1、第 1 页 (共 9 页) 20132013 年北京市夏季普通高中会考年北京市夏季普通高中会考 数数学学试试卷卷 第一部分第一部分选择题选择题（每小题3分，共60分） 1如果集合0,1A ， 2 1Bx x，那么集合AB等于() A1B0,1C1,1D1,0,1 2不等式 2 2xx的解集为() A2x xB0 x xC02xx D 0,2x xx或 3如果向量(2, 3)OA ，( 1,2)OB ，那么AB 等于() A( 3,5)B(3, 5)C(1, 1)D(3,5) 4口袋中装有大小、材质完全相同的红色小球 2 个、黑色小球 1 个，现从口袋中随机 摸出两个小球，那么恰好摸到 1 个红
2、色小球和 1 个黑色小球的概率是() A 1 6 B 1 3 C 1 2 D 2 3 5如果0 x ，那么 1 4x x 的最小值为() A2B3C4D5 6如果直线20 xy与直线5ykx平行，那么实数k的值为() A2B2C 1 2 D 1 2 7在等差数列 n a中， 1 8a ， 5 0a，那么 4 S等于() A44B40C20D12 8在函数cosyx，yx，exy ，lgyx中，偶函数是() Acosyx ByxCexy Dlgyx 9要得到函数 sin() 6 yx的图象，只要将函数sinyx的图象() A向左平移 6 个单位B向右平移 6 个单位 C向左平移 3 个单位D向右
3、平移 3 个单位 10如图，在三棱锥DABC中，点,E F G分别 在侧棱,DA DB DC上，且平面/EFG平面ABC. 给出 下列三个结论：/EFAB；/BC平面EFG； /EG平面ABC，其中成立的结论的个数是() A0B1C2D3 11已知函数( )log0,1 a f xx aa在1,4上的最大值是 2，那么a等于() 第 2 页 (共 9 页) A 1 4 B 1 2 C2D4 12一个几何体的三视图如右图所 示，该几何体的体积是() A12 B18 C24 D36 13在ABC中，如果:2:7 :3AC CB AB ，那么A等于() A30B60C30或150D60或120 14
4、 11 3 sin的值为() A 2 3 B 2 2 C 2 2 D 3 2 15函数( )sin cosf xxx的一个单调递增区间可以为() A 2 0, B ,0 2 C , 4 4 D , 2 2 16当, x y满足条件 1 , 3 0 , 23 0 x xy xy 时，目标函数zxy的最大值是() A-1B1C2D3 17为了解某停车场中车辆停放的状况， 在工作日 （周一至周五） 期间随机选取了一天， 对该停车场内的 1000 辆汽车的停放时间进行 了统计分析，绘制出车辆停放时间的频率分布 直方图（如图所示） ，那么这 1000 辆汽车中停 放时间不多于 4 小时的汽车有( ) A
5、700 辆B350 辆 C300 辆D70 辆 18在 2005 年到 2010 年的“十一五”期间，党中央、国务院坚持优先发展教育，深 入实施科教兴国战略， 各种形式的高等教育在校学生总规模由 2300 万人增加到 3105 万人. 第 3 页 (共 9 页) 这五年间年平均增长率x应满足的关系式是() A 4 2300805x B 5 2300805x C 4 2300(1)3105xD 5 2300(1)3105x 19如果函数 1 2, , 2 ( ) 1 ln , 2 xax f x xx 恰有一个零点，那么实数a的取值范围是() A0aB1a C1aD0a 20已知向量(1,1)a
6、，| 1OM ，2ON a，其中O为坐标原点，那么MN a 的最小值为() A21-B2C22- D2 第二部分非选择题（共40分） 一、填空题一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21经过两点(1,1)A，(2,3)B的直线的斜率为 22已知向量(1,2)=-a，(2, )k=b，且2 =ab，那么实数k =_. 23某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S的值为. 24已知数列 n a的通项公式为 sin 2 n n an，记前n项和为 n S，那么 2013 S. 二、解答题二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分 7 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC
7、中， 1 BB 底面ABC，且ABAC=，D是BC的中点. （）求证：AD 平面 11 BCC B； （）求证： 1 /AC平面 1 AB D. 第 4 页 (共 9 页) 26.（本小题满分7分） 已知函数，. （）求函数的最小正周期； （）求函数)(xf在区间 0, 2 上的最大值和最小值. 27.（本小题满分7分） 在平面直角坐标系xOy中，以原点为圆心的圆O经过点)01(,A （）求圆O的方程； （）设M是直线340 xy+-=上的一个动点，ME,MF是圆O的两条切线，切点为E,F () 如果60EMF= o ，求点M的横坐标； () 求四边形MEOF面积的最小值 第 5 页 (共 9
8、 页) 28.（本小题满分7分） 设函数 1 110 ( ) nn nn f xa xaxa xa - - =+L， 1 110 ( ) mm mm g xb xbxbxb - - =+L，且对所 有的实数x，等式 ( ) ( )f g xg f x=都成立，其中 0101 , , nm a aa b bb LLR，,m nN. （）如果函数 2 ( )2,( )f xxg xkx=+=，求实数k的值； （）设函数 32 ( )321f xxx=+-，写出满足 ( ) ( )f g xg f x=的两个函数( )g x； （）如果方程( )( )f xg x=无实数解，求证：方程 ( ) (
9、)f f xg g x=无实数解. 第 6 页 (共 9 页) 数学试卷答案及评分参考 第一部分 选择题 (共 60 分) 选择题（每小题3分，共60分） 题 号 12345678910 答 案 DDADCBCABD 题 号 11121314151617181920 答 案 CABACDADBC 第二部分 非选择题 (共 40 分) 一、填空题（每小题3分，共12分） 21.222.423.1424.1007 二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 BB 底面ABC，且ABAC=，D是BC的中点. （）求证：AD 平面 11
10、BCC B； （）求证： 1 /AC平面 1 AB D. （）证明： 因为ABAC=，D是BC的中点， 所以ADBC. 因为 1 BB 平面ABC，AD 平面ABC， 所以 1 ADBB. 因为 1 BBBCB, 所以AD 平面 11 BCC B. 3 分 （）证明： 如图，连接 1 AB， 设 11 ABABE，连接DE. 因为 四边形 11 ABB A为矩形， 所以E为 1 AB中点. 因为 在 1 ABC中，D是BC的中点， 所以 1 /DE AC. 因为DE 平面 1 AB D， 1 AC 平面 1 AB D， 所以 1 /AC平面 1 AB D. 7 分 第 7 页 (共 9 页)
11、26.（本小题满分7分） 已知函数，. （）求函数的最小正周期； （）求函数)(xf在区间 0, 2 上的最大值和最小值. （）解： 因为 31 2(sin2cos2 ) 22 xx=+ 2(sin2 coscos2 sin) 66 xx=+ ， 所以 函数的最小正周期 22 |2 T =. 3 分 （）解： 由 0, 2 x，可得 7 2, 666 x+, 所以 1 sin(2) 1 26 x-+ 所以 1 2sin(2)2 6 x-+ 所以 当 7 2 66 x+=，即 2 x=时，函数的最小值为1-； 当 2 62 x+=，即 6 x=时，函数的最大值为2. 7 分 27.（本小题满分7
12、分） 在平面直角坐标系xOy中，以原点为圆心的圆O经过点)01(,A （）求圆O的方程； （）设M是直线340 xy+-=上的一个动点，ME,MF是圆O的两条切线，切点为E,F ()如果 o 60EMF，求点M的横坐标； ()求四边形MEOF面积的最小值 （）解： 因为|1OA =， 所以 圆O的方程为1 22 yx 2 分 （）解： ()如图，连接OM， 由题意可知OEMV为直角三角形. 因为 o 60EMF， 所以 o 30OME= 所以2|2OMOE= 因为 M 是直线340 xy+-=上的动点， 所以 设点 M 的坐标为)43( t,t 所以 22 |(0)(34)02OMtt=-+-
13、+-=. 第 8 页 (共 9 页) 解得 66 5 t - =，或 66 5 t + =. 所以 点 M 的横坐标为 66 5 - 或 5 66 4 分 ()因为 原点O到直线340 xy+-=的距离 22 |4|4 10 31 d - = + ， 所以|OM |的最小值是 4 10 因为OEMV为直角三角形， 所以 222 3 1 5 |ME|OM |=-. 所以|ME|的最小值是 5 15 因为 1 221 | | 2 MEOMEOF SSMEME=创 四边形 ， 所以 四边形MEOF面积的最小值是 5 15 7 分 28.（本小题满分7分） 设函数 1 110 ( ) nn nn f
14、xa xa xaxa - - =+L， 1 110 ( ) mm mm g xb xbxbxb - - =+L，且对所有的实 数x，等式 ( ) ( )f g xg f x=都成立，其中 0101 , , , , nm a aa b bb LLR，,m nN. （）如果函数 2 ( )2,( )f xxg xkx=+=，求实数k的值； （）设函数 32 ( )321f xxx=+-，写出满足 ( ) ( )f g xg f x=的两个函数( )g x； （）如果方程( )( )f xg x=无实数解，求证：方程 ( ) ( )f f xg g x=无实数解 （）解： 因为 ( ) ( )f g
15、 xg f x， 所以 22 ()2(2)kxk x，即 222 22k xkxk 因为 上式对所有的实数x都成立， 所以 2 , 22 . kk k 解得1k . 2 分 （）解： 如 32 ( )( )321g xf xxx，( )g xx，符合题意. （答案不唯一） 4 分 （）证明： 设 函数( )( )( )F xf xg x， 因为 方程( )( )f xg x无实数解， 所以 函数( )F x的图象恒在 x 轴上方，或者恒在 x 轴下方， 即 对于任意xR，( )0F x ，或者对于任意xR，( )0F x . 当( )0F x 时， 因为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f f xg g xf f xg f xg f xg g x ( ) ( ) ( ) ( )f f xg f xf g xg g x ( ) ( )0F f xF g x， 所以 此时方程 ( ) ( )f f xg g x无实数解. 当( )0F x 时， 同理可证 ( ) ( )0f f xg g x 第 9 页 (共 9 页) 所以 此时方程 ( ) ( )f f xg g x无实数解 综上，当方程( )( )f xg x无实数解时，方程 ( ) ( )f f xg g x无实数解 7 分
