1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点考点 1 16 6直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质 玩前必备 1直线与平面垂直 图形条件结论 判定 ab，b(b 为内的任意直线) a am，an，m、n，mnO a ab，ab 性质 a，b ab a，bab 2两个平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线那么这两个
2、平面互相垂直 l l (3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言图形语言符号语言 性质 定理 如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面 a l la l 玩转典例 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 题型题型一一线面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质 例例 1 （2020湖北模拟） 如图， AB 为O 的直径， PA 垂直于O 所在的平面， M 为圆周上任意一点， ANPM， N 为垂足 (1)求证：AN平面 PBM. (2)若 AQPB，垂足为 Q，求证
3、 NQPB. 证明(1)AB 为O 的直径，AMBM.又 PA平面 ABM，PABM. 又PAAMA，BM平面 PAM.又 AN平面 PAM，BMAN. 又 ANPM，且 BMPMM，AN平面 PBM. (2)由(1)知 AN平面 PBM，PB平面 PBM，ANPB.又AQPB，ANAQA， PB平面 ANQ.又 NQ平面 ANQ，PBNQ. 玩转跟踪 1.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ABAD，ACCD，ABC 60，PAABBC，E 是 PC 的中点 证明：(1)CDAE； (2)PD平面 ABE. 证明(1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD平面
4、 ABCD， PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC. 而 AE平面 PAC，CDAE. (2)由 PAABBC，ABC60，可得 ACPA.E 是 PC 的中点，AEPC. 由(1)，知 AECD，且 PCCDC，AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD. PA底面 ABCD，PAAB.又ABAD 且 PAADA， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面 ABE. 2.（2020新全国 1 山东）如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形，PD底面 ABCD设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老
5、师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）证明：l平面 PDC； 【详解】（1）证明： 在正方形ABCD中，/AD BC， 因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以/AD平面PBC， 又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以/AD l， 因为在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，所以,ADDClDC 且PD 平面ABCD，所以,ADPDlPD 因为CDPDD所以l 平面PDC； 题型二题型二平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质 例例 2（2020梅河口市校级模拟）如图，在四棱锥PABCD中，
6、PD 平面ABCD，/ /ABCD，ABBC， 4ABBC，22CDCE （1）证明：平面PAD 平面PDE； 【解答】解：（1）在直角梯形ABCD中，4ABBC，2CD ，1CE ， 可得 22 5DECECD， 22 5AEBEAB， 22 ()2 5ADABCDBC， 222 DEAEAD，ADDE，PD 平面ABCD，DE 平面ABCD，PDDE， 又ADPDD ，DE 平面PAD，又DE 平面PDE，平面PAD 平面PDE， 玩转跟踪 1.（2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点 （）求证：BD 平面PAC； （）若60ABC
7、，求证：平面PAB 平面PAE； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 证明：（）四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为菱形， BDPA，BDAC，PAACA ，BD平面PAC （）在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为菱形， E为CD的中点，60ABC，ABAE，PAAE，PAABA ，AE平面PAB， AE 平面PAE，平面PAB 平面PAE 2.（2020咸阳二模）如图，在直角梯形ABCD中，/ /ABDC，90ABC，22ABDCBC，E为AB 的中
8、点， 沿DE将ADE折起， 使得点A到点P位置， 且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与 点B，C不重合） （1）求证：平面EMN 平面PBC； 【解答】解：( ) I证明：PEEB，PEED，EBEDE ， PE平面EBCD，又PE 平面PEB，平面PEB 平面EBCD， BC 平面EBCD，BCEB，平面PBC 平面PEB， PEEB，PMMB，EMPB，BCPB ，EM平面PEB， EM平面EMN，平面EMN 平面PBC 题型三平行、垂直的综合应用 例 3(北京高考)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面 ABCD， PAAD.E 和
9、F 分别是 CD、PC 的中点求证： (1)PA底面 ABCD； (2)BE平面 PAD； (3)平面 BEF平面 PCD. 证明(1)平面 PAD平面 ABCDAD.又平面 PAD平面 ABCD，且 PAAD. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 PA底面 ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E 为 CD 的中点，ABDE，且 ABDE. 四边形 ABED 为平行四边形BEAD.又BE平面 PAD，AD平面 PAD， BE平面 PAD. (3)ABAD，且四边形 ABED 为平行四边
10、形BECD，ADCD. 由(1)知 PA底面 ABCD，则 PACD，又 PAADA，CD平面 PAD， 从而 CDPD，又 E、F 分别为 CD、CP 的中点，EFPD，故 CDEF. 由 EF，BE 在平面 BEF 内，且 EFBEE，CD平面 BEF.又CD平面 PCD， 平面 BEF底面 PCD. 玩转跟踪 1 (北京高考)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC 2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点 (1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1； (2)求证：C1F平面 ABE； (1)证明在三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1底面 AB
11、C， 所以 BB1AB.又因为 ABBC， 所以 AB平面 B1BCC1，又 AB平面 ABE， 所以平面 ABE平面 B1BCC1. (2)证明取 AB 的中点 G，连接 EG，FG.因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 所以 FGAC，且 FG1 2AC.因为 ACA 1C1，且 ACA1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1， 所以四边形 FGEC1为平行四边形所以 C1FEG.又因为 EG平面 ABE，C1F平面 ABE， 所以 C1F平面 ABE. 玩转练习 1.(天津，17)如图，已知 AA1平面 ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2 5， AA1 7，BB12 7，
12、点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点. (1)求证：EF平面 A1B1BA； (2)求证：平面 AEA1平面 BCB1； (1)证明如图， 连接 A1B， 在A1BC 中， 因为 E 和 F 分别是 BC 和 A1C 的中点， 所以 EFBA1.又因为 EF平面 A1B1BA，所以 EF平面 A1B1BA. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2)证明因为 ABAC，E 为 BC 中点，所以 AEBC，因为 AA1平面 ABC，BB1AA1，所 以 BB1平面 ABC，从而
13、BB1AE.又因为 BCBB1B，所以 AE平面 BCB1，又因为 AE 平面 AEA1，所以平面 AEA1平面 BCB1. 2.(山东，18)如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，ABBC1 2AD，E， F 分别为线段 AD，PC 的中点 (1)求证：AP平面 BEF； (2)求证：BE平面 PAC. 解析.证明(1)设 ACBEO，连接 OF，EC. 由于 E 为 AD 的中点，ABBC1 2AD，ADBC， 所以 AEBC，AEABBC，所以四边形 ABCE 为菱形，所以 O 为 AC 的中点 又 F 为 PC 的中点，所以在PAC 中，可得 APOF.又 OF平面
14、 BEF，AP平面 BEF，所以 AP平面 BEF. (2)由题意知 EDBC，EDBC.所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 BECD. 又 AP平面 PCD，所以 APCD，所以 APBE.因为四边形 ABCE 为菱形，所以 BEAC. 又 APACA，AP、AC平面 PAC，所以 BE平面 PAC. 3.(2016北京，18)如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面 PAC； (2)求证：平面 PAB平面 PAC； (3)设点E 为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由. 解析.(1)证明PC平面 ABC
15、D，DC平面 ABCD， PCDC.又 ACDC，PCACC，PC平面 PAC，AC平面 PAC，CD平面 PAC. (2)证明ABCD，CD平面 PAC，AB平面 PAC， 又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAC. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (3)解棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF. 证明如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又因为 E 为 AB 的中点，EF 为PAB 的中位线， EFPA.又 PA平面 CEF，EF平面 CEF，PA平面
16、CEF. 4.（2019 江苏 16）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 BC，AC 的中点，AB=BC 求证：（1）A1B1平面 DEC1； （2）BEC1E 证明证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，所以 EDAB. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以 A1B1ED.又因为 ED平面 DEC1，A1B1平面 DEC1， 所以 A1B1平面 DEC1. （2）因为 AB=BC，E 为 AC 的中点，所以 BEAC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 CC1平面 ABC.又因为 BE平面 ABC，所以 CC1BE. 因为 C
17、1C平面 A1ACC1，AC平面 A1ACC1，C1CAC=C，所以 BE平面 A1ACC1. 因为 C1E平面 A1ACC1，所以 BEC1E. 5.（2015重庆）如图，三棱锥PABC中，平面PAC 平面ABC， 2 ABC ，点D、E在线段AC上， 且2ADDEEC，4PDPC，点F在线段AB上，且/ /EFBC （）证明：AB 平面PFE 解：（）如图，由DEEC，PDPC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC， 又平面PAC 平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE 平面PAC，PEAC， 所以PE 平面ABC，从而PEAB因为 2 ABC ，/ /EFBC，故ABEF， 玩
18、转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB 平面PEF 6（2019新课标）图 1 是由矩形ADEB，Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中1AB ， 2BEBF，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； 解：（1）证明：由已知可得/ /ADBE，/ /CGBE，即有/ /ADCG， 则AD，CG确定一个平面，从而A，C，
19、G，D四点共面； 由四边形ABED为矩形，可得ABBE，由ABC为直角三角形，可得ABBC， 又BCBEB ，可得AB 平面BCGE，AB 平面ABC，可得平面ABC 平面BCGE； 7（2018江苏）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 111 ABBC 求证：（1）/ /AB平面 11 A BC； （2）平面 11 ABB A 平面 1 ABC 证明：（1）平行六面体 1111 ABCDABC D中， 11 / /ABAB， 11 / /ABAB，AB 平面 11 A BC， 11 / /A B 平面 11 / /ABCAB平面 11 A BC； （2）在平行六面
20、体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB，四边形 11 ABB A是菱形， 11 ABAB 在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 1111 ABBCABBC 111 1 111 , , ABAB ABBC ABBCB ABABC BCABC 面面 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1 AB面 1 ABC，且 1 AB 平面 11 ABB A平面 11 ABB A 平面 1 ABC 8（2018新课标）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，
21、M是CD上异于C，D的 点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得/ /MC平面PBD？说明理由 （1）证明：矩形ABCD所在平面与半圆弦CD所在平面垂直，所以AD 半圆弦CD所在平面，CM 半圆 弦CD所在平面， CMAD， M是CD上异于C，D的点CMDM，DMADD ，CM平面AMD，CM 平面CMB， 平面AMD 平面BMC； 9 （2018新课标）如图，在平行四边形ABCM中，3ABAC，90ACM，以AC为折痕将ACM 折起，使点M到达点D的位置，且ABDA （1）证明：平面ACD 平面ABC； 解：（1）证明：在平行四边形ABCM中，90ACM
22、，ABAC， 又ABDA且ADACA ，AB面ADC，AB 面ABC，平面ACD 平面ABC； 10 （2020福建省泉州市高三质检（理）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA 平面ABCD， AEPD. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）证明：AE平面PCD； 【解析】 （1）证明:因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD， 所以PACD，因为底面ABCD是正方形，所以ADCD，又PAADA，所以CD 平面PAD， 因为AE 平面PAD，所以CDAE，又因为,AEPD CD
23、PDD，,CD PD 平面PCD， 所以AE平面PCD 11 （2020北京市西城区高三一模） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 平面ABCD， 底面 ABCD 满足ADBC，且 1 22 2.ABADAABDDC， ()求证:AB 平面 11 ADD A; 【解析】 () 1 AA 平面ABCD，AB平面ABCD，故 1 AAAB. 2ABAD，2 2BD ，故 222 ABADBD ，故ABAD. 1 ADAAA，故AB 平面 11 ADD A. 12.（2020吉林省高三二模（理）如图，已知三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABCB BC与是全等的等边三 角形. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）求证： 1 BCAB； 【解析】 （1）取 BC 的中点 O，连接AO， 1 BO， 由于ABC与 1 B BC是等边三角形，所以有AOBC， 1 BOBC， 且 1 AOBOO，所以BC平面 1 B AO， 1 AB 平面 1 B AO，所以 1 BCAB
