1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 21抛物线 1抛物线的概念 把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等的点的集合叫作抛物线 这个定点 F 叫作抛物线 的焦点，这条定直线 l 叫作抛物线的准线 用集合语言描述：PM|MF| d 1，即 PM|MF|d 注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过 定点且与定直线垂直的直线 2抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y22px (p0) y22px (p0) x2
2、2py (p0) x22py (p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点O(0,0) 对称轴y0 x0 焦点 F p 2，0F p 2，0F 0，p 2F 0，p 2 离心率e1 准线方程xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 焦半径|PF|p 2x 0|PF|p 2x 0|PF|p 2y 0|PF|p 2y 0 开口方向向右向左向上向下 玩转典例 题型题型一一抛物线的定义及其抛物线的定义及其方程方程 例例 1 （2020全国高三课时练习） 已知抛物线 2 :C yx的焦点为F， 00 (,)A xy是C上一点， 0 5 | 4 AFx， 则 0 x （） A4B2C1
3、D8 【答案】C 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【解析】点 A 到抛物线的准线： 1 4 x 的距离为： 0 1 4 dx，利用抛物线的定义可得： 00 15 44 xx， 求解关于实数 0 x的方程可得： 0 1x .本题选择 C 选项. 例例 2已知点(1,2)M在抛物线 2 :2(0)C ypx p上，则 p _；点M 到抛物线C的焦点的距离是 _. 【答案】22 【解析】点(1,2)M代入抛物线方程得： 2 221p，解得：2p； 抛物线方程为： 2 4yx，准线方程为：1x
4、-，点 M 到焦点的距离等于点 M 到准线的距离：112 （） 故答案为 2,2 玩转跟踪 1.（2020全国高二课时练习）若抛物线 2 16xy上一点 00 ,xy到焦点的距离是该点到x轴距离的3倍，则 0 y （） A 1 2 B 2 C1D2 【答案】D 【解析】抛物线 2 16xy的准线方程为 4y ，由抛物线的定义知，抛物线 2 16xy上一点 00 ,xy到焦 点的距离为 0 4y ， 00 43yy，解得 0 2y ，故选 D. 2（2019 全国 II 理 8）若抛物线 y2=2px(p0)的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p= A2B3C4D8 解析解析
5、 由题意可得： 2 3 2 p pp ，解得 8p 故选 D 3(四川，5)抛物线 y28x 的焦点到直线 x 3y0 的距离是() A2 3B2C. 3D1 解析抛物线 y28x 的焦点(2，0)到直线 x 3y0 的距离是 1. 答案D 4(上海，4)若抛物线 y22px 的焦点与椭圆x 2 9 y 2 5 1 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_ 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 解析c2954，c2.椭圆x 2 9 y 2 5 1 的右焦点为(2，0)，p 22，即抛物线的准线
6、方程为 x 2. 答案x2 题型题型二二抛物线的几何性质抛物线的几何性质 例例 3（1）（2019伊美区第二中学高三期末）设F为抛物线 2 :3C yx的焦点，过F且倾斜角为30的直 线交C于A，B两点，则AB （） A 30 3 B6C12 D7 3 （2）（2019四川省绵阳南山中学高三期中）设 F 为抛物线 C: 2 3yx的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线 交 C 于 A,B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为（） A 3 3 4 B 9 3 8 C 63 32 D 9 4 【答案】（1）C（2）D 【解析】由题意，得 3 (,0) 4 F又因为 0 3 ktan30 3 ，
7、故直线 AB 的方程为 33 () 34 yx ，与抛物线 2=3 yx联立，得 2 1616890 xx ，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由抛物线定义得， 12 ABxxp 1683 12 162 ，选 C （2）由题意可知：直线 AB 的方程为 33 () 34 yx ，代入抛物线的方程可得： 2 412 390yy，设 A 11 ( ,)x y、B 22 (,)xy，则所求三角形的面积为 1212 13 ()4 24 yyy y= 9 4 ，故选 D. 玩转跟踪 1(安徽，14)过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点若|AF|3，则|BF|
8、_ 解析设直线 AB 的倾斜角为，则|AF|p|AF|cos， 由|AF|3，p2，得 cos1 3，|BF| 3 2. 答案 3 2 2(新课标全国，10)设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点， 则|AB|() 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A. 30 3 B6C12D7 3 解析抛物线 C：y23x 的焦点为 F 3 4，0，所以 AB 所在的直线方程为 y 3 3 x3 4 ，将 y 3 3 x3 4 代入 y23x，消
9、去 y 整理得 x221 2 x 9 160.设 A(x 1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数 的关系得 x1x221 2 ，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p21 2 3 212，故选 C. 答案C 3(辽宁，8)已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为() A4 3 B1C3 4 D1 2 解析由点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，得焦点 F(2，0)，kAF 3 22 3 4，故选 C. 答案C 4(四川，9)已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)若点 M 到该抛物
10、线焦点的距离为 3，则|OM|等于() A2 2B2 3C4D2 5 解析由抛物线定义知，p 223，所以 p2，抛物线方程为 y 24x.因为点 M(2，y0)在此抛物线上，所以 y208，于是|OM| 4y202 3.故选 B. 答案B 题型题型三三直线和抛物线位置关系直线和抛物线位置关系 例例 3（2019 全国 I 理 19）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 3 2 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P （1）若 4AFBF ，求 l 的方程； （2）若3APPB uu u ruur ，求AB 解析解析 设直线 1122 3 :, 2 l yxt
11、 A x yB xy （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3 | 2 AFBFxx，由题设可得 12 5 2 xx 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40 xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB uu u ruur 可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 2 220yyt 所以 12 2yy
12、从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx故 4 13 | 3 AB 玩转跟踪 1.（2018 全国卷）设抛物线 2 4：Cyx的焦点为F，过F且斜率为(0)k k的直线l与C交于A，B两 点，|8AB (1)求l的方程； (2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 【解析】(1)由题意得(1,0)F，l的方程为(1)(0)yk xk 设 1221 ( ,), (,)AyxyxB，由 2 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k ，故 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 | | (
13、1)(1)x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得1k （舍去），1k 因此l的方程为1yx (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx ， 即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，则 00 2 2 00 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 2
14、2 (11)(6)144xy 玩转练习 1 （2016新课标） 设F为抛物线 2 :4C yx的焦点， 曲线(0) k yk x 与C交于点P，PFx轴， 则(k ) A 1 2 B1C 3 2 D2 【答案】D 【解析】抛物线 2 :4C yx的焦点F为(1,0)，曲线(0) k yk x 与C交于点P在第一象限， 由PFx轴得：P点横坐标为 1，代入C得：P点纵坐标为 2，故2k 2.（2018新课标）设抛物线 2 :4C yx的焦点为F，过点( 2,0)且斜率为 2 3 的直线与C交于M，N两点， 则(FM FN ) A5B6C7D8 【答案】D 【解析】抛物线 2 :4C yx的焦点为
15、(1,0)F，过点( 2,0)且斜率为 2 3 的直线为：324yx， 联立直线与抛物线 2 :4C yx，消去x可得： 2 680yy， 解得 1 2y ， 2 4y ，不妨(1,2)M，(4,4)N，(0,2)FM ，(3,4)FN 则(0FM FN ，2) (3，4)8 3.（2016新课标）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点已知 | 4 2AB ，| 2 5DE ，则C的焦点到准线的距离为() A2B4C6D8 【答案】B 【解析】设抛物线为 2 2ypx，如图：| 4 2AB ，| 2 2AM ， | 2 5DE ，|5DN ，| 2 p ON ， 2
16、 (2 2)4 2 A x pp ，| |ODOA， 2 2 16 85 4 p p ， 解得：4p C的焦点到准线的距离为：4 4.（2019北京）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【答案】 22 (1)4xy 【解析】抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)F， 所求圆的圆心F，且与准线1x 相切，圆的半径为 2 则所求圆的方程为 22 (1)4xy 5.（2018北京）已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴若
17、l被抛物线 2 4yax截得的线段长为 4，则抛物线的 焦点坐标为 【答案】(1,0) 【解析】直线l过点(1,0)且垂直于x轴，1x，代入到 2 4yax，可得 2 4ya，显然0a ， 2ya ，l被抛物线 2 4yax截得的线段长为 4，44a，解得1a ， 2 4yx，抛物线的焦点坐标为(1,0) 6.（2020全国 1 卷）已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距 离为 9，则 p=（） A. 2B. 3 C. 6D. 9 【答案】C 【详解】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知|12 2 A p AFx，即129 2
18、 p ，解得6p =. 故选：C. 7.（2020全国 3 卷）设O为坐标原点，直线2x 与抛物线 C： 2 2(0)ypx p交于D，E两点，若 ODOE，则C的焦点坐标为（） A. 1 ,0 4 B. 1 ,0 2 C.(1,0)D.(2,0) 【答案】B 【详解】因为直线2x 与抛物线 2 2(0)ypx p交于,E D两点，且ODOE， 根据抛物线的对称性可以确定 4 DOxEOx ，所以2,2D， 代入抛物线方程44p，求得1p ，所以其焦点坐标为 1 ( ,0) 2 ，故选：B. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲
19、义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 8.（2020江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 2 x a 2 5 y =1(a0)的一条渐近线方程为 y= 5 2 x， 则该双曲线的离心率是_. 【答案】 3 2 【详解】双曲线 22 2 1 5 xy a ，故5b .由于双曲线的一条渐近线方程为 5 2 yx ，即 5 2 2 b a a ， 所以 22 453cab ，所以双曲线的离心率为 3 2 c a .故答案为： 3 2 9（2019新课标）已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别 为A，B （1）证明：直线AB过定
20、点 （2）若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程 （1）证明：设 1 ( ,) 2 D t ， 1 (A x， 1) y，则 2 11 2xy，由于yx ，切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt ， 整理得： 11 2210txy 设 2 (B x， 2) y，同理可得 22 2210txy 故直线AB的方程为2210txy 直线AB过定点 1 (0, ) 2 ； （2）解：由（1）得直线AB的方程 1 2 ytx由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210 xtx 于是 2 121212 2 ,()121x
21、xt yyt xxt 设M为线段AB的中点，则 2 1 ( ,) 2 M t t ， 由于EMAB ，而 2 ( ,2)EMt t ，AB 与向量(1, ) t平行， 2 (2)0ttt ，解得0t 或1t 当0t 时，| 2EM ，所求圆的方程为 22 5 ()4 2 xy； 当1t 时，|2EM ，所求圆的方程为 22 5 ()2 2 xy 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 10（2019新课标）已知曲线 2 : 2 x C y ，D为直线 1 2 y 上的动点，过D作C的两条切线，
22、切点分别 为A，B （1）证明：直线AB过定点； （2）若以 5 (0, ) 2 E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积 解：（1）证明： 2 2 x y 的导数为yx ，设切点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，即有 2 1 1 2 x y ， 2 2 2 2 x y ， 切线DA的方程为 111 ()yyx xx，即为 2 1 1 2 x yx x，切线DB的方程为 2 2 2 2 x yx x， 联立两切线方程可得 12 1 () 2 xxx，可得 12 11 22 yx x ，即 12 1x x ， 直线AB的方程为 2 112
23、1 12 () 2 xyy yxx xx ，即为 2 1 121 1 ()() 22 x yxxxx， 可化为 12 11 () 22 yxxx，可得AB恒过定点 1 (0, ) 2 ； （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210 xtx 于是 12 2xxt， 12 1x x ， 2 1212 ()121yyt xxt ， 2222 121212 |1|1()42(1)ABtxxtxxx xt 设 1 d， 2 d分别为点D，E到直线AB的距离，则 2 1 1dt， 2 2 2 1 d t 因此，四边形ADBE的面积 22 12 1 |()(3)1 2 SABddtt 设M为线段AB的中点，则 2 1 ( ,) 2 M t t 由于EMAB ，而 2 ( ,2)EMt t ，AB 与向量(1, ) t平行，所以 2 (2)0ttt解得0t 或1t 当0t 时，3S ；当1t 时，4 2S 综上，四边形ADBE的面积为 3 或4 2
