1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 考点考点 7 7数列求和数列求和 玩前必备 1公式法求和 常用的求和公式有： (1) 等差数列的前 n 项和公式：Snna1an 2 na1nn1 2 d. (2) 等比数列的前 n 项和公式：Sn na1，q1， a1（1qn） 1q a1anq 1q ，q1. 2.错位相减法求和 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 3.裂项相消法求和 方法是把数列的通项拆分成两项之差，在求和时一些项正负抵消，从而可以求和 常用的裂项公式有： (1) 1 nn1 1 n 1 n1； (2) 1 2n12n1 1 2 1 2n1 1 2n1 ； (3)
2、1 n n1 n1 n. (4) 1 n(n1)(n2) 1 2 1 n(n1) 1 (n1)(n2) ； 4.分组求和 通过把数列分成若干组，然后利用等差、等比等求和公式求和 玩转典例 题型一分组求和分组求和 例例 1（2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知 n a是等差数列， n b是等比数列，且 2 3b ， 3 9b ， 11 ab， 144 ab （1）求 n a的通项公式； （2）设 nnn cab，求数列 n c的前 n 项和 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【答案】 （1）21 n an； （2） 2 31 2 n n 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d
3、，等比数列 n b的公比为q， 因为 23 3,9bb，可得 3 2 3 b q b ，所以 221 2 3 33 nnn n bb q ， 又由 11144 1,27abab，所以 141 2 14 1 aa d ， 所以数列 n a的通项公式为 1 (1)12(1)21 n aandnn （2）由题意知 1 (21)3n nnn cabn ，则数列 n c的前n项和为 12 (121)1 331 1 3(21)(1 393) 21 32 nn n nn nn 例例 2（2020五华区校级模拟）已知 n a是公差不为零的等差数列， 4 13a ，且 1 a， 2 a， 7 a成等比数列 （1
4、）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 ( 1)n nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求 2019 T 【解答】解： （1）设 n a的公差为d，0d ， 1 a， 2 a， 7 a成等比数列， 2 217 aa a， 可得 2 111 ()(6 )ada ad，又0d ，得 1 4da，又 41 313aad，联立可得 1 1a ，4d ， 14(1)43 n ann ； （2） 11 ( 1)( 1)(43) nn nn ban ， 2019122009 Tbbb (15)(913)(80658069)8073( 4) 100980734037 玩转跟踪 1.（2020番
5、禺区模拟）设数列 n a是公差不为零的等差数列，其前n项和为 n S， 1 1a 若 1 a， 2 a， 5 a成 等比数列 （1）求 n a及 n S； （2）设 * 2 1 1 2 () 1 n a n n bnN a ，求数列 n b前n项和 n T 【解答】解： （1）设数列 n a是公差为d，且不为零的等差数列， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 1 1a 若 1 a， 2 a， 5 a成等比数列，可得 2 152 a aa，即有 2 1(14 )(1)dd，解得2d ， 则12(1)21 n ann ； 2 1 (121) 2 n Snnn； （2） 2121 22 1 111 1
6、1 22()2 1(21)141 n ann n n b annn ， 可得前n项和 21 111111 (1)(282) 42231 n n T nn 112(14 )2 (1)(41) 4114443 n n n nn 2. （2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知数列 n a中， 1 1a ， 1 21 nn aan ， nn ban. （1）求证：数列 n b是等比数列; （2）求数列 n a的前n项和 n S. 【解析】 （1）证明：因为 1 21, nnnn aanban 所以 11 121122 nnnnn banannanb , 又因为 11 120ba ,则 1
7、 2 n n b b , 所以数列 n b是首项为 2,公比为 2 的等比数列. （2）由（1）知2n nn anb,所以2n n an, 所以 23 2 122232n n Sn 23 2222123 n n 1 2 12 11 22 1222 n n nnnn 题型题型二二错位相减法求和错位相减法求和 例 2（2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列an的首项为 a11，且 * 1 2(1)() nn aanN . （）证明：数列an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （）设 bnlog2（an+2）log23，求数列 3 2 n n b a 的前 n 项和 n T. 【解析】
8、（） 11 21 ,222 nnnn aaaa ， 则数列2 n a 是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列， 1 23 2n n a ，即 1* 3 22 n n anN . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 （）由（）知， 1 222 log2log 3log 21 n nn ban ， 1 31 22 n n n bn a . 01221 01221 22222 n nn nn T ， 1231 101221 222222 n nn nn T ， 13n 1 11 1111111 22 1 1 2222222 1 2 n n nnn nnn T ， 则 1 1 2 2 n n n T
9、 . 玩转跟踪 1.（2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在 3252 56aaab，； 2343 23baab，； 3452 98Saab，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 已知等差数列 n a的公差为1d d ，前 n 项和为 n S，等比数列 n b的公比为 q，且 11 abdq， _ （1）求数列 n a， n b的通项公式 （2）记 n n n a c b ，求数列 n c，的前 n 项和 n T注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【解析】方案一：选条件 （1） 325211 561aaababdqd， ， 1 11 25 256 ad ada d
10、 解得 1 1 2 a d 或 1 25 6 5 12 a d （舍去） ， 1 1 2 b q ， 1 1 n nd21n 11 1 2 nn n bbq - = （2） n n n a c b ， 1 1 211 (21)( ) 22 n n n n cn 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 n n n 1 3(23) 2 n n ，
11、1 1 6(23) 2 n n Tn 方案二：选条件 （1） 234311 2,3 ,1baab ab dq d 1 2 11 2 253 a d ada d 1 1 2 256 a d add 解得 1 1 2 a d 或 1 1 2 a d （舍去） 1 1 2 b q 1 (1) = n aand =2n-1， 11 1 2 nn n bbq - = （2） n n n a c b ， 1 1 211 (21)( ) 22 n n n n cn 221 1111 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn
12、 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 n n n 1 3(23) 2 n n 1 1 6(23) 2 n n Tn 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 方案三：选条件 345211 9,8 ,1Saab ab dq d， 1 11 3 278 ad ada d 解得 1 1 2 a d 或 1 21 8 3 8 a d （舍去） ， 1 1 2 b q ， 1 (1) n aand21n 1 1 n n bbq 1 2n （2） n n n a c b 1 1 211 (21) 22 n n n n cn 221 11
13、11 135(23)(21) 2222 nn n Tnn 231 111111 35(23)(21) 222222 nn n Tnn 21 11111 12(21) 22222 nn n Tn 1 11 1 22 1 12(21) 1 2 1 2 m n n 1 3(23) 2 n n 1 1 6(23) 2 n n Tn 题型题型三三利用利用裂项相消法求和裂项相消法求和 例例 3（2020山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列 n a的前4项和为 4 14S , 且 137 ,a a a成等比 数列. （1）求数列 n a的通项公式; （2）求数列 1 1 nn a a 的前n项和 n T
14、. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 【解析】 （1）设公差为d.由已知得 1 2 111 4614 26 ad adaad ,解得1d 或0d （舍去）, 所以 1 2a , 故1 n an. （2） 1 1111 1212 nn a annnn , 111111 . 23341222 n n T nnn 玩转跟踪 1.（2020福清市一模）已知数列 n a的前n项和为 n S，满足22 nn aS （）求 n a （）若数列 n b满足 * 1 4 () n n nn a bnN S S ， n b的前n项和 n T 【解答】解： （1）22 nn aS 2n时， 11 22 nn aS
15、，可得： 1 220 nnn aaa ，可得： 1 2 nn aa 1n 时， 11 22aa，解得 1 2a ， 数列 n a是首项公比都为 2 的等比数列2n n a （2）由（1）可得： 2(21) 2(21) 2 1 n n n S 11 211 (21)(21)2121 n n nnnn b 数列 n b的前n项和 22311 1111111 1 21212121212121 n nnn T 玩转练习 1. （2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知数列 n a中， 1 1a ， 1 21 nn aan ， nn ban. （1）求证：数列 n b是等比数列; （2）求数
16、列 n a的前n项和 n S. 【解析】 （1）证明：因为 1 21, nnnn aanban 所以 11 121122 nnnnn banannanb , 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 又因为 11 120ba ,则 1 2 n n b b , 所以数列 n b是首项为 2,公比为 2 的等比数列. （2）由（1）知2n nn anb,所以2n n an, 所以 23 2 122232n n Sn 23 2222123 n n 1 2 12 11 22 1222 n n nnnn 2.（2020山东高三下学期开学）已知数列 n a满足 123 123 252525253 n nn aaa
17、a （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 1 1 nn a a 的前n项和为 n T，证明： 11 226 n T 【解析】 （1）解： 123 123 252525253 n nn aaaa ， 当1n 时， 1 4a 当2n 时， 1231 12311 252525253 n nn aaaa ， 由-，得 35 2 2 n n an ， 因为 1 4a 符合上式，所以 35 2 n n a （2）证明： 1 14411 35383 3538 nn a annnn 12231 111 n nn T a aa aa a 4111111 381111143538nn 411 3838n
18、 ，因为 11 0 3811n ，所以 11 226 n T 3.（2020全国 3 卷）设数列an满足 a1=3， 1 34 nn aan （1）计算 a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 （2）求数列2nan的前 n 项和 Sn 【答案】 （1） 2 5a ， 3 7a ，21 n an，证明见解析； （2） 1 (21) 22 n n Sn . 【解析】 （1）利用递推公式得出 23 ,a a，猜想得出 n a的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可. 【详解】 （1）由题意可得 21 34945aa， 32 381587a
19、a， 由数列 n a的前三项可猜想数列 n a是以3为首项，2 为公差的等差数列，即21 n an， 证明如下：当1n 时， 1 3a 成立； 假设nk时，21 k ak成立. 那么1nk时， 1 343(21)4232(1) 1 kk aakkkkk 也成立. 则对任意的 * nN ，都有21 n an成立； （2）由（1）可知，2(21) 2 nn n an 231 3 25 27 2(21) 2(21) 2 nn n Snn ， 2341 23 25 27 2(21) 2(21) 2 nn n Snn ， 由得： 231 62222(21) 2 nn n Sn 21 1 21 2 62(
20、21) 2 1 2 n n n 1 (12 ) 22 n n ， 即 1 (21) 22 n n Sn . 4.（2020江西省名高三第二次大联考（理） ）已知首项为 4 的数列 n a满足 1 1 22 1 n n n na a n . （1）证明：数列 2 n n na 是等差数列. （2）令 2 log nn ba，求数列 n b的前n项和 n S. 【解析】 （1）证明：因为 1 1 22 1 n n n na a n ，所以 1 1 122n nn nana ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 所以 1 1 1 1 22 n n nn nana ，所以 1 1 1 1 22 n n
21、 nn nana . 因为 1 4a ，所以 1 2 2 a .故数列 2 n n na 是首项为 2，公差为 1 的等差数列. （2）解：由（1）可知1 2 n n na n，则 1 2n n n a n . 因为 2 log nn ba，所以 2222 111 log2loglog 2log nn n nnn bn nnn ， 则 123nn Sbbbb 2222 341 log 2 1log2log3log 23 n n n 2222 341 log 2logloglog123 23 n n n 2 1 log1 2 n n n . 5.(安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且 a
22、1a49，a2a38. (1)求数列an的通项公式； (2)设 Sn为数列an的前 n 项和，bn an1 SnSn1，求数列b n的前 n 项和 Tn. 解(1)由题设知 a1a4a2a38. 又 a1a49.可解得 a11， a48 或 a18， a41 (舍去). 由 a4a1q3得公比 q2，故 ana1qn 12n1. (2)Sna1（1q n） 1q 2n1，又 bn an1 SnSn1 Sn1Sn SnSn1 1 Sn 1 Sn1， 所以 Tnb1b2bn 1 S1 1 S2 1 S2 1 S3 1 Sn 1 Sn1 1 S1 1 Sn11 1 2n 11. 6.(浙江，17)已
23、知数列an和bn满足 a12，b11，an12an(nN*)，b11 2b 21 3b 31 nb n bn11(nN*). (1)求 an与 bn； (2)记数列anbn的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解(1)由 a12，an12an，得 an2n(nN*). 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 由题意知：当 n1 时，b1b21，故 b22. 当 n2 时，1 nb nbn1bn，整理得 bn1 n1 bn n ，所以 bnn(nN*). (2)由(1)知 anbnn2n.因此 Tn2222323n2n， 2Tn22223324n2n 1，所以 Tn2Tn222232nn2n1. 故 T
24、n(n1)2n 12(nN*). 7.（湖南高考）设 n S 为数列 n a 的前项和，已知0 1 a ，2 nn SSaa 11 ，nN ()求 1 a， 2 a，并求数列 n a 的通项公式； ()求数列 n na 的前n项和 【解析】() 111111 21.SSaanaS时，当. 1, 0 11 aa 11 1 11 1 1 1 222 22 1 nnnn nn nnn aaaa S aa S aa ssan时，当- .*,221 1 1 Nnaqaa n nn 的等比数列，公比为时首项为 （） nnnn qanqaqaqaqTanaaaT 321321 321321设 1432 32
25、1 nn anaaaqT 上式错位相减： nn n n nnn nna q q anaaaaaTq212 1 1 )1 ( 111321 *, 12) 1(NnnT n n 8.(安徽，18)数列an满足 a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*. (1)证明：数列an n 是等差数列； (2)设 bn3nan，求数列bn的前 n 项和 Sn. (1)证明由已知可得 an1 n1 an n 1，即 an1 n1 an n 1. 所以an n 是以a1 1 1 为首项，1 为公差的等差数列. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 (2)解由(1)得an n 1(n1)1n，所以 ann2.从而
26、 bnn3n. Sn131232333n3n， 3Sn132233(n1)3nn3n 1. 得2Sn31323nn3n 1 3 （13 n） 13 n3n 1（12n）3n 13 2 .所以 Sn（2n1）3 n13 4 . 9.(新课标全国，17)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程 x25x60 的根. (1)求an的通项公式； (2)求数列an 2n的前 n 项和. 解(1)方程 x25x60 的两根为 2，3，由题意得 a22，a43. 设数列an的公差为 d，则 a4a22d，故 d1 2，从而 a 13 2. 所以an的通项公式为 an1 2n1. (2) 设an 2n的前
27、n 项和为 S n，由(1)知an 2n n2 2n 1，则 Sn 3 22 4 23 n1 2n n2 2n 1， 1 2S n 3 23 4 24 n1 2n 1 n2 2n 2.两式相减得 1 2S n3 4 1 23 1 2n 1 n2 2n 23 4 1 4 1 1 2n 1 n2 2n 2. 所以 Sn2n4 2n 1. 10.(重庆，16)设数列an满足：a11，an13an，nN (1)求an的通项公式及前 n 项和 Sn； (2)已知bn是等差数列，Tn为其前 n 项和，且 b1a2，b3a1a2a3，求 T20. 解(1)由题设知an是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
28、所以 an3n 1，Sn13n 13 1 2(3 n1). (2)b1a23，b313913，b3b1102d， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 所以公差 d5，故 T202032019 2 51 010. 11.(重庆，18)已知等差数列an满足 a32，前 3 项和 S39 2. (1)求an的通项公式； (2)设等比数列bn满足 b1a1，b4a15，求bn的前 n 项和 Tn. 解(1)设an的公差为 d，则由已知条件得 a12d2，3a132 2 d9 2， 化简得 a12d2，a1d3 2，解得 a 11，d1 2，故通项公式 a n1n1 2 ，即 ann1 2 . (2)由(1)得 b11，b4a15151 2 8.设bn的公比为 q，则 q3b4 b18，从而 q2， 故bn的前 n 项和 Tnb1（1q n） 1q 1（12 n） 12 2n1.
