高一下册数学期末 外接球(含解析).docx

1、知识梳理知识梳理 模型一、圆柱外接球模型一、圆柱外接球 结论：结论： 4 2 2 h rR （R R：外接球半径：外接球半径h h：圆柱高：圆柱高r r：圆柱底面半径）：圆柱底面半径） 推导：推导： 模型一推广：模型一推广： （1 1）直棱柱）直棱柱 4 2 2 h rR（h:h:圆柱的高圆柱的高r:r:直棱柱底面外接圆半径直棱柱底面外接圆半径 ） 学学科科数学数学教师姓名教师姓名教材版本教材版本人教版新教材人教版新教材 学生姓名学生姓名所在年级所在年级上课时间上课时间 课题名称课题名称外接球问题外接球问题 教学目标教学目标1 1、圆柱和圆锥的外接球模型圆柱和圆锥的外接球模型 2、有公共斜边的

2、两个直角三角形组成的三棱锥外接球、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球 3 3、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题、利用模型解决相关棱柱和棱锥外接球问题 教学重点教学重点 教学难点教学难点 （2 2）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥）侧面为三角形，底面为矩形，侧面和底面垂直的四棱锥 （3 3）侧棱垂直于底面的棱锥）侧棱垂直于底面的棱锥 【2017 深二模】深二模】 已知三棱锥 S-ABC，ABC 是直角三角形，其斜边 AB=8，SC平面 ABC，SC=6， 则三棱锥的外接球的表面积为() （A）64（B）68（C）72（D）100 模型二、圆锥外接球模型二、圆锥外接球

3、 结论：结论： h hr R 2 22 （R R：外接球半径：外接球半径h h：圆锥高：圆锥高r r：圆锥底面半径）：圆锥底面半径） 推导：推导： 模型二推广：模型二推广： （1 1）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球）棱锥（上顶点在底面外心正上方）外接球 h hr R 2 22 （h:h:棱锥的高棱锥的高r:r:棱锥底面外接圆半径棱锥底面外接圆半径 ） 【2018 深一模】深一模】 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（） ABC16D25 【2017 全国一卷全国一卷 文文 16】 已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上， SC是

4、球O的直径 若平面SCA平面SCB， SA=AC，SB=BC， 三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为_ 【2019 全国一卷全国一卷 理理 12】 已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC， ABC 是边长为 2 的正三角形， E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为 A68B64 C62D6 模型一、二总结模型一、二总结 题型：求几何体的外接球题型：求几何体的外接球 模型一模型一： 4 2 2 h rR（圆柱模型圆柱模型）模型二模型二： h hr R 2 22 （圆锥模型圆锥模型） 适用于：适用于：适用于：适用于： 1

5、 1、所有的圆柱、直棱柱、所有的圆柱、直棱柱上顶点在底面外心正上方的棱锥上顶点在底面外心正上方的棱锥 2 2、侧棱垂直于底面的棱锥、侧棱垂直于底面的棱锥 3 3、侧面为任意三角形，底面为矩形，、侧面为任意三角形，底面为矩形， 且侧面垂直于底面的四棱锥且侧面垂直于底面的四棱锥 模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥模型三、有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处，球心在公共斜边的中点处 如下图，ABC=ADC=90，则 O 为外接球球心 1、在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角DACB，则四面 体ABCD的外接球的体积为 A. 1

6、2 125 B. 9 125 C. 6 125 D. 3 125 2.三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，且2 2SAACSBBC，4SC ，则该球的 体积为 A 256 3 B 32 3 C16D64 专题练习专题练习 类型一类型一构造法（补形法）构造法（补形法） 【例 1】已知, , ,S A B C是球O上的点SAABC 平面，ABBC,1SAAB，2BC , 则球O的表面积等于_ 【例 2】【辽宁省鞍山一中 2019 届高三三模】刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两 个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积 为（） ABC? D? 【举一反三

7、】【举一反三】 1、【山东省济宁市 2019 届高三一模】已知直三棱柱 的底面为直角三角形，且两 直角边长分别为 1 和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 ABCD 2、【、【辽宁省师范大学附属中学 2019 届高三上学期期中】在三棱锥 ? ? ? 中， ，则三棱锥 ? ? ? 外接球的表面积为（） A?BC?D 3、【河南省天一大联考 2019 届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正 视图是一个直角边为 2 的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形， 俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（） A?B? C?D? 类型二类型二正棱锥

8、与球的外接正棱锥与球的外接 【例 3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面 积为（） A 81 4 B16C9D 27 4 【举一反三】【举一反三】 1、球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四点共面，ABC 是边长为 2 的 正三角形，平面 SAB平面 ABC，则棱锥 S-ABC 的体积的最大值为() A. 3 3 B. 3C2 3D4 2. 【四川省德阳市 2018 届高三二诊】正四面体 ABCD 的体积为，则正四面体 ABCD 的外 接球的体积为_ 3、 【安徽省蚌埠市 2019 届高三下学期第二次检查】 正三棱锥 ? ?

9、 ? 中， ? ? ? ? ? ?， 点 ? 在棱 ? 上，且 ? ? ?.正三棱锥 ? ? ? 的外接球为球 ?，过 ? 点作球 ? 的截面?， ?截球 ? 所得截面面积的最小值为_ 类型三类型三直棱柱的外接球直棱柱的外接球 【例 4】 直三棱柱 111 ABCA B C的各顶点都在同一球面上， 若 1 2ABACAA,120BAC， 则此球的表面积等于. 【举一反 三】 1、 【云南省 2019 年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球 ? 的球面 上，? ? ? ? ?，? ? ? ?，若球 ? 的表面积为 ?，则这个直三棱柱的体积是（） A16B15 CD 2、 已知三棱柱 11

10、1 ABCABC的6个顶点都在球O的球面上,34ABAC，,ABAC, 1 12AA , 则球O的半径为（） A 3 17 2 B2 10C 13 2 D3 10 3、 正四棱柱 1111 ABCDA B C D的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为. 答案与解析 类型一类型一构造法（补形法）构造法（补形法） 【例 1】已知, , ,S A B C是球O上的点SAABC 平面，ABBC,1SAAB，2BC , 则球O的表面积等于_ 【答案】4 【解析】 由已知 S,A,B,C 是球 O 表面上的点， 所以OAOBOCOS， 又SAABC 平面，ABBC， 所以四面体SAB

11、C的外接球半径等于以长宽高分别以 SA,AB,BC 三边长为长方体的外接球 的半径，因为1SAAB，2BC ,所以 222 2 =2,1RSAABBCR，所以球O的表面 积 2 44SR. 【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为 长方体（正方体）来解长方体（正方体）来解.长方体的外接球即为该三棱锥的外接球长方体的外接球即为该三棱锥的外接球. 【例 2】【辽宁省鞍山一中 2019 届高三三模】刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两 个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一

12、个阳马的三视图，则其外接球的体积 为（） ABC?D? 【答案】B 【解析】 由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一 棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球， 由三视图可知四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，四棱锥的高为 1， 长方体的一个顶点处的三条棱长分别为 1，1，1， 长方体的对角线为，外接球的半径为 ， 外接球的体积为. 故选：B 【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥 或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解

13、即可或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可. 【举一反三】【举一反三】 1、【山东省济宁市 2019 届高三一模】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两 直角边长分别为 1 和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为 ABCD 【答案】C 【解析】 如图所示，将直三棱柱补充为长方体， 则该长方体的体对角线为， 设长方体的外接球的半径为 ?，则 ? ? ?，? ? ?, 所以该长方体的外接球的体积， 故选 C. 2、【、【辽宁省师范大学附属中学 2019 届高三上学期期中】在三棱锥 ? ? ? 中， ，则三棱锥 ? ? ? 外接球的表面积为（） A?蟺BC?蟺D 【答案】C

14、【解析】 解：如图， 把三棱锥 ? ? ? 补形为长方体，设长方体的长、宽、高分别为， 则， 三棱锥外接球的半径 三棱锥 ? ? ? 外接球的表面积为 故选：C 3、【河南省天一大联考 2019 届高三阶段性测试（五)】某多面体的三视图如图所示，其中正 视图是一个直角边为 2 的等腰直角三角形，侧视图是两直角边分别为 2 和 1 的直角三角形， 俯视图为一矩形，则该多面体的外接球的表面积为（） A?B? C?D? 【答案】C 【解析】 由三视图可得，该几何体为一个三棱锥，放在长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体中，此三 棱锥和长方体的外接球是同一个，长方体的外接球的球心在体对角线的中点处，易

15、得其外接 球的直径为，从而外接球的表面积为 ?. 故答案为：C. 类型二类型二正棱锥与球的外接正棱锥与球的外接 【例 3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面 积为（） A 81 4 B16C9D 27 4 【答案】A 【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外 接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径. 【举一反三】【举一反三】 1、球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，

16、A，B，C 四点共面，ABC 是边长为 2 的 正三角形，平面 SAB平面 ABC，则棱锥 S-ABC 的体积的最大值为() A. 3 3 B. 3C2 3D4 【答案】A 【解析】 (1)由于平面 SAB平面 ABC，所以点 S 在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上， 根据球的对称性可知，当 S 在“最高点”，即 H 为 AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥 S-ABC 的 体积最大学科*网 因为ABC 是边长为 2 的正三角形，所以球的半径 rOC2 3CH 2 3 3 2 22 3 3 . 在 RtSHO 中，OH1 2OC 3 3 ， 所以 SH 2 3 3 2 3 3 2 1

17、， 故所求体积的最大值为1 3 3 4 221 3 3 . 2. 【四川省德阳市 2018 届高三二诊】正四面体 ABCD 的体积为，则正四面体 ABCD 的外 接球的体积为_ 【答案】 【解析】 解：如图， 设正四面体 ABCD 的棱长为 ?，过 A 作 ADBC， 设等边三角形 ABC 的中心为 O，则 ? ? ? ? ?香 ? ? ? ?， ， ，即 ? ? 再设正四面体 ABCD 的外接球球心为 G，连接 GA， 则，即 正四面体 ABCD 的外接球的体积为. 故答案为： 3、 【安徽省蚌埠市 2019 届高三下学期第二次检查】 正三棱锥 ? ? ? 中， ? ? ? ? ? ?， 点

18、 ? 在棱 ? 上，且 ? ? ?.正三棱锥 ? ? ? 的外接球为球 ?，过 ? 点作球 ? 的截面?， ?截球 ? 所得截面面积的最小值为_ 【答案】? 【解析】 因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 ? ? ?， 所以? ? ? ?，同理? ? ? ? ? ?， 故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球 ?，直径为正方体的体对角线， 故 ? ? ? ?，设 ? 的中点为 ?，连接 ?， 则 ? ? ? ?且 ? ? ?，所以 ? ? ? ? ? ?， 当 ? ?平面?时，平面?截球 ? 的截面面积最小， 此时截面为圆面，其半径为? ? ? ? ?

19、，故截面的面积为 ?填 ? 类型三类型三直棱柱的外接球直棱柱的外接球 【例 4】 直三棱柱 111 ABCA B C的各顶点都在同一球面上， 若 1 2ABACAA,120BAC， 则此球的表面积等于. 【答案】 【解析】在ABC中2ABAC,120BAC,可得2 3BC ,由正弦定理,可得ABC外接圆 半径 r=2,设此圆圆心为 O ，球心为O，在RT OBO中，易得球半径5R ，故此球的表面积 为 2 420R. 【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用 球心、一底面的外

20、接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形 ，用勾股定理得关于外接球半径，用勾股定理得关于外接球半径 的关系式，可球的半径的关系式，可球的半径. 【举一反 三】 1、 【云南省 2019 年高三第二次统一检测】已知直三棱柱的顶点都在球 ? 的球面 上，? ? ? ? ?，? ? ? ?，若球 ? 的表面积为 ?蟺，则这个直三棱柱的体积是（） A16B15 C D 【答案】A 【解析】 由题， 因为 ? ? ? ? ?，? ? ? ?，易知三角形 ABC 为等腰直角三角形， 故三棱柱的高 故体积 ? ? ? ? 脳?脳?脳? ? ? 故选 A 2、已知三棱柱 111 ABCABC的 6 个顶点都在球O的球面上,若 34ABAC，,ABAC, 1 12AA ,则球O的半径为（） A 3 17 2 B2 10C 13 2 D3 10 【答案】C 【解析】由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M.计算 AM= 5 2 ，由垂径定理，OM=6， 所以半径 R= 22 513 ( )6 22 ,选 C. 3、 正四棱柱 1111 ABCDA B C D的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为. 【答案】大