x2， 0(0(0)f(x)在D上单调递增(单调递减). 2.奇函数、偶函数在关于原点对称的区间上的单调性是怎样的？ 提示奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在 关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数y 的单调递减区间是(，0)(0，).() (2)若函数f(x)为奇函数，则f(0)0.() (3)若yf(x)在区间D上单调递增，则
5、函数ykf(x)(k0)，y 在区间D 上单调递减.() (4)若函数f(x)满足f(4x)f(x)，则f(x)的图象关于x2对称.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.下列函数为奇函数且在定义域内为增函数的是 A.f(x)x1 B.f(x)x2x C.f(x)2x2x D.f(x)2x2x 解析f(x)x1为非奇非偶函数，f(x)x2x为非奇非偶函数，f(x)2x 2x为偶函数. 3.函数y 在区间2,3上的最大值是_.2 4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所 示，则不等式f(x)0的解集为_. (2,0)(2,5 解析由图象可知，当0 x0
6、； 当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数， 当2x0时，f(x)0， 当5x0. 综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.函数f(x)(x1) 是_函数.(填“奇”“偶”或“非 奇非偶”) 非奇非偶 解析f(x)的定义域为(，1)1，)不关于原点对称. 故f(x)为非奇非偶函数. 6.函数yf(x)是定义在2,2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的 取值范围是_. 1,1) 解得1a0，得2x3， 故函数的定义域为(2,3)， 令tx2x6，则y ，易知其为减函数，1 2 log t 由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数tx2x6在
7、(2,3) 上的单调递减区间. (2)设函数f(x) g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间 是_. 0,1) 该函数图象如图所示，其单调递减区间是0,1). 命题点2判断或证明函数的单调性 例2试讨论函数f(x) (a0)在(1,1)上的单调性. 解方法一设1x1x21， 由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减； 当a0时，f(x1)f(x2)0， 即f(x1)0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上单调递减； 当a0，函数f(x)在(1,1)上单调递增. 确定函数单调性的四种方法 (1)定
8、义法：利用定义判断. (2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数. (3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须 是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和” 或“，”连接，不能用“”连接. (4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减” 的原则时，需先确定简单函数的单调性. 思维升华 跟踪训练1(1)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_. 1,2 画出f(x)的大致图象(如图所示)， 由图知f(x)的单调递减区间是1,2. 证明方法一(定义法)设x1x20， x1x20，x1x20，x1x20， f(x1)f(x2)
9、0，f(x1)0，f(x1)f(x2)0， f(x1)f(x2)， 命题点1比较函数值的大小 例3(1)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)上单调递减，则 题型二函数单调性的应用 多维探究 3 2 2f 2 3 2f 3 2 2f 2 3 2f 3 2 2f 2 3 2f 3 2 2f 2 3 2f 解析f(x)为偶函数且在(0，)上单调递减， 又log341,0 1， 3 2 2 2 3 2 f(log34) 2b B.ab2 D.ab2 解析由指数和对数的运算性质可得 2alog2a4b2log4b22blog2b. 令f(x)2xlog2x， 则f(x)在(0，)上单调递增， 又
10、22blog2b22blog2b122blog22b， 2alog2a22blog22b， 即f(a)f(2b)，a4b2log4b1，则 A.a2b B.a2b C.ab2 解析4b2log4b122b 122blog2b122blog22b， 2alog2a22blog22b， 函数f(x)2xlog2x在(0，)上为增函数， a2b. 2 2 2logb 命题点2求函数的最值 例4(2021深圳模拟)函数y 的最大值为_. 命题点3解函数不等式 例5已知函数f(x) log2(x2)，若f(a2)3，则a的取值范围是 _. (0,1) f(x)在定义域(2，)上是减函数，且f(1)3，
11、由f(a2)3，得f(a2)f(1)， 即2a21，即0a1. 命题点4求参数的取值范围 所以yf(x)在R上是增函数. 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小. (2)求最值. (3)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式 求解，应注意函数的定义域. (4)利用单调性求参数. 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调 区间比较. 思维升华 需注意若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区 间上也单调. 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的 取值. 跟踪训练2(1)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当
12、x1x2且x1， x2(1，)时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab B.cba C.acb D.bac 解析依题意f(x)在(1，)上单调递减，在(，1)上单调递增， 且f(x)关于x1对称， 即caf(x)，则实数x的取值范 围是_. 解析根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数. 2x2x，2x1的实数x的取值范围是 A.(3，) B.(，3) C.2,3) D.0,3) 解析f(x)在定义域0，)上是减函数，且f(2)1， f(2x4)1可化为f(2x4)f(2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为f(x)x22ax在1,2
13、上单调递减，所以a1， 所以a0，所以0f(2) C.若f(x)在(a，a1)上单调递增，则a1或a0 D.当x1,1时，f(x)的值域为1,2 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析易知f(x)在(，0，(0，)上单调递增，A错误，B正确； 若f(x)在(a，a1)上单调递增，则a0或a10，即a1或a0，故 C正确； 当x1,0时，f(x)1,2，当x(0,1时，f(x)(，2， 故x1,1时，f(x)(，2，故D不正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.函数yx22|x|1的单调递增区间为_，单调递 减区间为_. (，1和0,1
14、(1,0)和(1，) 画出函数图象如图所示， 单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为(1,0)和(1，). 12345678910 11 12 13 14 15 16 f(x)minf(4)4，f(x)maxf(3)6， 9.函数f(x)exxe，若实数a(a0且a1)满足f1时，符合题意. 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.设函数f(x) 若函数f(x)在区间(a，a1)上单调递 增，则实数a的取值范围是_. (，14，) 解析函数f(x)的图象如图所示， 由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增， 需满足a4或a12，即a1或a4. 12345678
15、910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 g(a)的最小值为2. f(x)在(0,1上为增函数， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.已知函数f(x)a . (1)求f(0)； 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论； 解f(x)在R上单调递增.证明如下： f(x)的定义域为R， 任取x1，x2R且x1x2， 则f(x1)f(x2)a a ， 1 2 21 x 2 2 21 x 12 12 222 1212 xx xx y2x在R上单调递增
16、且x1x2， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2). f(x)在R上单调递增. 0 ， 0, 10. 1 2x 2 2 x 1 2x 2 2 x 1 2x 2 2 x 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)f(2)的x的取值范围. 解f(x)是奇函数，f(x)f(x)， f(ax)f(2)即为f(x)f(2)， 又f(x)在R上单调递增，x2. x的取值范围是(，2). 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.已知函数f(x)当xm，m1时，不等式f(2mx) f(xm)恒成立，则实
17、数m的取值范围是 A.(，4) B.(，2) C.(2,2) D.(，0) 12345678910 11 12 13 14 15 16 又f(2mx)xm， 即2xm在xm，m1上恒成立， 所以2(m1)m， 解得m1，则下列说法正确的是 A.yf(x)x是增函数 B.yf(x)x是减函数 C.yf(x)是增函数 D.yf(x)是减函数 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析不妨令x1x2，x1x20， 令g(x)f(x)x，g(x1)g(x2)， 又x10时， f(x)1. (1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数； 解令xy0，得f(0)1. 在R上任取x1x2，则x1x20， 所以f(x1x2)1. 又f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(x2)， 所以函数f(x)在R上是增函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4. 解由f(1)1，得f(2)3，f(3)5. 由f(x22x)f(1x)4，得f(x2x1)f(3)， 因为函数f(x)在R上是增函数， 所以x2x13， 解得x1， 故原不等式的解集为x|x1. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
