1、江苏省淮安市 2020-2021 学年高一下学期期末调研测试 数学试题 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）只有一项是符合题目要求的） 1若复数1zi ，则 z 在复平面内对应的点位于（） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 2每年的 3 月 15 日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的 20 家肉制 品店、 100 家粮食加工品店和 15 家乳制品店进行抽检， 要用分层抽样的方法从中抽检 27 家， 则粮食加工品店需要
2、被抽检（） A20 家B10 家C15 家D25 家 3在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 222 3bcabc，则角 A 的大小为（） A 6 B 2 3 C 3 D 5 6 4已知为第二象限角， 4 sin 5 ，则tan2（） A 24 7 B 24 7 C 24 25 D 4 3 5如图，在有五个正方形拼接而成的图形中，（） A 2 B 3 v C 4 D 6 6已知 m，n，l 是不重合的三条直线，是不重合的三个平面，则（） A若/m n，m，则/n B若l，m，lm，则/ C若，l，则l D若m，n，/m，/n，则/ 7古代将圆台称为“圆亭”， 九章算术中“
3、今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问 积几何？”即一圆台形建筑物， 下底周长 3 丈， 上底周长 2 丈， 高 1 丈， 则它的体积为 （） A 19 8 立方丈B 19 12 立方丈 C 19 8 立方丈D 19 12 立方丈 8已知点 P 是边长为 1 的正方形ABCD的对角线BD上的一点，则()ABPAPC 的最 小值为（） A 1 4 B 1 2 C1D2 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分
4、，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9下列说法中正确的是（） A若/a b ，/b c ，则/a c B对于向量a ，b ，c ，有 a bca b c C向量 1 1,2e ， 2 5,7e 能作为所在平面内的一组基底 D设m ，n 为非零向量，则“存在负数，使得mn ”是“0m n ”的充分而不必要条 件 10某位同学连续抛掷质地均匀的骰子 10 次，向上的点数分别为 1，2，2，2，3，3，3，4， 5，5，则这 10 个数（） A众数为 2 和 3B标准差为 8 5 C平均数为 3D第 85 百分位数为 4.5 11 正六角星形是人们普遍知道
5、的犹太人标志， 凡是犹太人所到之处， 都可看到这种标志 正 六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成 （如图一） 如图二所示的正六角星的中心为 O， A，B，C 是该正六角星的顶点，则（） A向量OA ，OB 的夹角为 120 B若| 2OA ，则6OA OC C|3 |OCOAOB D若OAxOByOC ，则1xy 12如图，点 M 是棱长为 1 的正方体 1111 ABDABC D的侧面 11 ADD A上的一个动点，则下 列结论正确的是（） A二面角 1 MADB的大小为 45 B存在点 1 MAD，使得异面直线CM与 11 AB所成的角为 30 C点 M 存在无数个位置满足 1 CMAD
6、 D点 M 存在无数个位置满足/CM面 11 ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13若向量1, 2a ，写出一个与向量a 方向相反且共线的向量_ 14若一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且3OA，1B C ， 则该平面图形的面积为_ 15 已知 (0,) 2 ， (,) 2 ， 2 2 sin 3 ， 7 sin() 9 ， 则sin_ 16粽子古称“角黍” ，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成，因 各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子” ，其形状可以看成所有 棱长都
7、相等的正四棱锥，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球， 则当这个蛋黄的体积最大时，正四棱锥的高与蛋黄半径的比值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 设复数 1 23zi， 2 (zmi mR，i 为虚数单位） （1）若 1 2 z z 为实数，求 m 的值； （2）若 12 zzz，且|26z ，求 m 的值 18 （本小题满分 12 分） 4 月 23 日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了
8、解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取 1000 名中学生进行调查，统计他们每日课 外阅读的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图 （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计 1000 名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数 据用该组区间的中点值代表该组数据平均值） ； （2）若采用分层抽样的方法，从样本在60，80） 80，100内的学生中共抽取 5 人来进一 步了解阅读情况，再从中选取 2 人进行跟踪分析，求抽取的这 2 名学生来自不同组的概率 19 （本小题满分 12 分） 九章算术是中国古代的一部数学专著，其中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖 臑” 在直四棱柱 1111
9、 ABCDABC D中，E，F 分别为线段 1 AB与 1 AC上的中点 （1）求证：/EF平面 1111 ABC D； （2）从三棱锥 1 AABC中选择合适的两条棱填空：_，使得三棱 锥 1 AABC为“鳖臑” ；并证明你的结论 20 （本小题满分 12 分） 某企业生产两种如下图所示的电路子模块 R，Q： 要求在每个模块中， 不同位置接入不同种类型的电子元件， 且备选电子元件为 A， B， C 型 假 设不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影响在电路子模块 R 中，当号位与 2 号位 元件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常工作在电路子模块 Q 中，当 1 号位 元件正常工作，
10、同时 2 号位与 3 号位元件中至少有一件正常工作时， 电路子模块才能正常工 作 （1）若备选电子元件 A，B 型正常工作的概率分别为 0.9，0.8，依次接入位置 1，2，求此 时电路子模块 R 能正常工作的概率； （2）若备选电子元件 A，B，C 型正常工作的概率分别为 0.7，0.8，0.9，试问如何接入备选 电子元件，电路子模块 Q 能正常工作的概率最大，并说明理由 21 （本小题满分 12 分） 从2coscos0bcAaB； 222 4 3 3 bcaS； tantan2 tanbABcB 这三个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答 已知ABC中，角 A，B，C 所对的边分别
11、是 a，b，c，且_ （1）求角 A 的大小； （2）若ABC为锐角三角形，2 3b ，求ABC的周长的取值范围 22 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥OABC中，1OA，2OB ，3OC ，且OA，OB，OC两两夹角 都为 （1）若90，求三棱锥OABC的体积； （2）若60，求三棱锥OABC的体积 参考答案 一、单项选择题一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1 【答案】A 【解析】坐标为（1，1） 2 【答案】A 【解析】三种店的比例为 20：100：15=4：20：23 故抽 20 家粮食加工店
12、 3 【答案】D 【解析】由题意知 3 cos 2 A ，则 5 | 6 A 4 【答案】B 【解析】 4 tan 3 ， 2 2tan24 tan2 1 (tan)7 5 【答案】C 【解析】tan3， 1 tan 3 ，tan1 6 【答案】C 【解析】A 错误，还可以在平面内B 错误，可以互相垂直D 错误，可 以相交 7 【答案】B 【解析】设上底半径为 r，下底半径为 R，22r ，23R ， 1 r ， 3 2 R 22 119 () 312 Vh RrRr 8 【答案】C 【解析】如图 PAPBkDB ，11k | | cos451DB ABDBAB ()ABPAPBk ， min
13、 1k ，此时 P 与 B 重合 二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分）分） 9 【答案】CD 【解析】A：b 不能为0 ；B：两向量方向未必相同 10 【答案】AC 【解析】众数为 2 和 3，平均数为 1 3 23 342 5 3 10 ； 标准差 222 (1 3)(23)(53)2 10 105 ， 这组数按照从小到大排为 1
14、，2，2，2，3，3，3，4，5，510 85%8.5，85 非整数， 则第 85 百分位数为第九个数 5 11 【答案】ABC 【解析】:AAOB由两个小正三角形，为120 :( 2)2|6B OA OCOAOBOBOAOA OB C：有平行四边形法则可知，|3OC ，| 1OAOB 则3 |OCOAOB D：由平行四边形法则可知，若以OB ，OC 为基底分解，则系数和应该为复制，否则方向 与OA 不一致，故错误 12 【答案】AC A：这个二面角的大小即为 11 AADB的二面角大小为 45 B：CD平行 11 ABMCD为异面直线CM与 11 AB所成角当 M 在线段 1 AD，移动时，
15、 M 取 1 AD中点，MCD最小，正弦值为 2 2 ，错误 C：当 M 在 1 A D上时，满足条件 11 ADAD， 1 ADCD， 1 CDADD 1 AD 平面 1 CAD CM 平面 1 CAD 1 CMAD| 11 :/D ADBC， 1 BC 平面 11 ABC， 1 AD 平面 11 ABC 1/ AD平面 11 ABC， 11 /CDAB， 1 AB 平面 11 ABC， 1 CD 平面 11 ABC 1/ CD平面 11 ABC 111 ADCDD平面 1 /ADC平面 11 ABC 当 M 在 1 AD时，CM 平面 1 ADC/CM平面 11 ABC 三、填空题：本题共
16、三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 【答案】 （1，2） 【解析】bka ，0k 时，方向相反且共线，所以(1,2)ba 14 【答案】4 2 【解析】作C DOA，B EOA，因为45C OA，1B C ，3OA 所以1DEBC ，1ODA E因此2 cos45 OD OC 又根据斜二测画法的特征可得，在原图中 ABBC，/AD BC，即原图为直角梯形，且高为直观图中OC的 2 倍， 所以该平面图形的面积为 1 (1 3) 2 24 2 2 S 15 【答案】 1 3 【解析】因为 2 2 sin 3 ， (,) 2 ，所以 1 cos 3
17、12 27 sin)sincoscossinsincos 339 ( 22 7 sin2 2cos 3 sincos1a ，因为 (0,) 2 ，所以 1 sin 3 16 【答案】31 【解析】设正四棱锥的棱长均为2 cma，球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥的五个 面都相切 正四棱锥的高 22 ( 3 )2 cmhaaa，设球半径为 r，四棱锥的面积 1 3 VSr 表 ， 2 13 42222(4 34)cm 22 Saaaaa 表 ， 223 114 2 (4 34)42 333 Varaaa (4 34)4 2ra， 62 2 ra ，所以 2 31 62 2 na r a 四、解
18、答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【解】 （1）由于 1 222 2 23(23 )()(23)(32) 111 zii mimm i zmimmm R， 所以 2 (32) 0 1 m m ，解得 2 3 m ； （2）由于 12 (23)(32)zzzmmi，所以 22 (23)(32)26zmm， 解得1m 18 【解】 （1）由0.025001000.01500.0100201a可得0.0125a ； 这 1000 名学生每日的平均阅读时间， 10 0.0530 0.250
19、 0.2570 0.3 90 0.258i 分钟； （2）由于 0.33 0.22 ，因此， 60，80）抽取了 3 人 a，b，c，80,100抽取了 2 人 d，e， 则再从中抽取 2 人共有,ab ac ad ae bc bd be cd ce de10 种不同的抽取方法， 抽取的 2 人来自不同组共有 6 种可能，因此抽取的 2 人来自不同组的概率为 3 5 19 【解】 （1）证明：在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，因为 E，F 分别为 1 ABC边 1 AB与 1 AC的中点， 所以/EF BC，又因为 11 /BC BC，所以 11 /EF BC，因为EF 平面 111
20、1 ABC D， 11 BC 平 面 1111 ABC D 所以/EF平面 1111 ABC D； （2）若BCAB，则三棱锥 1 AABC为“鳖臑” ；且ABC为直角三角形；证明：在直 四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 A A 平面ABCD，所以 1 A AAC， 1 A AAB，所以 1 A AC， 1 A AB均为直角三角形；因为 1 A ABC，BCAB， 1 A AABA， 1 A A，AB 平 面 11 ADD A，所以BC 平面 1 AAB； 又因为AB 平面 1 AAB，所以 1 BCAB，所以 1 ABC为直角三角形 因此，三棱锥 1 AABC的四个面均为直角三角
21、形，三棱锥 1 AABC为“鳖儒” 20 【解】 （1）假设事件 A，B，C 分别表示电子元件 A，B，C 正常工作，电路子模块 R 不 能正常工作的概率为()P AB，由于事件 A，B 互相独立，所以 ()( )( )(1 0.9) (1 0.8)0.02P ABP AP B， 因此电路子模块 R 能正常工作的概率为1 0.020.98 （2）由于当 1 号位元件正常工作，同时 2 号位与 3 号位元件中至少有一件正常工作时，电 路子模块 Q 才能正常工作，因此若 1 号位元件为电子元件 A，则电路子模块 Q 正常工作 的概率为 ( ) 1()0.7(0.80.90.8 0.9)0.686P
22、 AP BC ； 若 1 号位元件为电子元件 B，则电路子模块 Q 正常工作的概率为 ( ) 1()0.8(0.70.90.7 0.9)0.776P BP AC ； 若 1 号位元件为电子元件 c，则电路子模块 Q 正常工作的概率为 ( ) 1()0.9(0.70.80.7 0.8)0.846P CP AB ； 因此，1 号位接入正常工作概率最大的元件 C 时，电路子模块 Q 正常工作的概率最大 21 【解】 （1）若选，在ABC中，由正弦定理得： sincos2sincossincos0BACAAB， 因为ABC，A，B，0,C，所以sin2sincos0CCA且sin0C ，因此 1 co
23、s 2 A ， 3 A ； 若选，在ABC中，由余弦定理得 4 31 2cossin 32 bcAbcA， 所以sin3cosAA，因为sin0A， 因此tan3A ，且,0A，故 3 A ； 若选，在ABC中， 2tansincoscossinsin 1 tancossincossin cAABABC bBABAB ， 且sin0C 由正弦定理得： 22sinsin sincossin cCC bBA ，故 1 cos 2 A ， 3 A ； （2）因为ABC为锐角三角形，所以(0,) 2 B，(0,) 2 C，因此(,) 6 2 B 由正弦定理得： 2 3 sinsinsin ca BC
24、， 因为 2 3sin sin C c B ， 3 sin a B ，所以ABC的周长为 2 3sin3 2 3 sin C B ， 2 3sin()3 2 3sin31cos3 3 2 32 333 33 3 sinsinsin tan 2 B CB B BBB ， , 6 2 B 由于tan(23,1) 2 B ，所以ABC的周长取值范围为(33 3,66 3) 22 【解】 （1）因为OAOB，OAOC，OBOCO，OB，OC 平面OBC 所以OA平面OBC，因此 1 1 3 O ABCABC VSOA ， （2）解法一，在线段OC上取点 D，使得2OD ，连接AD，BD， 因为60AO
25、B，1OA，2OB ， 由于余弦定理可得：3AB ，所以ABOA 同理可得：ADOA，又因为ABADA，AD，AB 平面ABD， 所以OA平面ABD，在等腰三角形ABD中， 因为3ABAD，2BD ， 所以2 ABD S ，所以三棱锥OABD的体积为 12 33 O ABDABD VSOA 由于 3 2 OCOD，因此 32 22 O ABCO ABD VV 解法二：过点 B 作面OAC的垂线，垂足为 H，过点 B 作OC的垂线，垂足为 M， 连接HA，HO，HM，因为60AOB，1OA，2OB ， 由于余弦定理可得：3AB ，所以ABOA， OBOB，60AOBMOB，90OABOMB， 所以BOA与BOM全等，故ABBM， 又因为BHHB，所以直角三角形BAH与BMH全等， HAHM，因为OAAB，OABH，AB，BH 平面ABH， ABBHB，所以OA平面ABH 又因为AH 平面ABH，所以OAAH 同理可得：OMMH，在直角三角形OAH，OMH中， 因为AHHM，OHHO，所以OAH与OMH全等， AOHMOH ，点 H 在AOC的平分线上， 因为AOH为直角三角形，OAAH，1OA，30AOH，所以 2 3 3 AOH ， 因此 2 6 3 HB ， 2 2 O ABCB AOC VV
