1、 矩形、菱形与正方形 华师版 特殊四边形与动点问题 1如图如图，在在 ABCD中中，E，F两点在对角线两点在对角线BD上运动上运动，且保持且保持BEDF， 连结连结AE，CF.请你猜想请你猜想AE与与CF有怎样的数量关系和位置关系有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想并对你的猜想 加以证明加以证明 解：猜想：解：猜想：AECF，AECF，证明如下：证明如下：四边形四边形ABCD是平行四边是平行四边 形形，ABCD，ABCD，ABECDF，在在ABE和和CDF中中， ABCD，ABECDF，BEDF，ABECDF(SAS)， AECF，AEBCFD，AEBAEDCFDCFB 180，AEDCF
2、B，AECF 2如图如图，平行四边形平行四边形OABC的顶点的顶点O为坐标原点为坐标原点，点点A在在x轴正半轴上轴正半轴上， COA60，OA10 cm，OC4 cm，点点P从点从点C出发沿出发沿CB方向方向，以以1 cm/s的速度向点的速度向点B运动；点运动；点Q从点从点A同时出发沿同时出发沿AO方向方向，以以3 cm/s的速度向原的速度向原 点运动点运动，其中一个动点到达终点时其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动另一个动点也随之停止运动 (1)从运动开始从运动开始，经过多长时间经过多长时间，四边形四边形OCPQ是平行四边形？是平行四边形？ (2)在点在点P，Q运动的过程中运动的
3、过程中，四边形四边形OCPQ有可能成为矩形吗？若能有可能成为矩形吗？若能，求出运求出运 动时间；若不能动时间；若不能，请说明理由；请说明理由； (3)在点在点P，Q运动的过程中运动的过程中，四边形四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能有可能成为菱形吗？若能，求出运求出运 动时间；若不能动时间；若不能，请说明理由请说明理由 解：解：(1)设从运动开始设从运动开始，经过经过x s，四边形四边形OCPQ是平行四边形是平行四边形， 则则OQCP，即即103xx，解得解得x2.5， 即从运动开始即从运动开始，经过经过2.5 s，四边形四边形OCPQ是平行四边形是平行四边形 (2)(2)四边形四边形OCPQ
4、OCPQ不可能成为矩形理由：若四边形不可能成为矩形理由：若四边形OCPQOCPQ能成为矩形能成为矩形， 则四边形则四边形OCPQOCPQ的每一个内角均为的每一个内角均为9090，而已知而已知COACOA6060， 所以四边形所以四边形OCPQOCPQ不可能成为矩形不可能成为矩形 (3)四边形四边形OCPQ不可能成为菱形理由：若四边形不可能成为菱形理由：若四边形OCPQ成为菱形成为菱形， 则则COQOCP4 cm.OA10 cm，AQ1046(cm)， 则点则点Q运动的时间为运动的时间为632(s)，这时这时CP212(cm)， CP4 cm，四边形四边形OCPQ不可能成为菱形不可能成为菱形 3
5、如图如图，在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中，矩形矩形OACB的顶点的顶点O在坐标原点在坐标原点，顶点顶点 A，B分别在分别在x轴、轴、y轴的正半轴上轴的正半轴上，OA3，OB4，D为为OB边的中点边的中点，E为为 OA边上的一个动点边上的一个动点，当当CDE的周长最小时的周长最小时，求点求点E的坐标的坐标 点点E的坐标为的坐标为(1，0) 4如图如图，矩形矩形ABCD中中，AB4 cm，BC6 cm，现有一动点现有一动点P从点从点A出发出发 以以2 cm/s的速度的速度，沿矩形的边按沿矩形的边按ABCD的方向回到点的方向回到点A，设点设点P运动的运动的 时间为时间为t s. (1)当当t3
6、时时，求求ABP的面积；的面积； (2)当当t为何值时为何值时，点点P与点与点A的距离为的距离为5 cm? (3)当当t为何值时为何值时(2t5)，以线段以线段AD，CP，AP的长度为三边长的三角形是的长度为三边长的三角形是 直角三角形直角三角形，且且AP长是斜边长？长是斜边长？ (1)4 cm2 (2)当当 t7 2或 或15 2 时时，点点 P 与点与点 A 的距离为的距离为 5 cm (3)当当 t13 3 时时，以线段以线段 AD，CP， AP 的长度为三边长的三角形是直角三角形的长度为三边长的三角形是直角三角形，且且 AP 长是斜边长长是斜边长 5如图如图，菱形菱形ABCD中中，B6
7、0，点点E在边在边BC上上，点点F在边在边CD上上 (1)如图如图，若若E是是BC的中点的中点，AEF60，求证：求证：BEDF； (2)如图如图 ，若若EAF60，求证：求证：AEF是等边三角形是等边三角形 证明：证明：(1)连结连结AC.菱形菱形ABCD中中，B60，ABBCCD， BCD180B120，ABC是等边三角形是等边三角形 E是是BC的中点的中点，AEBC.AEF60， FEC90AEF30，CFE180FECBCD 1803012030，FECCFE，ECCF.BEDF (2)连结连结AC.由由(1)知知ABC是等边三角形是等边三角形，ABAC， ACBBACEAF60，BA
8、ECAF. BCD120，ACB60，ACF60B， ABEACF，AEAF，AEF是等边三角形是等边三角形 6如图如图，一个直角三角形纸片的顶点一个直角三角形纸片的顶点A在在MON的边的边OM上移动上移动，移动过移动过 程中始终保持程中始终保持ABON于点于点B，ACOM于点于点A，MON的平分线的平分线OP分别交分别交 AB，AC于于D，E两点两点 (1)点点A在移动的过程中在移动的过程中，线段线段AD和和AE有怎样的数量关系有怎样的数量关系，并说明理由；并说明理由； (2)点点A在移动的过程中在移动的过程中，若射线若射线ON上始终存在一点上始终存在一点F与点与点A关于关于OP所在的所在的
9、 直线对称直线对称，判断并说明以判断并说明以A，D，F，E为顶点的四边形是怎样的特殊四边为顶点的四边形是怎样的特殊四边 形？形？ (3)若若MON45，猜想线段猜想线段AC，AD，OC之间有怎样的数量关系之间有怎样的数量关系，只写只写 出结果即可出结果即可，不用证明不用证明 解：解：(1)AEAD.理由如下：理由如下：ABON，ACOM， AED90MOP，ADEODB90NOP. OP平分平分MON，MOPNOP，AEDADE，ADAE (2)以以A，D，F，E为顶点的四边形是菱形说明：如图为顶点的四边形是菱形说明：如图，连结连结DF，EF， 点点F与点与点A关于直线关于直线OP对称对称，点
10、点E，D在在OP上上，AEFE，ADFD.由由(1) 得得AEAD，AEFEADFD，四边形四边形ADFE是菱形是菱形 (3)OCACAD.证明：证明：四边形四边形ADFE是菱形是菱形，AEO FEO.AOEFOE，EFOEAO90，EFOC， EFO90.AEOFEO，OAEA，OFEF，OA OF.MON45，ACOAOC45，OAAC，FEC FCE，EFCF，CFAE，OCOFFCOAAEACAD 7如图如图，已知正方形已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 1，E 为为 CD 的中点的中点， P 为正方形为正方形 ABCD 边上的动点边上的动点，动点动点 P 从点从点 A 出发出发，
11、 沿沿 ABCE 的方向运动的方向运动，若点若点 P 经过的路程为经过的路程为 x，APE 的面积为的面积为 y. (1)求求 y 与与 x 之间的函数关系式；之间的函数关系式； (2)当点当点 P 的运动路程为多少时的运动路程为多少时，APE 的面积为的面积为1 3？ ？ (1)y 1 2x（ （0x1）， 3 4 1 4x（ （1x2）， 5 4 1 2x（ （2x5 2） ） (2)当点当点 P 的运动路程为的运动路程为2 3或 或5 3时 时，APE 的面积为的面积为1 3 8如图如图，在边长为在边长为5的正方形的正方形ABCD中中，点点E，F分别是分别是BC，CD边上的动边上的动 点
12、点，且且AEEF，BE2，延长延长EF交正方形中交正方形中BCD的外角平分线的外角平分线CP于点于点P. (1)试判断试判断AE与与EP的大小关系的大小关系，并说明理由；并说明理由； (2)在在AB边上是否存在一点边上是否存在一点M，使得四边形使得四边形DMEP是平行四边形？若存在是平行四边形？若存在， 请给予证明；若不存在请给予证明；若不存在，请说明理由请说明理由 解：解：(1)AEAP.理由：如图理由：如图，在在AB上取一点上取一点G，使使BGBE， 连结连结GE.ABBC，B90，AGEC，BGE45， AGE135.CP是是BCD的外角平分线的外角平分线，DCP45， ECP135，AGEECP.AEBBAE90， AEBCEF90，BAECEF， AGEECP，AEEP (2)存在存在，如图如图，过点过点D作作DMAE交交AB于点于点M，则此时点则此时点M使得四边形使得四边形 DMEP是平行四边形证明如下：是平行四边形证明如下：DMAE，ADM90 DAE.四边形四边形ABCD为正方形为正方形，ABAD，BBAD90， BAE90DAE，BAEADM，BAEADM， AEDM.由由(1)知知AEEP，DMEP.DMAE，AEEF， DMEP，四边形四边形DMEP是平行四边形是平行四边形
