1、第二章函数与基本初等函数 （） 知识网络 第二章函数与基本初等函数 （） 单调性 奇偶性 函数的概念 定义域 对应法则 值域 函数的性质 函数的表示 图象法 解析法 函数 指数 指数函数 指数和指数函数 对数 对数函数 对数和对数函数 幂函数 函数与方程 函数的应用 基本初等函数 （） 函数与基本 初等函数 （） 概述： 本章是在初中学习的函数及其图象的基础上， 用集合和对应的观点， 进一步研究函 数的概念及性质， 并且具体研究指数函数、 对数函数、 幂函数的图象和性质， 初步培养应 用函数的意识， 为今后的学习打下坚实的基础.学习本章要重点把握如下几方面问题： 准确地理解函数有关概念；充分揭
2、示函数与其他知识的联系；运用对比的方法理解记 忆有关函数图象和性质；对于指数函数和对数函数注意区别底数的不同范围带来的变 化； 熟练运用函数思想、 方程思想、 分类讨论思想、 类比思想、 数形结合思想解决有关 问题.同时在学习中充分体会和运用推广的思想以及逼近的思想. 列表法 7 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 要点提示: 2.1函数 一、 知识图表 在函数关系式的表 述中， 函数的定义域有 时可以省略， 这时就约 定这个函数的定义域就 是使得这个函数关系式 有意义的实数的全体构 成的集合. 函数的值域
3、被定义 域与对应法则唯一确定， 因此我们也常说函数有 两要素， 即定义域与对 应法则， 对应法则是函 数的核心， 定义域是函 数的灵魂. f（x ）与 f（a ）区 别： f（x）表示自变量x的 函数，f（a ）表示当x=a时 对应的函数值. 1.函数的概念 初始定义 在一个变化过程中， 有两个变量x和y， 如果给定了一个x 值， 相应地就确定唯一的一个y值， 那么我们称y是x的函数， 其中 x是自变量，y是因变量. 近代定义 设集合A是一个非空的数集， 对A中的任意数x， 按照确定的法 则f， 都有唯一确定的数y与它对应， 则这种对应关系叫集合A 上的一个函数.记作y=f（x），xA. 函数
4、 三要 素 定义域 自变量取值的范围叫做这个函数的定义域. y=f（x），xA， 数集A就是定义域. 值域 如果自变量取值a， 则由法则f确定的值y称为函数在a处的函 数值， 记作y=f（a）. 所有的函数值构成的集合yy=f（x），xA叫做这个函数的值 域. 对应法则对应法则 “f” 出自英语单词function（函数）. 2.映射 定义图示 映 射 设A、B是两个非空集合， 如果按照某种对应法则f， 对A中的任意一个元素x， 在B中有一个且仅有一个元 素y与x对应， 则称f是集合A到集合B的映射. 这时， 称y是x在映射f的作用下的象， 记作f（x）， 于 是y=f（x），x称作y的原象.
5、 映射f也可记为f：AB， 其中A叫做映射f的定义域 （函数定义域的推广）， 由所有象f（x）构成的集合叫做映 射f的值域， 通常记作f（A）. 一 一 映 射 如果映射f是集合A到集合B的映射， 并且对于集合B 中的任意一个元素， 在集合A中都有且只有一个原象， 这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系， 并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射. a1 a2 a3 A b1 b2 b3 B f 多 对 一 a1 a2 a3 A b1 b2 b3 B f 一 对 一 a1 a2 a3 A b1 b2 b3 B f 一 对 一 A中元素在B中都 有象，B中元素在A中 不一定有原象， 由
6、A到 B元素间可以一对一或 多对一， 而一对多的对 应不是映射. 要点提示: B中的任一元素在 A中都有且只有一个原 象. 要点提示: 8 第二章函数与基本初等函数 （） 列表法能直接看出 自变量的每一个值所对 应的函数值. 图象法能直观形象地 表示出函数的变化情况. 解析法简明、 全面 地 反 映 了 变 量 间 的 关 系， 有些函数不能用解 析法表示. 要点提示: 分段函数是一个函 数， 而不是几个函数. 要点提示: 如果一个函数在某个 区间M上是增函数或是减 函数， 就说这个函数在这 个区间M上具有单调性. 增函数的函数值随 自变量值的增大而增大， 函数图象在区间M 上， 自左至右逐渐
7、上升. 减函数的函数值随 自变量值的增大而减小， 函数图象在区间M 上， 自左至右逐渐下降. 要点提示: 3.函数的表示方法 列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法. 图象法 对于函数y=f（x） （xA） 定义域内的每一个x值， 都有唯一的y值与它 对应.把这两个对应的数构成的有序实数对 （x，y）， 作为点P的坐标， 即P（x，y）， 则所有这些点的集合F叫做函数y=f（x）的图象， 即F= P（x，y）y=f（x），xA .这种用 “图形” 表示函数的方法叫做图象法. 解析法 （公式法） 如果在函数y=f（x） （xA） 中，f（x）是用代数式 （或解析式）
8、来表达的， 则这种表示函数的方法叫做解析法. 4.分段函数 分段函数 在函数的定义域内， 对于自变量x的不同取值区间， 有着不同的对应法 则， 这样的函数通常叫做分段函数. 5.函数的单调性 定义图示 增 函 数 设函数y=f（x）的定义域为A， 区间M哿A.如果取 区间M中的任意两个值x1，x2， 改变量x=x2-x1 0， 则当y=f（x2）-f（x1）0时， 就称函数y=f（x ）在 区间M上是增函数. 减 函 数 设函数y=f（x）的定义域为A， 区间M哿A.如果取 区间M中的任意两个值x1，x2， 改变量x=x2-x1 0， 则当y=f（x2）-f（x1） 0 ， 解得 x-1 x
9、0 . 所以函数y= （x+1）0 x-x姨 的定义域是xx1 时， f（x）0. （1） 求f（1）的值；（2） 判断f（x）的单调性； （3） 若f（3）=-1， 解不等式f（x）0， 代入得f（1）=f（x1）-f（x1）=0， 故f（1）=0. 10 第二章函数与基本初等函数 （） 高考命题趋势：1题主 要考查函数的性质： 单 调性、 奇偶性及函数的 值域等知识.本题解法 很多， 可以先看函数的 奇偶性， 也可以先求函 数的值域， 还可以先研 究函数的单调性， 甚至 仅从函数的变化趋势也 能判断出答案. 2题主要考查了函 数单调性、 奇偶性及用 数形结合的思想方法解 决抽象函数问题.当
10、函 数f（x）同时具有四性（单 调性、 奇偶性、 周期性、 对称性） 中的至少两性， 我们常采用数形结合的 数学思想及类函数的方 法求解相关问题. 历年高考对函数都 有 全 面 而 深 入 的 考 查. 且常常与后续学习的内 容综合在一起进行考查. （2） 任取x1，x2（0，+）， 且x1x2， 则 x1 x2 1， 由于当x1 时， f（x）0， 所以f x1 x2 2 ?0， 即f（x1）-f（x2）0， 因此f（x1）0时， 由f（x）-2， 得f（x）9； 当x0时， 由f（x）-2得f（-x）9， 故x-9. 不等式的解集为xx9 . 四、 高考回眸 1.（全国新课标9） 函数f（
11、x）=（1-cosx）sinx在 -仔，仔 的图 象大致为 （） 答案：C 2.（2013年四川卷 7） 函数y= x3 3x-1 的图象大致是 （） 答案：A 不等式中出现的常数转 化 为 某 自 变 量 的 函 数 值， 把不等式两边都化 为同一自变量的函数值 的形式， 然后根据单调 性得到自变量应满足的 不等式再进行求解. y O x 1 -仔 仔 y O x 1 -仔 仔 y O x 1 -仔 仔 y O x 1 -仔 仔 y Ox y Ox y Ox y Ox AB CD ABCD 11 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI
12、DINGLU TUBIAO 2.2指数与指数函数 一、 知识图表 1.有理指数幂 有理指数幂数学表达式 正整数指数幂 （即 nN+） an=aa a n个 ， 即an表示n个a相乘. 零指数幂a0=1（a0），0的零次幂无意义. 负整数指数幂a-n= 1 an （a0，nN+）， 即负整数指数幂是一个分数. 正分数指数幂a m n= am n 姨 （a0，m、nN+， 且 m n 为既约分数）. 负分数指数幂 a -m n= 1 a m n = 1 am n 姨 （a0，m、nN+， 且 m n 为既约分数）. 2.有理指数幂的运算法则 设a0，b0， 则对任意的有理数琢、茁， 有理指数幂的运
13、算法则是： 数学表达式文字表达 a琢a茁=a琢+茁同底数的幂相乘， 底数不变， 指数相加. a琢a茁=a琢-茁同底数的幂相除， 底数不变， 指数相减. （a琢）茁=a琢茁幂的乘方， 底数不变， 幂指数与乘方次数相乘. （ab）琢=a琢b琢积的乘方， 各个因式分别乘方再相乘. a b b ? 琢=a琢 b琢 分式乘方， 分子乘方所得幂作分子， 分母乘方所得的幂作分母. 3.方根的定义与性质 定义如果存在实数x， 使得xn=a（aR，n1，nN+）， 则x叫做a的n次方根. （1） 正数a的偶次方根有两个， 它们互为相反数， 分别表示为a n 姨 ，-a n 姨 （a0，n为偶数）. 性质 （2）
14、 负数的偶次方根在实数范围内不存在. （3） 正数的奇次方根是一个正数， 负数的奇次方根是一个负数， 都表示为 a n 姨 （n为奇数）. （4） 零的n次方根是0（nN+，n1）. （5） 正数a的正n次方根叫做a的n次算术根. an（nN+） 叫做a 的n次幂. a叫做幂的底数，n 叫做幂的指数. a0及a-n中a0. 0的 正 分 数 次 幂 是 0，0的负分数次幂没有 意义. 要点提示: 求a的n次 方 根 ， 叫做把a开n次方， 称 作开方运算. n次 方 根 的 概 念 与 性质就是平方根、 立方 根的概念与性质的推广. 要点提示: 对各公式要准确记 忆， 不可混淆. 要点提示:
15、12 第二章函数与基本初等函数 （） 4.根式的定义与性质 定义 当a n 姨 有意义时，a n 姨 叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数. 性质 （1） （a n 姨 ）n=a（n1， 且nN+）. （2）an n 姨= a当n为奇数时 a当n为偶数 数 时. 5.指数函数 y=ax（a0，a1， xR） a10a0 时， y1.当x0 时， 0y1. 图象 函数值的 变化规律 当x0 时， 0y1.当x1. 当x=0 时， y=1. 在 （-，+ ） 上是增函数. 在 （-，+ ） 上是减函数. 1. a m n （a0，m、nN+， 且 m n 为既约分数）， 不表示相同因式的乘积，
16、分数指数幂是根式的一 种新的写法， 根式与分数指数幂表示相同意义的量， 只是形式上的不同. 2. a-n= 1 an （nN+，a0）， 1 an 是个分数， 又分母不能为0， 所以限定a0. 3.负数的分数指数幂是否有意义， 应视指数的分子、 分母具体数值而定. 4.在有关指数幂的运算中， 注意等价转化思想、 整体处理思想及类比推理的应用.对于代数式 的化简结果， 可用根式或分数指数幂中的一种形式表示， 尽可能与原式形式相一致， 但不能同时出 现根式和分数指数幂的形式， 也不能既有分母， 又有负指数. 5.在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质， 充分利用函数图象理解函数的性 质
17、.从函数的各个方面研究指数函数， 比如： 定义、 解析式、 定义域、 值域、 图象和单调性. 例1求值： （1-2 姨 ）2 1 2-（1+ 2姨）-1-1+21347. 二、 重要概念剖析 应注意an n 姨 不一定 等于a， 如：（-3）4 4 姨= 3. 要点提示: 函 数y =ax（a 0， a1，xR） 叫做指数 函数. 0dc1b1) y=1 (0,1) x y O (0a0，a1） 的定义域为R， 所以函数 y=af（x）（a0，a1） 与函数f（x）的定义域相同； 函数值域要充分利 用指数函数的单调性. 解： （1） 显然函数的定义域为R. -x2+2x=-（x-1）2+11，
18、 又y= 1 3 ? ? x 为减函数， 1 3 ? ? -x2+2x 1 3 ? ? 1 = 1 3 . 函数y= 1 3 ? ? -x2+2x 的值域为 1 3 ，+ ? ? . （2） 由32x-1- 1 9 0， 得32x-13-2. y=3x为增函数，2x-1-2，x- 1 2 ， 此函数的定义域为- 1 2 ，+ ? ? . 由32x-1- 1 9 0，y0， 即此函数的值域为 0，+）. 1.（2011福建文科） 已知函数f（x）= 2x，x0 x+1，x 0 若f（a）+f（1） =0， 则实数a的值等于 （） A. -3B. -1 C. 1D. 3 答案：A 2.（2011
19、陕西理） （4x-2-x）6（xR） 展开式中的常数项是（） A. -20B. -15 C. 15D. 20 答案：C 名师经验谈：求解有关 函数的定义域和值域， 要注意关注y=ax（a0， a1） 的 底a1及0 a0， 且a1） 中， 对于实数集R内的每一个值x， 在 正实数集内都有唯一确定的值y和它对应； 反之， 对于正实数集内的每 一个确定的值y， 在R内都有唯一确定的值x和它对应， 幂指数x， 又叫 做以a为底y的对数. 底数真数 对于指数式ab=N， 我们把 “以a为底N的对数b” 记做 “logaN”， 即b= logaN（a0， 且a1）.其中， 数a叫做对数的底数，N叫做真数
20、， 读作 “b等于以a为底N的对数”. 常用对数以10为底的对数叫做常用对数， 把log10N记做lgN. 自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e2.71828， 把logeN记做lnN. 由 于ab=N，b = logaN，所 以 有 恒 等 式 alog aN ?=N. 0和负数没有对 数即真数大于0；1的对 数 等 于0， 即loga1=0； 底 的 对 数 等 于1，即 logaa=1. 要点提示: 2.对数的运算法则及换底公式 a0，a0，M0，N0，琢R. log2（-3） （-5）=log23+ log25 log3（-2）2=2log32= 2log32 要点提示:
21、 指数 对数 幂 真数 ab=N 圳 logaN=b 底数 对数运算数学表达式文字表达 换底公式 及推论 logaN=logcN logca （c0，c1）log ? anNm= m n logaN（m，nR，n0） 幂的对数logaM琢=琢logaM 正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数 幂的底数的对数. 积的对数loga（MN）=logaM+logaN 正因数积的对数等于同一底数的各因数 对数的和. 商的对数logaM N =logaM-logaN 两个正数商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数. 定义 对数式x=logay（a0，a1）， 对于y在正实数集内的每一个确定的值，
22、在实 数集R内都有唯一确定的x值和它对应.根据函数定义， 这个式子确定了正 实数集上的一个函数关系， 其中y是自变量，x是因变量.函数x=logay（a0， a1，y0） 叫做对数函数.习惯上， 常用x表示自变量，y表示因变量， 因 此对数函数通常写成y=logax（a0，a1，x0）. 性质 a10a1 定义域（0，+） 值域R 恒过定点图象恒过定点 （1，0）. 单调性在 （0，+） 上是增函数.在 （0，+） 上是减函数. 函数值的 变化规律 当0 x1 时， y0.当0 x0. 当x=1 时， y=0.当x=1 时， y=0. 当x1 时， y0.当x1 时， y0. 3.对数函数 对
23、数函数的底数对 函数的性质起着决定性 的作用.在 讨 论 对 数 函 数的有关性质时， 要充 分考虑a的范围， 必要 时要分类讨论. 0a1a21a3 0，a1） 是 互 为 反 函 数， 它们的图象关于直 线y=x对称. 要点提示: 二、 重要概念剖析 x y O y=logax (a1) x y O y=logax(0a0，a1） 引出， 在这个式子中已知指数和幂求这个底数的 运算就是开方运算； 已知一个数和它的指数求幂的运算就是指数运算； 而已知一个数和它的幂求指 数的运算就是对数运算.从方程的角度看， 这个式子有三个量， 知二求一.对数运算的符号 “log” 其实与 “+”、“-”、“
24、”、 “姨” 一样， 表示一种运算. 2.利用对数运算法则时， 要注意各个字母的取值约束：M0，N0，a0，a1.要注意， 只有 所列等式中的对数都存在时， 等式才有意义.如log2（-3）（-5）是存在的， 但log2（-3），log2（-5） 都不存在， 因此不能得出log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）.又如lg（-2）2是存在的， 但lg（-2）无意 义， 因此不能得出lg（-2）2=2lg（-2）. 3.在理解对数函数定义的基础上， 掌握对数函数的图象和性质， 充分利用函数图象理解函数性 质.和指数函数一样， 底数对对数函数的性质起着决定性的作用.在讨论对数函数
25、的有关性质时， 要 充分考虑底的取值范围， 必要时要分类讨论. 例1已知0ayzB. zyxC. yxzD. zxy 思路引导：准确应用运算法则对x、y、z进行化简整理， 再应用0 a1 时， y=logax的递减性质来比较大小. 解： x=loga2姨+loga3姨=loga6姨，y= 1 2 loga5=loga5姨， z=loga21姨-loga3姨=loga7姨， 由于0axz. C选项正确. 答案：C 16 第二章函数与基本初等函数 （） 名师经验谈：本题是指 数函数与对数函数的交 叉运算问题， 此类问题 都离不开对底的取值范 围的讨论. 本题 （2 ） 问中1ax a+1变形为a0
26、axalog a（a+1） ? 处 理起来不易出错. 如： caxb变形为 alog ac ?axa logab ?；clogaxb 变 形 为logaaclogax1及0 a0， 且a1）. （1） 求f（x）的定义域；（2） 当x取何值时，f（x）1； （3） 讨论f（x）的单调性. 思路引导：底数a的不同取值范围， 确定了函数的单调性， 分类讨 论a的取值范围进行计算. 解： （1） 由ax-10， 即ax1=a0. 当a1时， 函数定义域为x（0，+）； 当0a1， 即loga（ax-1）logaa. 当a1 时， ax-1a，axa+1=alog a（a+1） ?， 得xloga（a
27、+1）； 当0a1 时， 0ax-1a，1axa+1， 即a0axalog a（a+1） ?， loga（1+a）x1或0a1 1 ， 则满足f（x）2 的x的取值范围是 （） A.-1，2B.0，2 C.1，+）D.0，+） 答案：D 2.（2011天津高考文科） 已知a=log23.6，b=log43.2，c=log43.6， 则 （） A. abcB. acb C. bacD. cab 答案：B 3.（2011 安徽高考文科 T5） 若点 （a，b） 在y=lgx图象上，a 1， 则下列点也在此图象上的是 （） A. 1 a ， ，? b B.（10a，1-b） C. 10 a ，b+
28、，? 1 D.（a2，2b） 答案：D 四、 高考回眸 高考命题趋势：以对数 函数为载体， 应用对数 运算法则、 对数函数的 性质， 考查比较实数的大 小， 确定函数的定义域、 值域、 研究函数的图象 等， 是一类热门问题. 在解答题中， 利用指 数函数底的变化， 综合考 查性质及运算， 及分类讨 论思想， 一般属中档题. 以形如y=lnx的函数为基 本载体， 与导数知识相综 合， 考查复合函数的最值 问题， 属难题. 17 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 2.4幂函数 一、 知识图表 定义一般地， 形
29、如y=x琢（琢R） 的函数称为幂函数， 其中琢为常数. 图象 性质 所有的幂函数在 （0，+） 都有定义， 并且图象都通过点 （1，1）. 琢0图象过原点 （0，0）； 在区间 0，+） 上是增函数. 琢0， 则 图 象 为 抛 物 线 型.当琢1时 ， 图 象 在 0，） 上是向下凸的； 当0琢1时 ， 图 象 在 0，+） 上是向上凸的. 若琢0，p、q均为奇数 B. pq0，p、q均为奇数 C. pq0，p为奇数，q为偶数 D. pq0，p为偶数，q为奇数 思路引导：由图象判断函数y=x p q的定义域、 奇偶性 及单调性， 来确定幂指数值的情况. 解： 由图象知 p q 0，pqcbB
30、. abc C. cabD. bca 答案：A 四、 高考回眸 高考命题趋势：幂函数 一般同一次函数、 二次 函数、 指数函数、 对数 函数一起， 考查它的性 质.属于比较容易的题目. 2.5函数与方程 一、 知识图表 函数零点在坐标系 中表示图象与x轴的公 共点是 （琢，0 ） 点.函数 y=f（x）的零点就是方程 f（x）=0的实数根， 也就 是函数y=f（x）的图象与x 轴交点的横坐标， 所以 方程f（x）=0有实根圳函 数y=f（x）的图象与x轴 有交点圳函数y=f（x ）有 零点. 要点提示: 函数零点 一般地， 如果函数y=f（x）在实数琢处的值等于零， 即f（琢）=0， 则琢叫做
31、 这个函数的零点. 变号零点 与不变号 零点 如果函数y=f（x）在一个区间 a，b 上的图象不间断， 并且在它的两个 端点处的函数值异号， 即f（a）f（b）0， 则这个函数在这个区间上， 至少 有一个零点， 即存在一点x0（a，b）， 使f（x0）=0.如果函数图象通过零 点时穿过x轴， 则称这样的零点为变号零点， 如果没有穿过x轴， 则称 这样的零点为不变号零点. 二分法 对于在区间 a，b 上连续不断， 且满足f（a）f（b）0的函数y= f（x）， 能通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端 点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫二分法. 三、 学习方
32、法引导 名师经验谈：判断函数 在某区间上是否有变号零 点及确定零点所在具体范 围， 关键要把握两条： （1） 函数的图象在 某区间是否是连续不断 19 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 在区间. 解： f（-2）=-2+ 2 2 =-1，f（-1）=-1+2=1， f（-2） f（-1）0， 且a1） 有两个零点， 则实数a的取值范围是. 答案：（1，+） 四、 高考回眸 高考命题趋势：零点的 概念及将零点问题转化 为函数图象交点问题或 方程解的问题， 是高考 的一个热点问题. 的一条曲线. （2） 该函
33、数是否满 足在上述区间上的两个 端点处， 函数值之积小 于0. 2.6函数的应用 一、 知识图表 函 数 模 型 的 应 用 ， 实质上是函数思想方法 的应用.处理问题的一般 方法是根据题意， 先构 建函数模型， 把所给问 题转化为对函数的图象 和性质的研究， 从而间 接地求出所需要的结论. 要点提示: 函数模型应用 的三个方面 利用给定的函数模型解决问题；建立确定性函数模型解决问 题； 建立拟合函数模型解决实际问题. 解决应用问题 的思维导图 实际问题数学问题 实际问题结论数学问题答案 建模 （审题、 转化、 抽象） 还原 （结合实际评价） 解模 （运算、 求解） 问题 解决 解决应用问题的
34、基本步骤： 1.审题： 弄清题意， 分清条件和结论， 抓住关键词和量， 理顺数量关系. 2.建模： 将文字语言转化成数学语言， 利用数学知识， 建立相应的数学模型. 3.求模： 求解数学模型， 得到数学结论. 4.还原： 将数学结论还原为实际问题的结论. 二、 重要概念剖析 20 第二章函数与基本初等函数 （） 名师经验谈：函数应用 问题一般有两种：（1） 建 立 模 型 ， 然 后 解 模. （2） 给出模型， 然后用 相关待定系数方法或函 数性质解模， 本例是第 二种. 解答应用题关键是 深刻理解题意， 学会文 字语言、 符号语言、 图 形语言之间的转化.在 理解的基础上， 重要的 是建立
35、恰当的数学模型. 高考命题趋势：数学应 用性问题是高考命题的 主要题型之一， 也是考 生 失 分 较 多 的 一 种 题 型.在后续的学习中还 要学习其他模型， 其中 函数模型是一种极其重 要的模型. 例有时可用函数f（x）= 0.1+15ln a a-x ，x6 x-4.4 x-4 ，x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 描述学习某学科知识 的掌握程度， 其中x表示某学科知识的学习次数 （xN+），f（x ）表 示对该学科知识的掌握程度， 正实数a与学科知识有关. （1） 证明： 当x7时， 掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降； （2） 根 据 经 验 ， 学 科
36、甲 、 乙 、 丙 对 应 的a的 取 值 区 间 分 别 为 （115，121，（121，127，（127，133.当学习某学科知识6次 时， 掌握程度是85%， 请确定相应的学科. 思路引导：（1） 从函数的单调性定义出发分析解决；（2） 应用待 定系数方法解题. 解： （1） 由题意， 当x7 时， f（x+1）-f（x）= 0.4 （x-3）（x-4） . 而当x7时， 函数y=（x-3）（x-4）单调递增， 且（ x-3）（x-4）0， f（x+1）-f（x）单调递减. 当x7时， 掌握程度的增长量f（x+1）-f（x）总是下降. （2） 由题意可知0.1+15ln a a-6 =0
37、.85. 整理得 a a-6 =e0.05， 解得a e0.05 e0.05-1 6123（121，127. 由此可知， 该学科是乙学科. 1.（2011福建卷理科） 某商场销售某种商品的经验表明， 该商 品每日的销售量y（单位： 千克） 与销售价格x（单位： 元/千克） 满 足关系式y= a x-3 +10（x-6）2， 其中3x6，a为常数， 已知销售价格为 5元/千克时， 每日可售出该商品11千克. （） 求a的值. （） 若该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x的值， 使 商场每日销售该商品所获得的利润最大. 解 ：（ ） 因为x=5 时， y=11， 所以 a 2 +10=11
38、， 所以a=2. （） 由 （） 可知， 该 商品每日的销售量y= 2 x-3 +10（x-6）2.所以商场每日销售该商品所获得的利润 f（x）=（x-3） 2 x-3 +10（x-6） ）? 2 =2+10（x-3）（x-6）2，3x6.从而f（x）=10（x-6）2+ 2（x-3）（x-6）=30（x-4）（x-6）.于是， 当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如 上表.由上表可得，x=4是函数f（x）在区间 （3，6） 内的极大值点， 也是最 大值点.所以， 当x=4时， 函数f（x）取得最大值， 且最大值等于42.当销售 价格为4元/千克时， 商场每日销售该商品所获得的利润最大. 四、 高考回眸 三、 学习方法引导 x（3，4）4（4，6） f（x）+0- f（x）单调递增极大值42单调递减 21
