1、2020 年河北省年河北省中考中考 数学试卷数学试卷 一、选择题（本大题有一、选择题（本大题有 16 个小题，共个小题，共 42 分分.110 小题各小题各 3 分，分，1116 小题各小题各 2 分在每小题分在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（） A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【分析】 在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无 数条 【详解】在同一平面内，画已知直线的垂线，可
2、以画无数条； 故选：D 【点睛】此题主要考查在同一平面内，垂直于平行的特征，解题的关键是熟知垂直的定义 2.墨迹覆盖了等式“ 3 x 2 xx（0 x ）”中的运算符号，则覆盖的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案 【详解】 3 x 2 xx （0 x ） ， 32 xxx ， 覆盖的是： 故选：D 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键 3.对于3(1 3 )xxyxy ， 2 (3)(1)23xxxx，从左到右的变形，表述正确的是（） A. 都是因式分解B. 都是乘法运算 C. 是因式分
3、解，是乘法运算D. 是乘法运算，是因式分解 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义进行判断即可； 【详解】左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； 左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法； 故答案选 C 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义理解，准确理解因式分解的定义是解题的关键 4.如图的两个几何体分别由 7 个和 6 个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（） A. 仅主视图不同B. 仅俯视图不同 C. 仅左视图不同D. 主视图、左视图和俯视图都相同 【答案】D 【解析】 【分析】 分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案 【详解】第一个几何体的三
4、视图如图所示： 第二个几何体的三视图如图所示： 观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同， 故选 D 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确得出各几何体的三视图是解题的关键 5.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位 数恰好也是众数，则a （） A. 9B. 8 C. 7D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 根据统计图中的数据结合中位数和众数的定义，确定 a 的值即可 【详解】解：由条形统计图可知，前三次的中位数是 8 第四次又买的苹果单价是 a 元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数 a=8 故答案为 B 【点睛】本题考查
5、条形统计图、中位数和众数的定义，掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键 6.如图 1，已知ABC，用尺规作它的角平分线 如图 2，步骤如下， 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP射线BP即为所求 下列正确的是（） A.a，b均无限制B.0a ， 1 2 bDE的长 C.a有最小限制，b无限制D.0a ， 1 2 bDE的长 【答案】B 【解析】 【分析】 根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论 【详解】第一步：以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，
6、E； 0a ； 第二步：分别以D，E为圆心，大于 1 2 DE的长为半径画弧，两弧在ABC内部交于点P； 1 2 bDE的长； 第三步：画射线BP射线BP即为所求 综上，答案为：0a ； 1 2 bDE的长， 故选：B 【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法 7.若ab，则下列分式化简正确的是（ ） A. 2 2 aa bb B. 2 2 aa bb C. 2 2 aa bb D. 1 2 1 2 a a b b 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 ab，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题 【详解】ab， 2 2 aa bb ，选项 A 错误；
7、2 2 aa bb ，选项 B 错误； 2 2 aa bb ，选项 C 错误； 1 2 1 2 a a b b ，选项 D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法 8.在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（） A. 四边形NPMQB. 四边形NPMR C. 四边形NHMQD. 四边形NHMR 【答案】A 【解析】 【分析】 以 O 为位似中心，作四边形 ABCD 的位似图形，根据图像可判断出答案 【详解】解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形
8、的一般步骤为：确定位似中心；分别连接并延长位 似中心和能代表原图的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点， 确定位似图形 9.若 22 91 111 8 10 12 k ，则k （） A. 12B. 10 C. 8D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平方差公式变形即可求解 【详解】原等式 22 91 111 8 10 12 k 变形得： 22 91 111 8 10 12 k 9 1 9 1 11 1 11 1 8 10 12 8 10 10 12 8 10 12 10 故选：B 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键 10
9、.如图，将ABC绕边AC的中点O顺时针旋转 180嘉淇发现，旋转后的 CDA与ABC构成平行 四边形，并推理如下： 点A，C分别转到了点C，A处， 而点B转到了点D处 CBAD， 四边形ABCD是平行四边形 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“CBAD，”和“四边形”之间作补充下列正确 的是（） A. 嘉淇推理严谨，不必补充B. 应补充：且ABCD， C.应补充：且/AB CDD. 应补充：且OAOC， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答 【详解】根据旋转的性质得： CB=AD，AB=CD， 四边形 ABDC 是平行四边
10、形； 故应补充“AB=CD”， 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等，熟练掌握平行四 边形的判定方法是解题的关键 11.若k为正整数，则( )k kk kkk 个 （） A. 2k k B. 21k k C.2 k k D. 2 k k 【答案】A 【解析】 【分析】 根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解 【详解】( )k kk kkk 个 2 k k k kk= 2k k ， 故选 A 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知其运算法则 12.如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l下列说法错
11、误 的是（） A. 从点P向北偏西 45走3km到达l B. 公路l的走向是南偏西 45 C. 公路l的走向是北偏东 45 D. 从点P向北走3km后，再向西走3km到达l 【答案】A 【解析】 【分析】 根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可 【详解】解：如图所示，过 P 点作 AB 的垂线 PH， 选项 A：BP=AP=6km，且BPA=90，PAB 为等腰直角三角形，PAB=PBA=45， 又 PHAB，PAH 为等腰直角三角形， PH= 2 3 2 2 PA km，故选项 A 错误； 选项 B：站在公路上向西南方向看，公路l的走向是南偏西 45，故选项 B 正确； 选项 C：站在公路上
12、向东北方向看，公路l的走向是北偏东 45，故选项 C 正确； 选项 D：从点P向北走3km后到达 BP 中点 E，此时 EH 为PEH 的中位线，故 EH= 1 2 AP=3，故再向西走 3km到达l，故选项 D 正确 故选：A 【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为 中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变 13.已知光速为 300000 千米秒，光经过t秒（110t ）传播的距离用科学记数法表示为 10na 千米，则 n可能为（） A. 5B. 6 C. 5 或 6D. 5 或 6 或 7 【答案】C 【解析】 【分析】 科学记
13、数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：当 t=1 时，传播的距离为 300000 千米，写成科学记数法为： 5 3 10 千米， 当 t=10 时，传播的距离为 3000000 千米，写成科学记数法为： 6 3 10 千米， n 的值为 5 或 6， 故选：C 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 14.有一题目：“已知；点O为ABC的外心，
14、130BOC，求 A”嘉嘉的解答为：画ABC以及 它的外接圆O，连接OB，OC，如图由2130BOCA ，得65A 而淇淇说：“嘉嘉考虑 的不周全，A还应有另一个不同的值”，下列判断正确的是（） A. 淇淇说的对，且A的另一个值是 115 B. 淇淇说的不对，A就得 65 C. 嘉嘉求的结果不对，A应得 50 D. 两人都不对，A应有 3 个不同值 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案 【详解】解：如图所示： BOC=130， A=65， A 还应有另一个不同的值A与A 互补 故A18065115 故选：A 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，正确
15、分类讨论是解题关键 15.如图，现要在抛物线(4)yxx上找点( , )P a b，针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如 下， 甲：若5b ，则点P的个数为 0； 乙：若4b ，则点P的个数为 1； 丙：若3b ，则点P的个数为 1 下列判断正确的是（） A. 乙错，丙对B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】 分别令 x（4-x）的值为 5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点 P 的个数 【详解】当 b=5 时，令 x（4-x）=5，整理得：x2-4x5=0，=(-4)2-45=-60，因此点 P 有
16、2 个，丙的说法不正确； 故选：C 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次 方程根的判别式 16.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种正方形纸片，面积分 别是 1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大 的 直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据勾股定理， 222 abc，则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行判断，即可得到 面积
17、最大的三角形 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为 a、b、c， 由勾股定理，得 222 abc， A、1+4=5，则两直角边分别为：1 和 2，则面积为： 1 1 2=1 2 ； B、2+3=5，则两直角边分别为： 2和3，则面积为： 16 23= 22 ； C、3+45，则不符合题意； D、2+2=4，则两直角边分别为： 2和2，则面积为： 1 221 2 ； 6 1 2 ， 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾 股定理，以及正方形的性质进行解题 二、填空题（本大题有二、填空题（本大题有 3 个小题，共个小题，共
18、12 分分.1718 小题各小题各 3 分；分；19 小题有小题有 3 个空，每空个空，每空 2 分分） 17.已知： 182222ab ，则ab _ 【答案】6 【解析】 【分析】 根据二次根式的运算法则即可求解 【详解】 18232222 a=3,b=2 ab 6 故答案为：6 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则 18.正六边形的一个内角是正n边形一个外角的 4 倍，则n _ 【答案】12 【解析】 【分析】 先根据外角和定理求出正六边形的外角为 60，进而得到其内角为 120，再求出正 n 边形的外角为 30，再 根据外角和定理即可求解 【详解】解：由多边形的
19、外角和定理可知，正六边形的外角为：3606=60， 故正六边形的内角为 180-60=120， 又正六边形的一个内角是正n边形一个外角的 4 倍， 正 n 边形的外角为 30， 正 n 边形的边数为：36030=12 故答案为：12 【点睛】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类 题目的关键 19.如图是 8 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，每个台阶凸出的角的顶点记作 m T（m为 18 的整数） 函数 k y x （0 x ）的图象为曲线L （1）若L过点 1 T，则k _； （2）若L过点 4 T，则它必定还过另一点 m T
20、，则m_； （3）若曲线L使得 18 TT这些点分布在它的两侧，每侧各 4 个点，则k的整数值有_个 【答案】(1). 16(2). 5(3). 7 【解析】 【分析】 （1）先确定 T1的坐标，然后根据反比例函数 k y x （0 x ）即可确定 k 的值； （2）观察发现，在反比例函数图像上的点，横纵坐标只积相等，即可确定另一点； （3）先分别求出 T1T8的横纵坐标积，再从小到大排列，然后让 k 位于第 4 个和第 5 个点的横纵坐标积之 间，即可确定 k 的取值范围和 k 的整数值的个数 【详解】解： （1）由图像可知 T1（-16,1） 又函数 k y x （0 x ）的图象经过 T
21、1 1 16 k ，即 k=-16； （2）由图像可知 T1（-16,1） 、T2（-14,2） 、T3（-12,3） 、T4（-10,4） 、T5（-8,5） 、T6（-6,6） 、T7（-4,7） 、T8 （-2,8） L过点 4 T k=-104=40 观察 T1T8,发现 T5符合题意，即 m=5； （3）T1T8的横纵坐标积分别为：-16，-28，-36，-40,-40，-36，-28，-16 要使这 8 个点为于L的两侧，k 必须满足-36k-28 k 可取-29、-30、-31、-32、-33、-34、-35 共 7 个整数值 故答案为： （1）-16； （2）5； （3）7 【
22、点睛】本题考查了反比例函数图像的特点，掌握反比例函数图像上的点的横纵坐标积等于 k 是解答本题 的关键 三、解答题（本大题有三、解答题（本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20.已知两个有理数：9 和 5 （1）计算： ( 9)5 2 ； （2）若再添一个负整数m，且9，5 与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值 【答案】 （1）2； （2）1m 【解析】 【分析】 （1）根据有理数的混合运算法则即可求解； （2）根据平均数的定义列出不等式即可求出 m 的取值，故可求解 【详解】 （1） ( 9)5 2
23、 = 4 2 2 ； （2）依题意得 ( 9)5 3 m m 解得 m-2 负整数m=-1 【点睛】此题主要考查有理数、不等式及平均数，解题的关键是熟知有理数、不等式的运算法则 21.有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 2 a，同时B区就会自动减去3a，且均显示化 简后的结果已知A，B两区初始显示的分别是 25 和16，如图 如，第一次按键后，A，B两区分别显示： （1）从初始状态按 2 次后，分别求A，B两区显示的结果； （2）从初始状态按 4 次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由 【答案】 （1） 2 252a ；166a； （2） 2 4a12
24、a+9 ；和不能为负数，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）根据题意，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上 2 a，B区就会自动减去3a，可直接求出初始状 态按 2 次后 A，B 两区显示的结果 （2）依据题意，分别求出初始状态下按 4 次后 A，B 两区显示的代数式，再求 A，B 两区显示的代数式的 和，判断能否为负数即可 【详解】解： （1）A 区显示结果为： 222 25+a +a =25+2a ， B 区显示结果为：16 3a3a= 166a ； （2）初始状态按 4 次后 A 显示为： 22222 25+a +a +aa254a B 显示为：16 3a3a3a3a= 16 12a
25、A+B= 2 25+4a +(-16 12a) = 2 4a12a+9 = 2 (2a3) 2 (2a3)0恒成立， 和不能为负数 【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式 进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负 22.如图， 点O为AB中点， 分别延长OA到点C，OB到点D， 使OC OD 以点O为圆心， 分别以OA， OC为半径在CD上方作两个半圆点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合） ，连接OP并延长交大半 圆于点E，连接AE，CP （1）求证：AOEPOC； 写出1，2 和C三者间的数量关系，并说明理由 （2）若22OCOA，当C
26、最大时，直接 指出CP与小半圆的位置关系，并求此时 EOD S扇形 （答案保留 ） 【答案】 （1）见详解；2=C+1； （2）CP与小半圆相切， 4 3 【解析】 【分析】 （1）直接由已知即可得出 AO=PO，AOE=POC，OE=OC，即可证明； 由（1）得AOEPOC，可得1=OPC，根据三角形外角的性质可得2=C+OPC，即可得出答 案； （2）当C最大时，可知此时CP与小半圆相切，可得 CPOP，然后根据222OCOAOP，可得在 RtPOC 中，C=30，POC=60，可得出EOD，即可求出 S扇EOD 【详解】 （1）在AOE 和POC 中= AOPO AOEPOC OEOC
27、， AOEPOC； 2=C+1，理由如下： 由（1）得AOEPOC， 1=OPC， 根据三角形外角的性质可得2=C+OPC， 2=C+1； （2）在 P 点的运动过程中，只有 CP 与小圆相切时C 有最大值， 当C最大时，可知此时CP与小半圆相切， 由此可得 CPOP， 又222OCOAOP， 可得在 RtPOC 中，C=30，POC=60， EOD=180-POC=120， S扇EOD= 2 120 360 R = 4 3 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角，切线的性质，扇形面积的计算，掌握知识 点灵活运用是解题关键 23.用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量
28、 实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木 板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当3x 时，3W （1）求W与x的函数关系式 （2） 如图， 选一块厚度为 6 厘米的木板， 把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板 （不计分割损耗） 设 薄板的厚度为x（厘米） ，QWW 厚薄 求Q与x的函数关系式； x为何值时，Q是W薄的 3 倍？ 【注： （1）及（2）中的不必写x的取值范围】 【答案】 （1） 2 1 3 Wx； （2）124Qx；2cmx 【解析】 【分析】 （1）设 W=kx2，利用待定系数法即可求解； （2）根据题意列出函数，化简即可；根据题意列出方程故可
29、求解 【详解】 （1）设 W=kx2, 3x 时，3W 3=9k k= 1 3 W与x的函数关系式为 2 1 3 Wx； （2）薄板的厚度为 xcm，木板的厚度为 6cm 厚板的厚度为（6-x）cm， Q= 22 11 (6)412 33 xxx Q与x的函数关系式为124Qx； Q是W薄的 3 倍 -4x+12=3 2 1 3 x 解得 x1=2,x2=-6(不符题意，舍去) 经检验，x=2 是原方程的解， x=2 时，Q是W薄的 3 倍 【点睛】此题主要考查函数与方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数或方程求解 24.表格中的两组对应值满足一次函数y kxb ， 现画出了它的
30、图象为直线l， 如图 而某同学为观察k，b 对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线 l x 10 y 21 （1）求直线l的解析式； （2）请在图上画出 直线 l （不要求列表计算） ，并求直线 l 被直线l和y轴所截线段的长； （3）设直线y a 与直线l， l 及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接 写出a的值 【答案】 （1）l：31yx=+； （2）作图见解析，所截线段长为 2； （3）a的值为 5 2 或 17 5 或 7 【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法即可求解； （2）根据题意得到直线 l ，联立两直线求出交点坐标，再
31、根据两点间的距离公式即可求解； （3）分对称点在直线 l，直线 l 和 y 轴分别列式求解即可 【详解】 （1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入y kxb ， 得 2 1 kb b ， 解得 3 1 k b ， 直线l的解析式为31yx=+， （2）依题意可得直线 l 的解析式为3yx= =+ +， 作函数图像如下： 令 x=0，得 y=3，故 B（0,3） ， 令 31 3 yx yx ， 解得 1 4 x y ， A（1,4） ， 直线 l 被直线l和y轴所截线段的长 AB= 22 (1 0)(43)2 ； （3）当对称点在直线l上时， 令31ax=+，解得 x= 1 3 a , 令
32、3ax，解得 x=3a, 2 1 3 a =a-3， 解得 a=7； 当对称点在直线 l 上时， 则 2（a-3）= 1 3 a ， 解得 a= 17 5 ； 当对称点在 y 轴上时， 则 1 3 a +（3a）=0， 解得 a= 5 2 ； 综上：a的值为 5 2 或 17 5 或 7 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐 标的对称性 25.如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴3 和 5 的位置上，沿数轴做移动游戏每次移动游戏规则： 裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动 若都对或都错，则甲向东移动 1
33、 个单位，同时乙向西移动 1 个单位； 若甲对乙错，则甲向东移动 4 个单位，同时乙向东移动 2 个单位； 若甲错乙对，则甲向西移动 2 个单位，同时乙向西移动 4 个单位 （1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P； （2）从图的位置开始，若完成了 10 次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错设乙猜对n次， 且他最终 停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值； （3）从图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距 2 个单位，直接 写出k的值 【答案】 （1） 1 4 P ； （2）256mn；当4n 时，距离原点最近
34、； （3）3k 或 5 【解析】 【分析】 （1）对题干中三种情况计算对应概率，分析出正确的概率即可； 硬币朝上为正面、反面的概率均为 1 2 ， 甲和乙猜正反的情况也分为三种情况： 甲和乙都猜正面或反面，概率为 1 2 ， 甲猜正，乙猜反，概率为 1 4 ， 甲猜反，乙猜正，概率为 1 4 ， （2）根据题意可知乙答了 10 次，答对了 n 次，则打错了（10-n）次，再根据平移的规则推算出结果即可； （3）刚开始的距离是 8，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以 2 即可得到结 果； 【详解】 （1）题干中对应的三种情况的概率为： 11111 += 22222 ； 1
35、1111 += 24244 ； 11111 += 24244 ； 甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况，故 P= 1 4 （2）根据题意可知乙答了 10 次，答对了 n 次，则打错了（10-n）次， 根据题意可得，n 次答对，向西移动 4n， 10-n 次答错，向东移了 2（10-n） ， m=5-4n+2（10-n）=25-6n， 当 n=4 时，距离原点最近 （3）起初，甲乙的距离是 8， 易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小 2， 当甲乙同时答对打错时，二者之间的距离缩小 2， 当加一位置相距 2 个单位时，共缩小了 6 个单位或 10 个单位， 62=3或102=5， 3k 或5k
36、 【点睛】本题主要考查了概率的求解，通过数轴的理解进行准确分析是解题的关键 26.如图 1 和图 2，在ABC中，ABAC，8BC ， 3 tan 4 C 点K在AC边上， 点M，N分别在AB， BC上， 且2AMCN 点P从点M出发沿折线MBBN匀速移动， 到达点N时停止； 而点Q在AC 边上随P移动，且始终保持APQB （1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将ABC的面积分成上下 4：5 两部分时，求MP的长； （3）设点P移动的路程为x，当03x及39x时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子 表示） ； （4）在点P处设计并安装一扫描器，按定
37、角APQ扫描APQ区域（含边界） ，扫描器随点P从M到B 再到N共用时 36 秒若 9 4 AK ，请直接 写出点K被扫描到的总时长 【答案】 （1）3； （2） 4 3 MP ； （3）当03x时， 2448 2525 dx；当39x时， 333 55 dx ； （4）23ts 【解析】 【分析】 （1）根据当点P在BC上时，PABC 时 PA 最小，即可求出答案； （2）过 A 点向 BC 边作垂线，交 BC 于点 E，证明APQABC，可得 2 APQ ABC S AP SAB ，根据 S S 上 下 = 4 5 可 得 2 4 = 9 APQ ABC S AP SAB ，可得 2 3
38、AP AB ，求出 AB=5，即可解出 MP； （3）先讨论当 0 x3 时，P 在 BM 上运动，P 到 AC 的距离：d=PQsinC，求解即可，再讨论当 3x9 时， P 在 BN 上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据 d=CPsinC 即可得出答案； （4）先求出移动的速度= 9 36 = 1 4 ，然后先求出从 Q 平移到 K 耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时 间 【详解】 （1）当点P在BC上时，PABC 时 PA 最小， AB=AC，ABC 为等腰三角形， PAmin=tanC 2 BC = 3 4 4=3； （2）过 A 点向 BC 边作垂线，交
39、BC 于点 E， S上=SAPQ， S下=S四边形BPQC， APQB， PQBC， APQABC， APADPQ ABACBC ， 2 APQ ABC S AP SAB ， 当 S S 上 下 = 4 5 时， 2 4 = 9 APQ ABC S AP SAB ， 2 3 AP AB ， AE= 2 BC tan3C ， 根据勾股定理可得 AB=5， 22 53 APMP AB ， 解得 MP= 4 3 ； （3）当 0 x3 时，P在BM 上运动， P 到 AC 的距离：d=PQsinC， 由（2）可知 sinC= 3 5 ， d= 3 5 PQ， AP=x+2， 2 5 APxPQ AB
40、BC ， PQ= 2 8 5 x ， d= 23 8 55 x = 2448 2525 x， 当 3x9 时，P 在 BN 上运动， BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x， d=CPsinC= 3 5 （11-x）=- 3 5 x+ 33 5 ， 综上 2448 03 2525 333 39 55 xx d xx ； （4）AM=2AQ= 9 4 ， 移动的速度= 9 36 = 1 4 ， 从 Q 平移到 K，耗时： 9 2 4 1 4 =1 秒， P 在 BC 上时，K 与 Q 重合时 CQ=CK=5- 9 4 = 11 4 ， APQ+QPC=B+BAP，APQB QPC=BAP， 又B=C， ABPPCQ， 设 BP=y，CP=8-y， ABBP PCCQ ，即 5 11 8 4 y y ， 整理得 y2-8y= 55 4 ， （y-4）2= 9 4 ， 解得 y1= 5 2 ，y2= 11 2 ， 5 2 1 4 =10 秒， 11 2 1 4 =22 秒， 点K被扫描到的总时长 36-（22-10）-1=23 秒 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是 解题关键
