1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 31基本初等函数 玩前必备 1幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，是常数 (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数yxyx2yx3 y 1 2 x yx 1 图象 性 质 定义域RRRx|x0 x|x0 值域Ry|y0Ry|y0y|y0 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性 在 R 上单 调递增 在(，0 上单调递减； 在(0，) 上单调递增 在 R 上单调 递增 在0，)上单 调递
2、增 在(，0) 和(0，) 上单调递减 公共点(1,1) 2.二次函数的图象和性质 解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0， m， nN*， 且 n1) 于是， 在条件 a0， m， nN*， 且 n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿， 我们规定 m n a 1 m n a (a0，m，nN*，且 n1).0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质：arasar s，(ar)sars，(ab)rarbr，其中 a0，b0，r，sQ. 4指数函数的图象与性质 yaxa10a0 时，
3、y1；当 x0 时， 0y0 时，0y1；当 x1 (6)在(，)上是增函数(7)在(， )上是减函数 5对数的概念 一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a叫做对数 的底数，N叫做真数 6对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)logaMlogaN；logaM Nlog aMlogaN；logaMnnlogaM (nR) (2)对数的性质 logaN aN；logaaNN(a0，且 a1) (3)对数的换底公式 logablogcb logca(a0，且 a1；
4、c0，且 c1；b0) 7对数函数的图象与性质 ylogaxa10a1 时，y0；当 0 x1 时，y1 时， y0； 当 0 x0 (6)在(0，)上是增函数(7)在(0，)上是减函数 玩转典例 题型题型一一幂函数的图象和性质 例例 1(1)若幂函数的图象经过点 2，1 4 ，则它的单调递增区间是() A(0，)B0，) C(，)D(，0) 答案D 解析设 f(x)x，则 21 4，2，即 f(x)x 2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)故选 D. (2)若四个幂函数 yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则 a，b，c，d 的大小关系是 () Adcba Babcd
5、 Cdcab Dabdc 答案B 解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近 x 轴，由题图知 abcd，故选 B. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (3)已知幂函数 f(x)(n22n2) 2 3nn x (nZ)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n 的值为 () A3B1C2D1 或 2 答案B 解析由于 f(x)为幂函数，所以 n22n21，解得 n1 或 n3，经检验只有 n1 符合题意，故选 B. 玩转跟踪 1.若幂函数 f(x)
6、(m24m4) 2 68mm x 在(0，)上为增函数，则 m 的值为() A1 或 3B1 C3D2 答案B 解析由题意得 m24m41，m26m80，解得 m1. 2.(2020潍坊模拟)若(a1) 1 3 (32a) 1 3 ，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，1) 2 3， 3 2 解析不等式(a1) 1 3 32a0 或 32aa10 或 a1032a，解得 a1 或2 3a 3 2. 题型题型二二指数函数的图象及应用 例例 2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是() A.ab1cdB.ba1dc C.1abcdD.ab1dc
7、 答案B 解析方法一在 y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大. 由指数函数图象的升降，知 cd1，ba1.ba1dc. 方法二作直线 x1，与四个图象分别交于 A、B、C、D 四点，由于 x1 代入各个函数可得函数值等于底 数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知 ba1dc.故选 B. 例例 3(1)(2016 全国 III)已知 a 4 3 2，b 2 5 4，c 1 3 25，则() AbacBabcCbcaDca220，可知 b15a15c15，所以 bac. (2)若1a”连接) 答案3aa3a 1 3 解析易知 3a0， a 1 30， a30， 又由
8、1a0， 得 0a1， 所以(a)3(a) 1 3， 即a3a 1 3， 因此 3aa3a 1 3. 玩转跟踪 1.设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是() AabcBacbCbacDbca 答案C 解析因为函数 y0.6x在 R 上单调递减，所以 b0.61.5a0.60.61，所以 ba 1 2 x4的解集为 答案(1,4) 解析原不等式等价于 2 2 2 xx 2 x4， 又函数 y2x为增函数，x22xx4，即 x23x40，1x4. 题型题型三三 对数的计算对数的计算 例例 4计算下列各式的值： (1)1 2lg 32 49 4 3lg 8
9、lg 245； (2)lg 252 3lg 8lg 5lg 20(lg 2) 2. (3)3 5 3 log1 2 3 2 log4 103lg3 1 2 5 2 log . 解(1)原式lg4 2 7 lg 4lg 7 5lg4 27 5 74 lg( 2 5)lg 101 2. (2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)2 2lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213. (3)3 5 3 log1 2 3 2 log4 103lg3 1 2 5 2 log 33 5 3 log 242 3 2 log (10lg3)3(2 5 2 log ) 1
10、 35163335 129 5 . 玩转跟踪 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1计算下列各式的值： (1)(lg 5)22lg 2(lg 2)2； (2) lg 32 5lg 9 3 5lg 27lg 3 lg 81lg 27 (3)9 4 3 log 2 1 +5 2 5 log1 . 解(1)原式(lg 5)2lg 2(2lg 2)(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2lg 5lg 2 (lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21. (2)原式 lg
11、34 5lg 3 9 10lg 3 1 2 lg 3 4lg 33lg 3 14 5 9 10 1 2 lg 3 43lg 3 11 5 . (3)14. 题型题型四四 对数函数图像和性质对数函数图像和性质 例例 5如图所示，曲线是对数函数 ylogax 的图象，已知 a 取 3，4 3， 3 5， 1 10，则相应于 c1、c2、c3、c4的 a 值依次为() A. 3、4 3、 3 5、 1 10 B. 3、4 3、 1 10、 3 5 C.4 3、 3、 3 5、 1 10 D.4 3、 3、 1 10、 3 5 答案A 解析方法一观察在(1，)上的图象，先排 c1、c2底的顺序，底都大
12、于 1，当 x1 时图象靠近 x 轴的 底大，c1、c2对应的 a 分别为 3、4 3.然后考虑 c 3、c4底的顺序，底都小于 1，当 x1 时图象靠近 x 轴的底小， c3、c4对应的 a 分别为3 5、 1 10.综合以上分析，可得 c 1、c2、c3、c4的 a 值依次为 3、4 3、 3 5、 1 10.故选 A. 方法二作直线 y1 与四条曲线交于四点，由 ylogax1，得 xa(即交点的横坐标等 于底数)，所以横坐标小的底数小，所以 c1、c2、c3、c4对应的 a 值分别为 3、4 3、 3 5、 1 10， 故选 A. 例例 6（1）(2019潍坊模拟)已知 a 2 3 2
13、 3 ，b 3 4 2 3 ，c 3 4 log 2 3，则 a，b，c 的大小关系是( ) 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 AabcBbac CcabDacb 答案A 解析由幂函数性质，可知幂函数 f(x) 2 3 x在(0，)上为单调递增函数， 所以 2 3 2 3 3 4 2 3 1，即 0ab 3 4 log 3 41， 所以 2 3 2 3 3 4 2 3 1 3 4 log 2 3，即 abcbBbca CcbaDcab 答案D 解析alog32log331，blog52l
14、og221，所以 c 最大 由 1log23 1 log25，即 ab，所以 cab. 玩转跟踪 1(1)设 a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则 a，b，c 的大小关系是_ 答案cb1，blog0.40.5(0,1)，clog80.4bc. (2)已知 alog23log23，blog29log23，clog32，则 a，b，c 的大小关系是() Aabc Cabbc 答案B 解析因为 alog23log23log23 33 2log 231，blog29log23log23 3a，clog32c. 2.（2014 天津）函数 2 1 2 ( )log (4)f xx=-的
15、单调递增区间是 A, 0B0 , C, 2D2 , 玩转练习 1.（2019 全国理 3）已知 0.20.3 2 log 0.220.2abc，则 AabcBacbCcabDbca 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析：依题意 22 log 0.2log 10a ， 0.20 221b ， 因为 0.30 00.20.21 ， 所以 0.3 0.201c （ ， ） ， 所以a cb .故选 B 2.（2019 天津理 6）已知 5 log 2a ， 0.5 og2 .l0b ， 0.
16、2 0.5c ，则, ,a b c的大小关系为 A.acbB.abcC.bcaD.cab 解析解析 由题意，可知 5 log 21a ， 1 1 5122 2 2 1 log 0.2loglog5log 5log 42 5 b 0.2 0.51c ，所以b最大，a，c都小于 1 因为 5 2 1 log 2 log 5 a ， 1 5 0.2 5 5 111 0.5 222 c ，而 5 22 log 5log 422， 所以 1 5 2 11 log 52 ，即ac，所以acb故选 A 3(2018 全国卷)设 0.2 log0.3a ， 2 log 0.3b ，则 A0ababB0abab
17、 C0ababD0abab 【解析】由 0.2 log0.3a 得 0.3 1 log0.2 a ，由 2 log 0.3b 得 0.3 1 log2 b ， 所以 0.30.30.3 11 log0.2log2log0.4 ab ，所以 11 01 ab ，得01 ab ab 又0a ，0b ，所以0ab ，所以0abab故选 B 4(2018 天津)已知 2 log ea，ln2b ， 1 2 1 log 3 c ，则 a，b，c 的大小关系为 AabcBbac CcbaDcab 【解析】因为 2 log e 1a ，ln2(0,1)b ， 122 2 1 loglog 3log1 3 c
18、e 所以cab，故选 D 5（2017 新课标）设, ,x y z为正数，且235 xyz ，则 A235xyzB523zxyC352yzxD325yxz 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】设235 xyz k，因为, ,x y z为正数，所以1k ， 则 2 logxk， 3 logyk， 5 logzk， 所以 22lglg3lg9 1 3lg23lglg8 xk yk ，则23xy，排除 A、B；只需比较2x与5z， 22lglg5lg25 1 5lg25lglg32 xk
19、 zk ，则25xz，选 D 6 （2017 天津） 已知奇函数( )f x在 R 上是增函数，( )( )g xxf x 若 2 ( log 5.1)ag， 0.8 (2)bg，(3)cg， 则 a，b，c 的大小关系为 AabcBc baCbacDbca 【解析】由题意( )g x为偶函数，且在(0,)上单调递增， 所以 22 ( log 5.1)(log 5.1)agg 又 222 2log 4log 5.1log 83， 0.8 122， 所以0.8 2 2log 5.13 ，故b ac ，选 C 7（2017 北京）已知函数 1 ( )3( ) 3 xx f x ，则( )f x A
20、是奇函数，且在 R 上是增函数B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数D是偶函数，且在 R 上是减函数 【解析】 11 ()3( )(3( ) )( ) 33 xxxx fxf x ，得( )f x为奇函数， ( )(33 )3 ln33ln30 xxxx fx ，所以( )f x在 R 上是增函数选 A 8（2017 北京）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 361 3 ，而可观测宇宙中普通物质的原 子总数N约为 80 10 则下列各数中与 M N 最接近的是 （参考数据：lg3048） A 33 10 B 53 10 C 73 10 D 93 10
21、【解析】设 361 80 3 10 M x N ，两边取对数得， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 361 36180 80 3 lglglg3lg10361 lg3 8093.28 10 x ， 所以 93.28 10 x ，即 M N 最接近 93 10 ，选 D 9(2016 全国 I) 若1ab，01c，则 A cc abB cc abba Cloglog ba acbcDloglog ab cc 【解析】选项 A，考虑幂函数 c yx，因为0c ，所以 c yx为增函数，又1a
22、b，所以 cc ab，A 错对于选项 B， cc abba( )c bb aa ，又( )x b y a 是减函数，所以 B 错对于选项 D，由对数函数的 性质可知 D 错，故选 C 10(2016 全国 III) 已知 4 3 2a ， 2 5 4b ， 1 3 25c ，则 AbacBabcCbcaDcab 【解析】因为 41 33 216a ， 21 55 416b ， 1 3 25c ，且幂函数 1 3 yx在R上单调递增，指数函数16xy 在R上单调递增，所以bac，故选 A 11（2015 新课标）设函数 2 1 1 log (2),1 ( ) 2,1 x x x f x x ，则
23、 2 ( 2)(log 12)ff A3B6C9D12 【解析】由于 2 ( 2)1 log 43f ， 22 log 12 1log 6 2 (log 12)226f - =， 所以 2 ( 2)(log 12)ff 9 12（2015 北京）如图，函数 f x的图像为折线ACB，则不等式 2 log1f xx的解集是 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A| 10 xx B | 11xx C | 11xx D| 12xx 【解析】如图，函数 2 log (1)yx=+的图象可知， 2
24、( )log (1)f xx +的解集是 | 11xx- ，则1ab，由对数函数的性质， 得log 3log 3 ab ；反之，取 1 2 a =， 1 3 b =，显然有log 3log 3 ab ，此时01ba， 所以“333 ab ”是log 3log 3 ab 的充分不必要条件，选 B 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 15（2020天津卷）设 0.8 0.7 0.7 1 3 ,log0.8 3 abc ，则, ,a b c的大小关系为（） A.abcB.bacC.bcaD.cab 【答案】D 【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出, ,a b c的大小关系. 【详解】因为 0.7 31a ， 0.8 0.80.7 1 33 3 ba ， 0.70.7 log0.8log0.71c ， 所以1cab .故选：D.
