1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点考点 1717直线、平面直线、平面所成的角所成的角 玩前必备 1两条异面直线所成角的求法 设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2的方向向量，则 l1与 l2所成的角a 与 b 的夹角 范围(0， 2 0， 求法cos |ab| |a|b| cos ab |a|b| 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 n，直线 l 与平面所成的角为，a 与 n 的夹角为，则 sin |cos |an| |a|n|. 3求二面角的
2、大小 (1)如图，AB，CD 是二面角l的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小AB ，CD (2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos | |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 玩转典例 题型题型一一求异面直线所成的角 例 1（2020北京市平谷区高三一模）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底 面 ABCD 是菱形，AB2，BAD60. (1)求证：BD平面 PAC； (2)若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值 解(1)证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD.
3、 又因为 PA平面 ABCD，BD平面 ABCD.所以 PABD. 因为 PAACA，所以 BD平面 PAC. (2)设 ACBDO.因为BAD60，PAAB2， 所以 BO1，AOCO 3. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 如图，以 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则 P(0， 3，2)，A(0， 3，0)，B(1,0,0)，C(0， 3， 0) 所以 PB(1， 3，2)， AC(0,2 3，0)， 设 PB 与 AC 所成角为，则 cos | PB AC | PB | AC
4、| 6 2 22 3 6 4 . 玩转跟踪 1.（2018 江苏）如图，在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABAA，点P，Q分别为 11 AB，BC的中点 (1)求异面直线BP与 1 AC所成角的余弦值； 【解析】 如图， 在正三棱柱 111 ABCABC中， 设AC， 11 AC的中点分别为O， 1 O， 则OBOC， 1 OOOC， 1 OOOB，以 1 ,OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系Oxyz 因为 1 2ABAA，所以 111 0, 1,0 ,3,0,0 ,0,1,0 ,0, 1,()()()()(2 ,3,0,2 ,0,1,2)()ABCABC (1)因为P为
5、 11 AB的中点，所以 31 (,2) 22 P，从而 1 31 (,2)(0,2,2 22 ),BPAC ， 故 1 1 1 | 14|3 10 |cos,| 20| |52 2 BP AC BP AC BPAC 因此，异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 3 10 20 2.(2014课标全国)直三棱柱 ABCA1B1C1中，BCA90，M，N 分别是 A1B1，A1C1的中点，BCCA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为() A. 1 10 B.2 5 C. 30 10 D. 2 2 答案C 解析方法一由于BCA90，三棱柱为直三棱柱，且 BCCACC1， 玩转数学培优
6、题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 可将三棱柱补成正方体建立如图(1)所示空间直角坐标系 设正方体棱长为 2，则可得 A(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,1,2)，N(0,1,2)， BM (1，1,2)，AN (0,1,2) cosBM ，AN BM AN |BM |AN | 14 121222 021222 3 6 5 30 10 . 题型二求直线与平面所成的角 例 2 （2020安徽省淮北市高三一模 （理） 在直角梯形ABCD（如图 1） ， 90ABC ，/ /BCAD，8AD ， 4
7、ABBC，M为线段AD中点.将ABC沿AC折起，使平面ABC 平面ACD，得到几何体 BACD（如图 2）. （1）求证：CD 平面ABC； （2）求AB与平面BCM所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 6 3 【解析】（1）由题设可知 4 2AC ， 4 2CD ，8AD ， 222 ADCDAC CDAC 又平面ABC 平面ACD，平面ABC 平面ACDAC，CD 面ABC. （2） 取AC的中点O连接OB，由题设可知ABC为等腰直角三角形，所以OB 面ACM，连接OM，因为 MO、分别为AB和AC的中点，所以/ /OMCD，由（1）可知OMAC，故以OMOCOB、所在 直线
8、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 则(0, 2 2,0)A，(0,0,2 2)B，(0,2 2,0)C，(2 2,0,0)M (0, 2 2,2 2)CB (2 2, 2 2,0)CM (0, 2 2, 2 2)BA 面BCM的一个法向量(1,1,1)n |6 sin 3| BA n BA n 。 玩转跟踪 1.(2019日照模拟)在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB2，AA12 2， D 是 AA1的中点，BD
9、 与 AB1交于点 O，且 CO平面 ABB1A1. (1)证明：BCAB1； (2)若 OCOA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值 解(1)证明：由题意知 tanABDAD AB 2 2 ，tanAB1B AB BB1 2 2 ， 又ABD，AB1B 为三角形的内角，故ABDAB1B， 则AB1BBAB1ABDBAB1 2，所以AOB 2，即 AB 1BD. 又 CO平面 ABB1A1，AB1平面 ABB1A1，所以 AB1CO，因为 BDCOO， 所以 AB1平面 CBD，又 BC平面 CBD，所以 AB1BC. (2)如图，以 O 为坐标原点，分别以 OD，OB1，OC 所在
10、直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 则 A0，2 3 3 ，0，B2 6 3 ，0,0，C 0，0，2 3 3，D 6 3 ，0，0 ， AB 2 6 3 ，2 3 3 ，0 ， AC 0，2 3 3 ，2 3 3， CD 6 3 ，0，2 3 3， 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n AB0， n AC 0， 即 2 6 3 x2 3 3 y0， 2 3 3 y2 3 3 z0， 令 y1，则 z1，x 2 2 ， 平面 ABC 的一个法向量 n 2 2 ，1，1 .设直线 CD 与平面 ABC 所成角为， 则 sin |cos C
11、D，n| |CDn| |CD|n| | 6 3 2 2 01 2 3 31| 5 15 5 . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 题型三求二面角 例 3 （2020福建省泉州市高三质检 （理） ） 如图， 四棱锥PABCD的底面是正方形，PA 平面ABCD， AEPD. （1）证明：AE平面PCD； （2）若APAB，求二面角BPCD的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 1 2 【解析】 （1）证明:因为PA 平面ABCD，CD 平面ABCD， 所以PACD，因为底面ABCD是正方
12、形，所以ADCD，又PAADA，所以CD 平面PAD， 因为AE 平面PAD，所以CDAE，又因为,AEPD CDPDD，,CD PD 平面PCD， 所以AE平面PCD （2）因为PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形， 所以,PAAB PAAD ABAD，以A为原点，分别以ABADAP、所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系Axyz（如图所示）， 设1PAAB，则(0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), (0,0,1)ABCDP， 因为AEPD， 所以E为PD中点， 所以 1 1 0, 2 2 E ， 所以 1 1 (1,0, 1),(1,1,
13、1),0, 2 2 PBPCAE ， 由（1）得 1 1 0, 2 2 AE 为平面PCD的一个法向量，设平面PBC的一个法向量为 , ,mx y z ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由 0 0 PB m PC m ，即 0 0 xz xyz ，令1x ，则1,0zy，所以1,0,1m ， 因此 1 1 2 cos, 21 2 2 m AE m AE mAE ，由图可知二面角BPCD的大小为钝角， 故二面角BPCD的余弦值为 1 2 。 玩转跟踪 1.（2020陕西省高三教学质量检
14、测一（理）如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ADC为 直角，AP 平面ABCD，:5:4:2BC AD CD ，且1CD . （1）求证：BPAC； （2）若APCD，求二面角DPCB的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2） 10 5 【解析】（1）证明：AP 平面ABCD，AC 平面ABCD，APAC. :5:4:2BC AD CD ，且1CD ， 5 2, 2 ADBC， 5 5, 2 ACAB ， 222 BCACAB ，即ACAB.又APABA，,AP AB 平面ABP AC 平面ABP.又BP 平面ABP，BPAC. （2）如图，过点 A 作AF垂直BC于点 F，由（1）
15、知，APAD. 又,APAF AFAD，,AP AD AF两两垂直， 以 A 为坐标原点，,AF AD AP所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系Axyz，则 1 (0,0,1), (0,0,0),1,0 ,(1,2,0),(0,2,0) 2 PABCD ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 5 0,0 ,( 1, 2,1),(1,0,0) 2 BCCPDC .设平面BPC的法向量 1 ( , , )nx y z ， 由 1 1 0, 0 BC n CP n 得 5
16、 0, 2 20, y xyz 取 1 (1,0,1)n .设平面DPC的法向量 2111 ,nx y z ， 由 2 2 0, 0 DC n CP n 得 1 111 0, 20, x xyz 取 2 (0,1,2)n .设二面角DPCB的平面角为， 则 12 12 210 cos 525 n n n n ，由图可知二面角DPCB为钝角， 二面角DPCB的余弦值为 10 5 . 2. （2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中，CACB， 1 45BAA， 平面 11 AAC C 平面 11 AAB B. （1）求证： 1 AABC； （2）
17、 若 1 22BBAB， 直线BC与平面 11 ABB A所成角为45，D为 1 CC的中点， 求二面角 111 BA DC 的余弦值. 【解析】 （1）过点C作 1 COAA，垂足为O， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 因为平面 11 AAC C 平面 11 AAB B，所以CO 平面 11 AAB B，故COOB， 又因为CACB，COCO，90COACOB ，所以Rt AOCRt BOC，故OAOB， 因为 1 45A AB，所以 1 AAOB，又因为 1 AACO，所以 1 A
18、A 平面BOC，故 1 AABC. （2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 因为CO 平面 11 AAB B，所以CBO是直线BC与平面 11 AAB B所成角，故45CBO， 所以 2AB ，1AOBOCO， 1,0,0A，0,1,0B，0,0,1C， 1 1,0,0A ， 1 2,1,0B ，1,0,1D ， 设平面 11 AB D的法向量为 111 ,nx y z ，则 1 1 0 0 n AD n B D ，所以 1 111 0 0 z xyz ， 令 1 1x ，得1,1,0n ，因为OB 平面 11 AAC C，所以OB 为平面
19、11 AC D的一条法向量， 0,1,0OB ， 2 cos, 2 n OB n OB nOB ，所以二面角 111 BADC的余弦值为 2 2 . 玩转练习 1.【2017 课标 II，理 10】已知直三棱柱 111 CC 中，C120 ，2 ， 1 CCC1，则 异面直线 1 与 1 C所成角的余弦值为（） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 【答案】C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】 试题分析：如图所示，补成四棱柱 1111 ABCDABC D, 则所求
20、角为 20 1111 ,2,212 2 1 cos603,5BC DBCBDC DAB 因此 1 210 cos 55 BC D，故选 C。 2.（2019 全国理 18）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M， N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求二面角 A-MA1-N 的正弦值 解析：（1）连结B1C，ME因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且ME= 1 2 B1C 又因为N为A1D的中点，所以ND= 1 2 A1D由题设知A1B1PDC，可得B1CPA1D，故MEPN
21、D， 因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE （2）由已知可得DEDA 以D为坐标原点，DA uuu r 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 则(2,0,0)A，A1(2,0,4)，(1, 3,2)M，(1,0,2)N， 1 (0,0, 4)A A uuu r ， 1 ( 1,3, 2)AM uuuu r ， 1 ( 1,0, 2)A N uuur ， 1 ( 1,0, 2)A N uu
22、ur 设( , , )x y zm为平面A1MA的法向量，则 1 1 0 0 AM A A uuuu r uuu r m m ， 所以 320 40 xyz z ， 可取( 3,1,0)m设( , , )p q rn为平面A1MN的法向量，则 1 0 0 MN AN uuur uuur ， n n 所以 30 20 q pr ， 可取(2,0, 1)n于是 2 315 cos, |525 m n m n m n ， 所以二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 3.（2019 北京理 16）如图，在四棱锥PABCD中，PAABCD 平面，ADCD，ADBCP， 23PAADCDBC， E 为
23、PD 的中点， 点 F 在 PC 上，且 1 3 PF PC （）求证：CDPAD 平面； （）求二面角FAEP的余弦值; （）设点 G 在 PB 上，且 2 3 PG PB .判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，说明理由. 解析解析：（I）因为PA 平面ABCD，所以PACD. 又因为ABCD，所以CD .平面PAD， （II）过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M，因为PA 平面ABCD，所以,PAAMPAAD，如图建立空 间直角坐标系 A-xyz，则 A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2），因为 E 为 PD 的中点，所以 E
24、（0，1，1）. 所以0,1,1AE uuu r ，2,2, 2PC uuu r ,0,0,2AP uuu r . 所以 12 22 , 33 33 PFPC uuu ruuu r ， 2 2 4 , 3 3 3 AFAPPF uuu ruuu ruuu r 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 设平面 AEF 的法向量为, ,x y zn，则 0 0 AE AF uuu v uuu v n n ，即 0 224 0 333 yz xyz . 令 z=1,则 y=-1,x=-1.于是1, 1
25、,1 n. 又因为平面 PAD 的法向量为1,0,0p，所以 3 cos 3 n p np . 因为二面角 F-AE-P 为锐角，所以其余弦值为 3 3 （III）直线 AG 在平面 AEF 内，因为点 G 在 PB 上，且 2 , 3 PG PB 2, 1, 2 ,PB uur 所以 2424 , 3333 PGPB uuu ruur ， 42 2 , 33 3 AGAPPG uuu ruuu ruuu r . 由（II）知，平面 AEF 的法向量为1, 1,1 n， 所以 422 0 333 AG uuu r n = -，所以直线 AG 在平面 AEF 内. 4.（2019 浙江 19）如
26、图，已知三棱柱 111 ABCABC ，平面 11 A ACC 平面ABC,90ABC， 11 30 , ,BACA AACAC E F 分别是 AC，A1B1的中点. （1）证明：EFBC； （2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值. 解析：解析：方法一： 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （I）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1， 平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC，则
27、A1EBC. 又因为A1FAB，ABC=90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC. （）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形 由于A1E平面ABC，故AE1EG，所以平行四边形EGFA1为矩形由（I）得BC平面EGFA1，则平面A1BC平 面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上. 连接A1G交EF于O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）. 不妨设AC=4，则在RtA1EG中，A1E=23，EG=3.由于O为A1G的中点，故 1 15 22 AG EOOG， 所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因
28、此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二： （）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABC=AC，所以，A1E平面ABC. 如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz. 不妨设AC=4，则 A1（0，0，23），B（3，1，0）， 1( 3,3,2 3) B， 3 3 (,2 3) 22 F，C(0，2，0). 因此， 3 3 (,2 3) 22 EF ，(3,1,0)BC 由 0EF BC 得EFBC 玩转数学培优题型篇安老师
29、培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （）设直线EF与平面A1BC所成角为， 由（）可得(3,1,0)BC ， 1 (0,2, 2 3)AC ， 设平面A1BC的法向量为( , , )x y zn，由 1 0 0 BC AC n n ，得 30 30 xy yz ， 取(1, 3,1)n，故 4 sincos, 5 EF EF EF n n n . 因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为 3 5 . 5. （2019 全国理 19） 图 1 是由矩形 ADEB、 RtABC 和菱形 BFGC 组成的一个
30、平面图形， 其中 AB=1， BE=BF=2， FBC=60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连结 DG，如图 2. （1）证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； （2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小. 解析解析（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面 由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE 又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE （2）作EHBC，垂足为H因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC 由已知，菱形BCGE的边长
31、为2，EBC=60，可求得BH=1，EH=3 以H为坐标原点，HC 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 则A（1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG =（1，0，3），AC =（2，1，0） 设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则 0, 0, CG AC n n 即 30, 20. xz xy 所以可取n=（3，6，3） 又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以 3 cos, |2 n m
32、 n m n m 因此二面角BCGA的大小为30 6.（2019 全国理 17）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1. （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，求二面角 BECC1的正弦值. 解析：（1）由已知得， 11 BC 平面 11 ABB A ，BE 平面 11 ABB A ， 故 11 BC BE又 1 BEEC ，所以BE 平面 11 EBC （2）由（1）知 1 90BEB由题设知 11 RtRtABEAB E ，所以45AEB， 故AEAB， 1 2AAAB 以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正
33、方向，|DA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则C （0， 1， 0） ， B （1， 1， 0） ， 1 C（0， 1， 2） ， E （1， 0， 1） ，(1,0,0)CB ，(1, 1,1)CE ， 1 (0,0,2)CC 设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 0, 0, CB CE n n 即 0, 0, x xyz 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以可取n=(0, 1, 1).设平面 1 ECC的法向量为m=（x，y，z），则 10, 0, C
34、C CE m m 即 20, 0. z xyz 所以可取m=（1，1，0）于是 1 cos, |2 n m n m n m 所以，二面角 1 BECC 的正弦值为 3 2 7.(2018 全国卷)如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，PAPBPC 4AC ，O为AC的中点 (1)证明：PO 平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值 【解析】(1)因为4APCPAC，O为AC的中点，所以OPAC，且2 3OP 连结OB因为 2 2 ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形， 且OBAC， 1 2 2 OBAC由 222 OPOBPB知PO
35、OB 由OPOB，OPAC知PO 平面ABC (2)如图，以O为坐标原点，OB uuu r 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 由已知得(0,0,0)O，(2,0,0)B，(0, 2,0)A，(0,2,0)C，(0,0,2 3)P， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (0,2,2 3)AP uuu r ，取平面PAC的法向量(2,0,0)OB uu u r 设( ,2,0)(02)M aaa，则 ( ,4,0)AMaa uuur 设平面PAM的法向量为( , , )x y z
36、n 由0,0APAM uu u ruuur nn得 22 30 (4)0 yz axa y ，可取( 3(4), 3 ,)aaan， 所以 222 2 3(4) cos, 2 3(4)3 a OB aaa uuu r n由已知得 3 |cos,| 2 OB uuu r n 所以 222 2 3 |4|3 = 2 2 3(4)3 a aaa 解得4a （舍去）， 4 3 a 所以 8 3 4 34 (,) 333 n又(0,2, 2 3)PC uuu r ，所以 3 cos, 4 PC uuu r n 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 3 4 8. （2018 全国卷） 如图， 边长为 2
37、的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上 异于C，D的点 (1)证明：平面AMD 平面BMC； (2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 【解析】(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD 因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM 因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM 又BCCM=C，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC (2)以D为坐标原点，DA 的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（72
38、1144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 当三棱锥MABC体积最大时，M为CD的中点 由题设得(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)M， ( 2,1,1)AM ，(0,2,0)AB ，(2,0,0)DA ，设 ( , , )x y zn是平面MAB的法向量，则 0, 0. AM AB n n 即 20, 20. xyz y 可取(1,0,2)nDA 是平面MCD的法向量，因此 5 cos, 5| DA DA DA n n n ， 2 5 sin, 5 DA n， 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2
39、5 5 9. （2018 全国卷） 如图， 四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点， 以DF为折痕把DFC 折起，使点C到达点P的位置，且PFBF (1)证明：平面PEF 平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值 【解析】(1)由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面 PEF 又BF 平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD (2)作PHEF，垂足为H由(1)得，PH平面ABFD 以H为坐标原点，HF 的方向为y轴正方向，|BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在
40、打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由(1)可得，DEPE又DP=2，DE=1，所以PE=3又PF=1，EF=2，故PEPF 可得 3 2 PH, 3 2 EH则(0,0,0)H， 3 (0,0,) 2 P， 3 ( 1,0) 2 D， 33 (1,) 22 DP， 3 (0,0,) 2 HP 为平面ABFD的法向量 设DP与平面ABFD所成角为，则 3 3 4 sin| 4| |3 HP DP HPDP 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3 4 10.（2017 新课标）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且90BAPCDP (1)证明：平面PAB平面PAD；
41、(2)若PAPDABDC，90APD ，求二面角APBC的余弦值 【解析】（1）由已知90BAPCDP ，得 ABAP，CDPD 由于 ABCD，故 ABPD，从而 AB平面 PAD又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD （2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F， 由（1）可知，AB 平面PAD，故ABPF，可得PF 平面ABCD 以F为坐标原点，FA 的方向为x轴正方向，|AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由（1）及已知
42、可得 2 (,0,0) 2 A， 2 (0,0,) 2 P， 2 (,1,0) 2 B， 2 (,1,0) 2 C 所以 22 (,1,) 22 PC ，( 2,0,0)CB ， 22 (,0,) 22 PA ，(0,1,0)AB 设( , , )x y zn是平面PCB的法向量，则 0 0 PC CB n n ，即 22 0 22 20 xyz x ， 可取(0, 1,2) n设( , , )x y zm是平面PAB的法向量，则 0 0 PA AB m m ，即 22 0 22 0 xz y ，可取(1,0,1)n则 3 cos, |3 n m n m n m ， 所以二面角APBC的余弦值为 3 3
