1、宁夏宁夏 20202020 年中考数学试题年中考数学试题 一一、选择题选择题（本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 3 分分，共共 24 分分在每小题给出的四个选项中只有一个是在每小题给出的四个选项中只有一个是 符合题目要求的）符合题目要求的） 1.下列各式中正确的是（） A. 326 aaaB.321ababC. 2 61 21 3 a a a D. 2 (3)3a aaa 【答案】D 【解析】 【分析】 利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案. 【详解】解：A. 325 aaa ，所以 A 错误； B.32ababab，所以 B 错误； C. 2 611 2 33 a a a
2、a ，所以 C 错误； D. 2 (3)3a aaa，所以 D 正确； 故答案选 D. 【点睛】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是 底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数 计算结果为 0 时，整体为 0. 2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上 15 名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统 计图（如图） ，则下列说法正确的是（） A. 中位数是 3，众数是 2B. 众数是 1，平均数是 2 C. 中位数是 2，众数是 2D. 中位数是 3，平均数是 2.5 【答案】C 【解析
3、】 【分析】 根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断 【详解】解：15 名同学一周的课外阅读量为 0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4， 中位数为 2； 平均数为（01+14+26+32+42）15=2； 众数为 2； 故选：C 【点睛】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键 3.现有 4 条线段，长度依次是 2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（） A. 1 4 B. 1 2 C. 3 5 D. 3 4 【答案】B 【解析】 【分析】 从四条线段中任意选取三条，找出所有的可能，以及能构成三角形的情况数，即可求出
4、所求的概率 【详解】解：从长度分别为 2、4、6、7 的四条线段中任选三条有如下 4 种情况：2、4、6；2、4、7； 2、6、7；4、6、7； 其中能构成三角形的有 2、6、7；4、6、7 这两种情况， 所以能构成三角形的概率是 21 42 ， 故选：B 【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出 现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）= m n 构成三角形的基本要求为两小边之和大于最大边 4.如图摆放的一副学生用直角三角板，30 45FC ， ，AB与DE相交于点 G，当/EF BC时， EGB的度数是（） A. 135B.
5、 120C. 115D. 105 【答案】D 【解析】 【分析】 过点 G 作/HG BC EF，则有HGBB，HGEE，又因为DEF和ABC都是特殊直角三 角形，3045FC ， ，可以得到6045EB ， ，有EGBHGEHGB即可得出答 案 【详解】解：过点 G 作/HG BC EF，有HGBB，HGEE 在RtDEF和Rt ABC中，3045FC ， 6045EB ， =45HGBB ，=60HGEE =60 +45 =105EGBHGEHGB 故EGB的度数是 105 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，其中平行线的性质为：两直线平行，内错角 相等；三角形内角和定理
6、为：三角形的内角和为 180；其中正确作出辅助线是解本题的关键 5.如图，菱形ABCD的边长为 13，对角线 24AC ，点 E、F 分别是边CD、BC的中点，连接EF并延 长与AB的延长线相交于点 G，则EG （） A. 13B. 10 C. 12D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】 连接对角线 BD，交 AC 于点 O，求证四边形 BDEG 是平行四边形，EG=BD，利用勾股定理求出 OD 的长， BD=2OD，即可求出 EG 【详解】连接 BD，交 AC 于点 O， 由题意知：菱形 ABCD 的边长为 13，点 E、F 分别是边 CD、BC 的中点， AB=BC=CD=DA=13，
7、EF/BD， AC、BD 是菱形的对角线，AC=24， ACBD，AO=CO=12，OB=OD， 又AB/CD，EF/BD DE/BG，BD/EG 在四边形 BDEG 中， DE/BG，BD/EG 四边形 BDEG 是平行四边形 BD=EG 在COD 中， OCOD，CD=13，CO=12 OD=OB=5 BD=EG=10 故选 B 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形、平行四边形的性质 和勾股定理是解题的关键 6.如图， 等腰直角三角形ABC中， 90 ,2CAC ， 以点 C 为圆心画弧与斜边AB相切于点 D， 交AC 于点 E，交BC于点 F，则图中
8、阴影部分的面积是（） A.1 4 B. 1 4 C.2 4 D.1 4 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 CD，并求出 CD 的值，再分别计算出扇形 ECF 的面积和等腰三角形 ACB 的面积，用三角形的面积减 去扇形的面积即可得到阴影部分的面积 【详解】连接 CD，如图， AB 是圆 C 的切线， CDAB， ABC 是等腰直角三角形， CD= 1 2 AB， 90 ,2CAC ，AC=BC， AB=2， CD=1， 2 1901 =221 23604 ABCECF SSS 阴影扇形 故选：A 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
9、件 7.如图，函数1 yx与函数 2 2 y x 的图象相交于点1,2,MmNn若 12 yy，则 x 的取值范围是 （） A.2x 或01xB.2x 或1x C.20 x 或01xD.20 x 或1x 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图象可知函数 1yx与函数 2 2 y x 的图象相交于点 M、N，若 12 yy，即观察直线图象在反比例函 数图象之上的 x 的取值范围 【详解】解：如图所示，直线图象在反比例函数图象之上的 x 的取值范围为20 x 或1x ， 故本题答案为：20 x 或1x 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，能利用数形结合求出不等式
10、的解集 是解答此题的关键 8.如图 2 是图 1 长方体的三视图，若用 S 表示面积， 22 ,SaSaa 主左 ，则S 俯 （） A. 2 aa B. 2 2a C. 2 21aa D. 2 2aa 【答案】A 【解析】 【分析】 由主视图和左视图的宽为 a，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，即可得出结论 【详解】 22 ,(1)a aSaSaaa a 主左 ， 俯视图的长为 a+1，宽为 a， 2 (1)Sa aaa 俯 ， 故选：A 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图与几何体的长、宽、高的关系，进而求得俯视图的 长和宽是解答的关键 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 8
11、8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 9.分解因式：3a26a+3=_ 【答案】3（a1）2 【解析】 【详解】解：原式=3（a22a+1）=3（a1）2 故答案为：3（a1）2 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用 10.若二次函数 2 2yxxk 的图象与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是_ 【答案】1k 【解析】 【分析】 根据二次函数 2 2yxxk 的图象与 x 轴有两个交点， 可知判别式0， 列出不等式并解之即可求出 k 的取值范围 【详解】二次函数 2 2yxxk 的图象与 x 轴有两个交点， =44 ( 1) k 0， 解得：1k
12、 ， 故答案为：1k 【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系 并熟练运用是解答的关键 11.有三张大小、形状完全相同的卡片卡片上分别写有数字 4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地 抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可 【详解】列表得： 456 4910 5911 61011 共有 6 种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为 4 种， 所以概率为 42 = 63 故答案为： 2 3 【点睛】考查用
13、列树状图的方法解决概率问题；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决 本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比 12.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大 小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大 小用锯去锯这木材，锯口深1ED 寸，锯道长1AB 尺（1 尺10寸） 问这根圆形木材的直径是_ 寸 【答案】26 【解析】 【分析】 根据题意可得OEAB，由垂径定理可得 11 22 ADBDAB尺5寸，设半径OAOEr，则 1ODr，在Rt OAD中，根据勾股定理可得：
14、2 22 15rr，解方程可得出木材半径，即可得出 木材直径. 【详解】解：由题可知OEAB， OE为O半径， 11 22 ADBDAB尺5寸， 设半径OAOEr， 1ED ， 1ODr 在Rt OAD中，根据勾股定理可得： 2 22 15rr 解得：13r , 木材直径为 26 寸； 故答案为：26. 【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证 是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理， 然后构造直角三角形，用勾股定理求解. 13.如图， 直线 5 4 2 yx与x轴、 y轴分别交于A、 B
15、两点， 把AOB绕点B逆时针旋转90后得到 11 AO B， 则点 1 A的坐标是_ 【答案】 （4， 12 5 ） 【解析】 【分析】 首先根据直线 AB 来求出点 A 和点 B 的坐标， A1的横坐标等于 OB， 而纵坐标等于 OB-OA， 即可得出答案 【详解】解：在 5 4 2 yx中，令 x=0 得，y=4， 令 y=0，得 5 04 2 x，解得 x= 8 - 5 ， A（ 8 - 5 ，0） ，B（0，4） ， 由旋转可得AOB A1O1B，ABA1=90， ABO=A1BO1，BO1A1=AOB=90，OA=O1A1= 8 5 ，OB=O1B=4， OBO1=90， O1Bx
16、轴， 点 A1的纵坐标为 OB-OA 的长，即为 4 8 - 5 = 12 5 ； 横坐标为 O1B=OB=4， 故点 A1的坐标是（4， 12 5 ） ， 故答案为： （4， 12 5 ） 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，利用基本性质结合图形进行推理 是解题的关键 14.如图，在ABC中，84C ，分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 2 AB的长为半径画弧，两弧分别交 于点 M、N，作直线MN交AC点 D；以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点 E、F， 再分别以点 E、F 为圆心，大于 1 2 EF的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线B
17、P，此时射线BP恰好经过 点 D，则A_度 【答案】32 【解析】 【分析】 由 作 图 可 得 MN 是 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 ， BD 是 ABC 的 平 分 线 ， 根 据 它 们 的 性 质 可 得 AABDCBD ，再根据三角形内角和定理即可得解 【详解】由作图可得，MN 是线段 AB 的垂直平分线，BD 是ABC 的平分线， AD=BD， 1 = 2 ABDCBDABC AABD AABDCBD +180AABCC，且84C， +2180AABDC，即318084A ， 32A 故答案为：32 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作
18、法和角平分线的作法 15.西游记 、 三国演义 、 水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著 某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过西游记的人数多于阅读过水浒传的人数； （2）阅读过水浒传的人数多于阅读过三国演义的人数； （3）阅读过三国演义的人数的 2 倍多于阅读过西游记的人数 若阅读过三国演义的人数为 4，则阅读过水浒传的人数的最大值为_ 【答案】6 【解析】 【分析】 根据题中给出阅读过三国演义的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过西游记的人数的取值范围， 然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，得出阅读过水浒传的人数的取值范围，即可
19、得出答 案. 【详解】解：设阅读过西游记的人数是a，阅读过水浒传的人数是b， （, a b均为整数） 依题意可得： 4 8 ab b a 且, a b均为整数 可得：47b， b最大可以取 6； 故答案为 6. 【点睛】本题考查不等式的实际应用，注意题中的两个量都必须取整数是本题做题关键，求b的最大值， 则可通过题中不等关系得出b是小于哪个数的，然后取小于这个数的最大整数即可. 16.2002 年 8 月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图 ，它是由 四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 1） ，且大正方形的面积是 15，小正方 形的面积
20、是 3，直角三角形的较短直角边为 a，较长直角边为 b如果将四个全等的直角三角形按如图 2 的 形式摆放，那么图 2 中最大的正方形的面积为_ 【答案】27 【解析】 【分析】 根据题意得出 a2+b2=15， （b-a）2=3，图 2 中大正方形的面积为： （a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求 出（a+b）2即可 【详解】解：由题意可得在图 1 中：a2+b2=15， （b-a）2=3， 图 2 中大正方形的面积为： （a+b）2， （b-a）2=3 a2-2ab+b2=3， 15-2ab=3 2ab=12， （a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27， 故答案为：27 【点睛
21、】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 6 6 分，共分，共 3636 分）分） 17.在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别是(1,3), (4,1), (1,1)ABC （1）画出ABC关于 x 轴成轴对称的 111 A B C； （2）画出ABC以点 O 为位似中心，位似比为 12 的 222 A B C 【答案】 （1）如图所示 111 A B C为所求；见解析； （2）如图所示 222 A B C为所求；见解析 【解析】 【分析】 （）将ABC的各个点关于 x
22、轴的对称点描出，连接即可 （）在ABC同侧和对侧分别找到 2OA=OA2，2OB=OB2，2OC=OC2所对应的 A2，B2，C2的坐标，连 接即可 【详解】 （1）由题意知：ABC的三个顶点的坐标分别是 A（1，3） ，B（4，1） ，C（1，1） ， 则ABC关于 x 轴成轴对称的 111 A B C的坐标为 A1（1，-3） ，B1（4，-1） ，C1（1，-1） ， 连接 A1C1，A1B1，B1C1 得到 111 A B C 如图所示 111 A B C为所求； （2）由题意知：位似中心是原点， 则分两种情况： 第一种， 222 A B C和 ABC在同一侧 则 A2（2，6） ，B
23、2（8，2） ，C2（2，2） ， 连接各点，得 222 A B C 第二种， 222 A B C在 ABC的对侧 A2（2，6） ，B2（8，2） ，C2（2，2） ， 连接各点，得 222 A B C 综上所述：如图所示 222 A B C为所求； 【点睛】本题主要考查了位似中心、位似比和轴对称相关知识点，正确掌握位似中心、位似比的概念及应 用是解题的关键 18.解不等式组： 53(1) 2151 1 32 xx xx 【答案】不等式组的解集是12x 【解析】 【分析】 分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集 【详解】解: 53(1) 2151 1 32 x
24、x xx 由得：2x 由得：1x 所以，不等式组的解集是12x 【点睛】本题考查了不等式组的解法，关键是求出两个不等式的解，然后根据口诀求出不等式组的解集 19.先化简，再求值： 2 112 224 a aaa ，其中 2a 【答案】 2 2 a ，1 【解析】 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代 入计算即可求出值 【详解】原式 2 2 (1)(2)24 42 aaaa a 2 22 2 aaa 2 2 a 当 2a 时，原式 2 ( 2) 1 2 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解
25、因式、约分等知 识点熟练掌握 20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购 买 A、B 两种防疫物品如果购买 A 种物品 60 件，B 种物品 45 件，共需 1140 元；如果购买 A 种物品 45 件， B 种物品 30 件，共需 840 元 （1）求 A、B 两种防疫物品每件各多少元； （2）现要购买 A、B 两种防疫物品共 600 件，总费用不超过 7000 元，那么 A 种防疫物品最多购买多少件？ 【答案】 （1）购买 A、B 两种防疫物品每件分别为16 元和 4 元； （2）最多购买 A 种防疫物品 383 件 【解析】 【分析】
26、 （1）设 A 种奖品每件 x 元，B 种奖品每件 y 元，根据“拟用这笔捐款购买 A、B 两种防疫物品如果购买 A 种物品 60 件，B 种物品 45 件，共需 1140 元；如果购买 A 种物品 45 件，B 种物品 30 件，共需 840 元”， 即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设 A 种奖品购买 a 件，则 B 种奖品购买（600-a）件，根据总价=单价购买数量结合总费用不超过 7000 元，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论 【详解】 （1）设购买 A、B 两种防疫物品每件分别为 x 元和 y 元，根据题意，得： 6
27、0451140 4530840 xy xy 解得： 16 4 x y 答：购买 A、B 两种防疫物品每件分别为 16 元和 4 元 （2）设购买 A 种防疫物品 a 件，根据题意，得： 164(600) 7000aa解得， 1 383 3 a ，因为 a 取最大正整数，所以383a 答：最多购买 A 种防疫物品 383 件 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是： （1）找准等量关 系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量间的关系，找出关于 a 的一元一次不等式 21. 如图，在ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点 F 求
28、证：FAAB 【答案】FAAB，证明略 【解析】 【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， ABDCABDC， FAEDFECD ， 又EAED， AFEDCE AFDC AFAB 22.某家庭记录了未使用节水龙头 20 天的日用水量数据（单位： 3 m ）和使用了节水龙头 20 天的日用水量 数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头 20 天的日用水量频数分布表： 日用水量/ 3 m 00.1x 0.10.2x 0.20.3x 0.30.4x 0.40.5x 频数042410 使用了节水龙头 20 天的日用水量频数分布表： 日用水量/ 3 m 00.1x 0.10.2x 0.20.3x
29、0.30.4x 频数2684 （1）计算未使用节水龙头 20 天的日平均用水量和使用了节水龙头 20 天的日平均用水量； （2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按 365 天计算） 【答案】 （1）未使用节水龙头 20 天的日平均用水量为 3 0.35m；使用了节水龙头 20 天的日平均用水量为 3 0.22m； （2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省 3 47.45m水 【解析】 【分析】 （1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头 20 天的日平均用水量和使用了节水龙头 20 天 的日平均用水量即可； （2）先计算平均一天节水量，再乘以 365 即可
30、得到结果 【详解】 （1）未使用节水龙头 20 天的日平均用水量为： 3 00.0540.1520.2540.35 100.45 0.35m 20 使用了节水龙头 20 天的日平均用水量为： 3 20.0560.158 0.2540.35 0.22m 20 （2） 3 365 (0.350.22)365 0.1347.45m 答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省 3 47.45m水 【点睛】考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 四、解答题（本题共四、解答题（本题共 4 4 道题，其中道题，其中 2323、2424 题每题题每题 8 8 分，分，25
31、25、2626 题每题题每题 1010 分，共分，共 3636 分）分） 23.如图，在ABC中，90B ，点 D 为AC上一点，以CD为直径的O交AB于点 E，连接CE， 且CE平分ACB （1）求证：AE是O的切线； （2）连接DE，若30A，求 BE DE 【答案】 （1）见解析； （2） 3 2 BE DE 【解析】 【分析】 （1）证明：连接OE，证明/OE BC，即可得AEOB =90，即可证明AE是O的切线； （2）解：连接DE，先证明DCEECB，得出 BECE DECD ，根据A=30，B=90，可得 60ACB，可得 1 30 2 DCEACB，由此可得 CE CD ，即可
32、得出 BE DE 【详解】 （1）证明：连接OE， CE平分ACB， ACEBCE ， 又OEOC， ACEOEC ， BCEOEC ， /OE BC， AEOB ， 又90B， 90AEO， 即OEAE， AE是O的切线； （2）解：连接DE， CD是O的直径， 90DEC， 又DCEECB， DCEECB， BECE DECD ， A=30，B=90， 60ACB， 11 6030 22 DCEACB， 3 coscos30 2 CE DCE CD ， 3 2 BE DE 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，结合题意灵活运用知识点是 解题关键 24.“低碳生
33、活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从 乙地沿同一路线匀速步行前往甲地， 两人之间的距离my与步行时间minx之间的函数关系式如图中折 线段ABBCCD所示 （1）小丽与小明出发_min相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地 求小丽和小明步行的速度各是多少？ 计算出点 C 的坐标，并解释点 C 的实际意义 【答案】 （1）30； （2）小丽步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；点54 4320C， 点 C 表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m 【解析】 【分析】 （1）直接从图像获取信息即可；
34、 （2）设小丽步行的速度为 1m / min V，小明步行的速度为 2m / min V，且 21 VV，根据图像和题意列出 方程组，求解即可； 设点 C 的坐标为, x y，根据题意列出方程解出 x，再根据图像求出 y 即可，再结合两人的运动过程解释 点 C 的意义即可 【详解】 （1）由图像可得小丽与小明出发 30min相遇， 故答案为：30； （2）设小丽步行的速度为 1m / min V，小明步行的速度为 2m / min V，且 21 VV， 则 12 12 30305400 (67.530)30 VV VV ， 解得： 1 2 80 100 V V ， 答：小丽步行的速度为80m/
35、min，小明步行的速度为100m/min； 设点 C 的坐标为, x y， 则可得方程(100803080 67.5)5400 xx， 解得54x ， 100+80 (5430)4320my ， 点54 4320C， 点 C 表示：两人出发54min时，小明到达甲地，此时两人相距4320m 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，从图像获取信息是解题关键 25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如 表 1： 鞋号（正整数）222324252627 脚长（毫米）160216521702175218021852 为了
36、方便对问题的研究，活动小组将表 1 中的数据进行了编号，并对脚长的数据 n b定义为 n b如表 2： 序号 n12 3456 鞋号 n a222324252627 脚长 n b160216521702175218021852 脚长 n b160165170175180185 定义：对于任意正整数 m、n，其中2m若 n bm，则22 n mbm 如： 4 175b表示 4 17521752b，即 4 173177b （1）通过观察表 2，猜想出 n a与序号 n 之间的关系式， n b与序号 n 之间的关系式； （2）用含 n a的代数式表示 n b；计算鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围；
37、（3）若脚长为 271 毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？ 【答案】 （1）21 n an， 155 n bn； （2）鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围是258mm 262mm； （3） 应购买 44 号的鞋 【解析】 【分析】 （1）观察表格里的数据，可直接得出结论； （2）把 n 用含有 an的式子表示出来，代入 5155 n bn化简整理，再计算鞋号为 42 对应的 n 的值，代 入 5155 n bn求解即可； （3）首先计算 270 n b，再代入 550 nn ba求出 n a的值即可 【详解】 （1）21 n an 1605(1)5155 n bnn （2）由21 n an与 515
38、5 n bn解得： 550 nn ba 把42 n a 代入21 n an得21n 所以 21 54250260b 则得： 21 26022602b，即 21 258262b 答：鞋号为 42 的鞋适合的脚长范围是258mm 262mm （3）根据 5155 n bn可知 n b能被 5 整除 而27022712702 所以 270 n b 将 270 n b代入 550 nn ba中得44 n a 故应购买 44 号的鞋 【点睛】此题主要考查了方程与不等式的应用，读懂题意是解题的关键 26.如图 （1） 放置两个全等的含有 30角的直角三角板ABC与30()DEFBE ， 若将三角板ABC
39、向右以每秒 1 个单位长度的速度移动（点 C 与点 E 重合时移动终止） ，移动过程中始终保持点 B、F、C、E 在同一条直线上， 如图 （2） ，AB与DF、DE分别交于点 P、 M，AC与DE交于点 Q， 其中 3ACDF ， 设三角板ABC移动时间为 x 秒 （1）在移动过程中，试用含 x 的代数式表示AMQ的面积； （2）计算 x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？ 【答案】 （1） 2 3 12 MQQ Sx ； （2）当2x 时，重叠部分面积最大，最大面积是 3 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形 ABC 求得3EFBC，设CFx，可求 3 3 AQx
40、 ， 1 2 MNx，根据三角形面 积公式即可求出结论； （2）根据“ ABCAMQBPF SSSS 重叠 ”列出函数关系式，通过配方求解即可 【详解】 （1）解：因为Rt ABC中30B60A 30E60EQCAQM AMQ为等边三角形 过点 M 作MNAQ，垂足为点 N 在Rt ABC中， 3,tan3ACBCACA 3EFBC 根据题意可知CFx 3CEEFCFx 3 tan(3) 3 CQCEEx 33 3(3) 33 AQACCQxx 3 3 AMAQx 而 1 sin 2 MNAMAx 2 11313 223212 MAQ SAQ MNxxx （2）由（1）知3BFCEx 3 tan(3) 3 PFBFBx 111 222 ABCAMQBPF SSSSAC BCAQ MNBF PF 重叠 2 1313 33(3)(3) 21223 xxx 22 33 3(2)3 44 xxx 所以当2x 时，重叠部分面积最大，最大面积是 3 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函 数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考 压轴题
