1、第课时实际问题与方程(2) 1.进一步掌握列方程解决实际问题的方法。 2.会根据两个未知量的关系,列出含有两个未知数的方程,理解和掌握列方程 解这类问题的等量关系和解题方法。 3.学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中,进一步体会方程的思想。 4.经历列方程解决较复杂的实际问题的过程,进一步提高学生分析问题、解 决问题的能力。 5.通过不同方法的渗透,培养学生的类推和迁移的思想,激发学生学习数学的 兴趣。 【重点】 列方程解答稍复杂的实际问题。 【难点】 根据数量关系列方程解决稍复杂的问题。 【教师准备】PPT 课件。 1.填一填。(PPT 课件出示练习题) (1)学校合唱队有男生x人,女
2、生人数是男生的 2 倍,女生有()人,男、女生 一共有()人。 (2)实验小学绿色书屋有科技书a本,故事书的本数是科技书的 1.5 倍,那么 1.5a表示(),a+1.5a表示(),1.5a-a表示()。 2.老师谈话导入课题。 像上题中a+1.5a,1.5a-a如果在方程中出现,该怎样解这样的方程呢?今天我 们就来探究用这样的方程解决实际问题。 (板书课题:实际问题与方程(2) 通过复习用字母表示数的知识,为本节课的学习内容做铺垫。 老师谈话:现在都提倡健康饮食,少吃油炸食品,多吃水果。 你们都喜欢吃什么 水果? 学生回答后,老师继续说:很多同学都喜欢吃苹果和梨,你们知道这些水果的 价格吗?
3、 学生根据自己的经验进行回答。 老师谈话:小明的妈妈去超市买了一些苹果和梨,她也想知道苹果的价格,我 们去帮帮她吧! 从健康饮食的角度引入新课,不仅可以提高学生的学习兴趣,还使学 生增强健康饮食的意识,接着提问苹果的单价是多少,让学生带着问题进入新知的 学习。 一、解形如axab=c的方程及应用。 1.PPT 课件出示教材第 77 页例 3 的情境图。 梨每千克 2.8 元,苹果每千克多少钱? 2.理解题意,获得信息。 师:仔细看图,找出题中信息。 (学生认真看图,同桌交流获得的信息) 预设 生:从题中可知买苹果和梨各 2 kg,梨每千克 2.8 元,两种水果一共 10.4 元,要求苹果每千克
4、多少元。 3.分析数量关系。 分析获得的信息,画出线段图。 学生画图,师生订正。 师:你能找出题中的等量关系吗? 学生独立思考后,在小组内进行讨论、交流找出的等量关系。学生可能会说 出两种等量关系: 苹果的单价2+梨的单价2=10.4; (苹果的单价+梨的单价)2=10.4。 4.列方程解决实际问题。 学生在练习本上独立列方程,老师巡视,辅导有困难的学生。 老师选择两个学生进行板演。(用两种不同的方法列方程解答) 例 3:解法 1:设苹果每千克x元。 苹果的单价2+梨的单价2=10.4 2x+2.82=10.4 2x+5.6=10.4(把 2x看成一个整体) 2x+5.6-5.6=10.4-5
5、.6 2x=4.8 2x2=4.82 x=2.4 答:苹果每千克 2.4 元。 解法 2:设苹果每千克x元。 (苹果的单价+梨的单价)2=10.4 (x+2.8)2=10.4(把x+2.8 看成一个整体) (x+2.8)22=10.42 x+2.8=5.2 x+2.8-2.8=5.2-2.8 x=2.4 答:苹果每千克 2.4 元。 5.小结。 老师引导学生理解两种解法的解答过程。 师:解法 1 先算什么?把什么看成一个整体? 预设 生 1:先求出梨的总价。 生 2:把 2x看成一个整体。 师:解法 2 把什么看成一个整体? 生 3:把x+2.8 看成一个整体。 根据学生所熟悉的购买水果的情境
6、引入课题,使学生感受数学就在 身边。通过学生自主学习、小组讨论,解决问题,获得成功的喜悦。 二、解形如axbx=c的方程及应用。 1.PPT 课件出示教材第 78 页例 4。 地球的表面积为 5.1 亿平方千米,其中,海洋面积约为陆地面积的 2.4 倍。 2.理解题意,获得信息。 师:仔细看图,你从图中可以获得哪些信息? 学生看图,理解题意,并与同桌交流从图中获得的信息。 预设 生 1:从图中获得的信息有:地球的表面积是 5.1 亿平方千米,其中海洋 面积是陆地面积的 2.4 倍。 生 2:要求的是海洋面积和陆地面积分别是多少亿平方千米。 3.分析数量关系。 师:根据获得的信息分析,你能找出题
7、中的等量关系吗? 学生独立思考后,在小组内进行讨论、交流找出的等量关系。学生可能会说 出三种等量关系。 陆地面积+海洋面积=地球的表面积; 地球的表面积-陆地面积=海洋面积; 地球的表面积-海洋面积=陆地面积。 4.列方程解决实际问题。 师:题中要求海洋面积和陆地面积这两个量,该怎样设未知数?怎样列方程解 答呢? 学生独立思考后,小组讨论、交流,老师巡视。 师:下面哪个小组和大家交流一下做法呢? 预设 生: 例 4:解法1:设陆地面积为x亿平方千米,那么海洋面积可以表示为 2.4x亿平 方千米。 陆地面积+海洋面积=地球的表面积 x+2.4x=5.1 (1+2.4)x=5.1 3.4x=5.1
8、 3.4x3.4=5.13.4 x=1.5 2.4x=2.41.5=3.6(亿平方千米)或 5.1-1.5=3.6(亿平方千米) 答:陆地面积为 1.5 亿平方千米,海洋面积为 3.6 亿平方千米。 解法2:设陆地面积为x亿平方千米,那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千 米。 地球的表面积-陆地面积=海洋面积 5.1-x=2.4x 5.1-x+x=2.4x+x 5.1=(2.4+1)x 5.1=3.4x 3.4x=5.1 3.4x3.4=5.13.4 x=1.5 5.1-1.5=3.6(亿平方千米) 答:陆地面积为 1.5 亿平方千米,海洋面积为 3.6 亿平方千米。 解法 3:设陆地面积为
9、x亿平方千米,那么海洋面积可以表示为 2.4x亿平方千 米。 地球的表面积-海洋面积=陆地面积 5.1-2.4x=x 5.1-2.4x+2.4x=x+2.4x 5.1=(1+2.4)x 5.1=3.4x 3.4x=5.1 3.4x3.4=5.13.4 x=1.5 5.1-1.5=3.6(亿平方千米) 答:陆地面积为 1.5 亿平方千米,海洋面积为 3.6 亿平方千米。 师:同学们都积极地开动了脑筋,也都做得很棒,下面请大家比较一下这几种 方法,你们认为哪种方法好呢? 预设 生:第一种方法最好,解方程的过程最简单。 5.小结。 师:你们真的太聪明了,想出来这么多不同的方法解决这个问题,大家觉得这
10、 些方法中解法 1 最简便。一般遇到这类求两个未知量的题目时,我们要设一倍量 为x,再根据两个未知数的关系,用含有x的式子表示出另一个未知量,再找出题中 的等量关系列出方程。 练习 1 1.教材第 77 页“做一做”。 学生读题,理解题意,独立解答,小组交流,老师巡视,指名回答,全班评讲,集体 订正。 2.教材第 78 页“做一做”。 二生板演,其他学生独立完成。 全班评讲,集体订正。 【参考答案】1.解:设儿童票每张x元。2x+24=11x=1.52.解:(1) 设桃树有x棵,那么杏树的棵数可以表示为 3x棵。x+3x=180 x=45 180-45=135(棵)或 3x=345=135(棵
11、)答:桃树有 45 棵,杏树有 135 棵。(2)设 桃树有x棵,那么杏树的棵数可以表示为 3x棵。3x-x=90 x=45 180-45=135(棵)或 3x=345=135(棵)答:桃树有 45 棵,杏树有 135 棵。 练习 2 完成相关习题。 师:通过这节课的学习,你有什么收获? 预设 生 1:我学会了解答较复杂的实际问题。 生 2:题中有两个未知数的,我也会列方程解答。 作业 1 教材第 80 页练习十七第 2,4,6,7 题。 作业 2 完成相关习题。 实际问题与方程(2) 例 3解法 1: 设苹果每千克x元,苹果的单价2+梨的单价 2=10.4,2x+2.82=10.4,2x+5
12、.6=10.4(把 2x看作一个整 体),2x+5.6-5.6=10.4-5.6,2x=4.8,2x2=4.82,x=2.4。 答:苹果每千克 2.4 元。 解法 2: 设苹果每千克x元,(苹果的单价+梨的单价)2=10.4,(x+2.8)2=10.4(把 x+2.8 看作一个整 体),(x+2.8)22=10.42,x+2.8=5.2,x+2.8-2.8=5.2-2.8,x=2.4。答:苹果 每千克 2.4 元。 例 4解法 1: 设陆地面积为x亿平方千米,那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。 陆地面积+海洋面积=地球的表面积。 x+2.4x=5.1,(1+2.4)x=5.1,3.4x
13、=5.1,3.4x3.4=5.13.4,x=1.5,2.4x=2.4 1.5=3.6(亿平方千米)或 5.1-1.5=3.6(亿平方千米)。 答:陆地面积为 1.5 亿平方千米,海洋面积为 3.6 亿平方千米。 解法 2: 设陆地面积为x亿平方千米,那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。 地球的表面积-陆地面积=海洋面积。 5.1-x=2.4x,5.1-x+x=2.4x+x,5.1=(2.4+1)x,5.1=3.4x,3.4x=5.1,3.4x3.4= 5.13.4,x=1.5,5.1-1.5=3.6(亿平方千米)。 答:陆地面积为 1.5 亿平方千米,海洋面积为 3.6 亿平方千米。 解
14、法 3:设陆地面积为x亿平方千米,那么海洋面积可以表示为 2.4x亿平 方千米。地球的表面积-海洋面积=陆地面积。 5.1-2.4x=x,5.1-2.4x+2.4x=x+2.4x,5.1=(1+2.4)x,5.1=3.4x,3.4x=5.1,3.4 x3.4=5.13.4,x=1.5,5.1-1.5=3.6(亿平方千米)。 答:陆地面积为 1.5 亿平方千米,海洋面积为 3.6 亿平方千米。 在应用题的教学中,教师要指导学生学会分析应用题的解题方法,教会学生学 习的方法。 因此,在这节课的教学过程中,我让学生自主观察情境图,了解情境图中 提供的信息,再组织学生小组讨论、 交流,分析题中的数量关
15、系,交流解决问题的方 法,让学生成为学习的主人,使他们参与到教学的全过程中来,了解和掌握用方程 解答较复杂的应用题的方法。在这节课中,这方面做得比较好。 这节课的内容有两个例题,且都是较复杂的实际问题,老师必须花一定的时间, 通过不同的方法让学生掌握这类题的解法,这样安排对老师来说时间太紧,对学生 来说难度太大。我在反思:这样安排是否妥当。 如果教学时间允许,下次可以把两个例题分开教学,用两个课时来解决这些问 题。 已知长方形的长是 16 厘米,它的周长是 48 厘米,你能求出它的面积 吗? 名师点拨要求长方形的面积,需要知道长方形的长和宽,已知长方形的长 是 16 厘米,题中还给出了长方形的
16、周长,根据“(长+宽)2=周长”这个等量关系可列 出方程,求出长方形的宽,它的面积也能求出来了。 解答设长方形的宽为x厘米。 (x+16)2=48 x+16=24 x=8 168=128(平方厘米) 答:它的面积是 128 平方厘米。 【知识拓展】这道题我们还可以根据长方形的周长公式“长方形的周长= 长2+宽2”列出方程x2+162=48,同样可以求出长方形的宽为 8 厘米。 一元一次方程 方程中的未知数叫做“元”,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为 1(即 “次”)的整式方程叫 一元一次方程。一元一次方程的标准形式(也就是所有一元一次方程经过整 理都能得到的形式)是ax+b=0(a,b
17、为常数,x为未知数,且a0)。 一元一次方程通常可以用于解答应用题,如:工程问题、 行程问题、 分配问题、 盈亏问题、球赛积分问题、电话(水表、电表)计费问题、数字问题等。 代数、方程的起源 “代数”一词最初来源于公元 9 世纪阿拉伯数学家、 天文学家阿尔花拉子米一 本著作的名称,书名的阿拉伯文译为还原与对消计算概要,这本书后来传入欧 洲。 作为数学的一个重要分支,它的形成,巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、 印度人和西欧人都先后作出了伟大的贡献。 法国数学家韦达在他的分析方法入门著作中,首次系统地使用了符号字 母表前面的字母a,b,c等表示已知量,而用排在字母表后面的字母x,y,z等代表未 知量。这种用法已经成为当今的标准用法。 方程一词,最早见于我国古代数学书籍九章算术的第八章。我国的九 章算术成书于公元 1 世纪前后,是我国古代数学的集大成之作,也是当时世界上 最先进的应用数学。书中共收集了 246 个数学问题,被分为九大类,组成“九章”。 其中第八章“方程”,共计 18 题,都是解多元一次方程组的实际问题。
