1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 考点 38解析几何大题特训 1.【2019 年高考全国卷理数】已知抛物线C：y 2=3x 的焦点为F，斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B， 与x轴的交点为P （1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若3APPB ，求|AB| 【答案】（1） 37 28 yx；（2） 4 13 3 . 【解析】设直线 1122 3 :, 2 l yxt A x yB xy （1）由题设得 3 ,0 4 F ，故 12 3 | 2 AFBFxx，由题设可
2、得 12 5 2 xx 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 22 912(1)40 xtxt，则 12 12(1) 9 t xx 从而 12(1)5 92 t ，得 7 8 t 所以l的方程为 37 28 yx （2）由3APPB 可得 12 3yy 由 2 3 2 3 yxt yx ，可得 2 220yyt 所以 12 2yy从而 22 32yy，故 21 1,3yy 代入C的方程得 12 1 3, 3 xx 故 4 13 | 3 AB 【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方 法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系
3、数的关系构造等量关系. 2【2019 年高考全国卷理数】已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积 为 1 2 .记M的轨迹为曲线C. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于 点G. （i）证明：PQG是直角三角形； （ii）求PQG面积的最大值. 【答案】（1）见解析；（2） 16 9 . 【解析】（1）由题设得 1 2
4、22 yy xx ，化简得 22 1(| 2) 42 xy x，所以C为中心在坐标原点，焦 点在x轴上的椭圆，不含左右顶点 （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为(0)ykx k由 22 1 42 ykx xy 得 2 2 12 x k 记 2 2 12 u k ，则( ,),(,),( ,0)P u uk QuukE u于是直线QG的斜率为 2 k ，方程为() 2 k yxu 由 22 (), 2 1 42 k yxu xy 得 22222 (2)280kxuk xk u 设(,) GG G xy，则u和 G x是方程的解，故 2 2 (32) 2 G uk x k ，由此得 3 2
5、 2 G uk y k 从而直线PG的斜率为 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk u k 所以PQPG，即PQG是直角三角形 （ii）由（i）得 2 | 21PQuk ， 2 2 21 | 2 uk k PG k ，所以PQG的面积 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(12)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 设t=k+ 1 k ，则由k0 得t2，当且仅当k=1 时取等号 因为 2 8
6、1 2 t S t 在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1 时，S取得最大值，最大值为 16 9 因此，PQG面积的最大值为 16 9 【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角 形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题. 3【2019 年高考全国卷理数】已知曲线C：y= 2 2 x ，D为直线y= 1 2 上的动点，过D作C的两条切线， 切点分别为A，B. （1）证明：直线AB过定点： （2）若以E(0， 5 2 )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积. 【答案】（1）见详解；（2）
7、3 或4 2. 【解析】（1）设 11 1 , 2 D tA x y ，则 2 11 2xy. 由于yx，所以切线DA的斜率为 1 x，故 1 1 1 1 2 y x xt .整理得 11 22 +1=0. txy 设 22 ,B xy，同理可得 22 22 +1=0txy.故直线AB的方程为2210txy . 所以直线AB过定点 1 (0, ) 2 . （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx.由 2 1 2 2 ytx x y ，可得 2 210 xtx . 于是 2 12121212 2 ,1,121xxtx xyyt xxt ， 2 222 121212 |11421ABtxx
8、txxx xt. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 设 12 ,d d分别为点D，E到直线AB的距离，则 2 12 2 2 1, 1 dtd t . 因此，四边形ADBE的面积 22 12 1 |31 2 SABddtt.设M为线段AB的中点，则 2 1 , 2 M t t . 由于EMAB ，而 2 ,2EMt t ，AB 与向量(1, ) t平行，所以 2 20ttt.解得t=0或1t . 当t=0时，S=3；当1t 时，4 2S .因此，四边形ADBE的面积为3或4 2. 【名师点
9、睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求 解就可以，思路较为清晰，但计算量不小. 4【2019 年高考北京卷理数】已知抛物线C：x 2=2py 经过点（2，1） （1）求抛物线C的方程及其准线方程； （2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为 0 的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1 分别交直 线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点 【答案】（1）抛物线C的方程为 2 4xy ，准线方程为 1y ；（2）见解析. 【解析】（1）由抛物线 2 :2C xpy 经过点(2, 1)，得2p . 所以抛物线C的方程为 2
10、4xy ，其准线方程为1y . （2）抛物线C的焦点为(0, 1)F.设直线l的方程为1(0)ykxk. 由 2 1, 4 ykx xy 得 2 440 xkx.设 1122 ,M x yN xy，则 12 4x x . 直线OM的方程为 1 1 y yx x .令1y ，得点A的横坐标 1 1 A x x y . 同理得点B的横坐标 2 2 B x x y .设点(0, )Dn，则 12 12 , 1, 1 xx DAnDBn yy ， 2 12 12 (1) x x DA DBn y y 2 12 22 12 (1) 44 x x n xx 2 12 16 (1)n x x 2 4(1)n
11、 .令0DA DB ，即 2 4(1)0n ，则1n 或3n . 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,3). 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及 其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5【2019 年高考天津卷理数】设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的短 轴长为 4，离心率为 5 5 （1）求椭圆的方程； （2）设点
12、P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴 上若| |ONOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 【答案】（1） 22 1 54 xy ；（2） 2 30 5 或 2 30 5 【解析】 （1） 设椭圆的半焦距为c， 依题意， 5 24, 5 c b a ， 又 222 abc， 可得5a ，2,b 1c 所以，椭圆的方程为 22 1 54 xy （2）由题意，设 0 ,0 PPpM P xyxM x，设直线PB的斜率为0k k ， 又0,2B，则直线PB的方程为2ykx， 与椭圆方程联立 22 2, 1, 54 ykx xy 整理得 22 45
13、200kxkx， 可得 2 20 45 P k x k ，代入2ykx得 2 2 8 10 45 P k y k ， 进而直线OP的斜率 2 45 10 P p yk xk 在2ykx中，令0y ，得 2 M x k 由题意得0, 1N，所以直线MN的斜率为 2 k 由OPMN，得 2 45 1 102 kk k ，化简得 2 24 5 k ，从而 2 30 5 k 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以，直线PB的斜率为 2 30 5 或 2 30 5 【名师点睛】本小题主要考查椭圆的
14、标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆 锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力 6.【重庆西南大学附属中学校 2019 届高三第十次月考数学试题】已知椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左 顶点为( 2 0)M ，离心率为 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过点(1 0)N ，的直线l交椭圆C于A，B两点，当MA MB 取得最大值时，求 MAB 的面积 【答案】（1） 22 1 42 xy ；（2） 3 6 2 . 【解析】（1）由题意可得：2a ， 2 2 c a ，得 2c ，则 222 2bac . 所以椭圆 22 :1 42
15、xy C. （2）当直线l与x轴重合时，不妨取( 2,0),(2,0)AB，此时0MA MB ； 当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为：1xty， 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 联立 22 1 1 42 xty xy 得 22 (2)230tyty，显然 ， 12 2 2 2 t yy t ， 2 12 3 2 yy t . 所以 1212 (2)(2)MA MBxxy y 1212 (3)(3)tytyy y 2 1212 (1)3 ()9ty yt yy 2 22 32 (1)39 22 t tt tt 22 2 336 9 2 tt t 2 2 93 9 2 t
16、t 2 15 2t . 当0t 时，MA MB 取最大值 15 2 .此时直线l方程为1x ， 不妨取 66 (1,),(1,) 22 AB ，所以6AB . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 又3MN ，所以 MAB 的面积 13 6 63 22 S . 【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考 题. （1）由左顶点M坐标可得a=2，再由 c e a 可得c，进而求得椭圆方程. （2） 设l的直线方程为1xty， 和椭圆方程联立 22
17、 1 1 42 xty xy ， 可得 22 (2)230tyty， 由于 ， 可用t表示出两个交点的纵坐标 12 yy和 12 yy， 进而得到MA MB 关于t的一元二次方程， 得到MA MB 取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出 MAB 的面积. 7【黑龙江省大庆市第一中学 2019 届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知抛物线 2 :20C ypx p 的焦点为F，直线4y 与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且 2QFPQ. （1）求p的值； （2）已知点, 2T t 为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之 和为 8 3 ，证
18、明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标 【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线MN恒过定点1, 1 . 【解析】（1）设 0,4 Q x，由抛物线定义知 0 2 QF p x，又2QFPQ， 0 PQx， 所以 00 2 2 p xx，解得 0 2 p x ，将点,4 2 p Q 代入抛物线方程，解得4p . （2）由（1）知，C的方程为 2 8yx，所以点T坐标为 1 , 2 2 ， 设直线MN的方程为x myn ，点 11 ,M x y， 22 ,N xy， 由 2 8 xmyn yx 得 2 880ymyn， 2 64320mn .所以 12 8yym， 12 8y yn ， 玩转数
19、学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 所以 1212 22 12 12 2222 11 11 22 8282 MTNT kk yyyy yy xx 12 12 1212 88 22 8+32 24 yy yyy yyy 64328 81643 m nm ，解得1nm， 所以直线MN的方程为1(1)xm y ，恒过定点1, 1 【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题. （1）设Q点坐标，根据抛物线的定义得到Q点横坐标，然后代入抛物线方程，得到p的值； （2）
20、11 ,M x y， 22 ,N xy，直线和曲线联立，得到 1212 ,yyy y，然后表示出 MTNT kk，化简整理， 得到m和n的关系，从而得到直线MN恒过的定点. 8.（2020北京卷）已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 过点 ( 2, 1)A ，且2ab （）求椭圆 C 的方程： （）过点( 4,0)B 的直线 l 交椭圆 C 于点,M N,直线,MA NA分别交直线4x 于点,P Q求 | | PB BQ 的 值 【答案】（） 22 1 82 xy ；（）1. 【解析】()由题意得到关于 a,b 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； ()首先联立直线与椭圆的方程，然后由
21、直线 MA,NA 的方程确定点 P,Q 的纵坐标，将线段长度的比值转化 为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得 0 PQ yy ，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(1)设椭圆方程为： 22 22 10 xy ab ab ，由题意可得： 22 41 1 2 ab ab ，解得： 2 2 8 2 a b ，故椭圆方程为： 22 1 82 xy . (2)设 11 ,M x y， 22 ,N xy，直线MN的方程为：4yk x， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 与椭圆方程 22 1
22、 82 xy 联立可得： 2 22 448xkx，即： 2222 41326480kxk xk， 则： 22 1212 22 32648 , 4141 kk xxx x kk .直线 MA 的方程为： 1 1 1 12 2 y yx x ， 令4x 可得： 11 11 1111 4121412 212 2222 P k xkxyx y xxxx ， 同理可得： 2 2 214 2 Q kx y x .很明显 0 PQ y y ，且： P Q PBy PQy ，注意到： 1221 12 1212 424244 2121 2222 PQ xxxxxx yykk xxxx ， 而： 12211212
23、 4242238xxxxx xxx 22 22 64832 238 4141 kk kk 222 2 6483328 41 20 41 kkk k ， 故 0, PQPQ yyyy .从而1 P Q PBy PQy . 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三 角形的面积等问题 9. （2020全国 1 卷） 已知 A、 B 分别为椭圆 E： 2 2 2 1 x y a （a1） 的左、 右顶点， G 为 E 的上顶点，8AG
24、GB ， P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 【答案】（1） 2 2 1 9 x y；（2）证明详见解析. 【解析】（1）由已知可得：,0Aa，,0B a，0,1G，即可求得 2 1AG GBa ，结合已知即可 求得： 2 9a ，问题得解. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （2）设 0 6,Py， 可得直线AP的方程为： 0 3 9 y yx，联立直线AP的方程与椭圆方
25、程即可求得点C 的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy ，同理可得点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11 yy yy ，即可表示出直线CD的方 程，整理直线CD的方程可得： 0 2 0 43 23 3 y yx y ，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 2 2 2 :1(1) x Eya a 可得： ,0Aa，,0B a，0,1G ,1AGa ，, 1GBa 2 18AG GBa ， 2 9a 椭圆方程为： 2 2 1 9 x y （2）证明：设 0 6,Py， 则直线AP的方程为： 0 0 3 63 y yx ，即： 0 3 9
26、 y yx 联立直线AP的方程与椭圆方程可得： 2 2 0 1 9 3 9 x y y yx ，整理得： 2222 000 969810yxy xy，解得：3x 或 2 0 2 0 327 9 y x y 将 2 0 2 0 327 9 y x y 代入直线 0 3 9 y yx可得： 0 2 0 6 9 y y y 所以点C的坐标为 2 00 22 00 3276 , 99 yy yy . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 同理可得：点D的坐标为 2 00 22 00 332 , 11
27、 yy yy 直线CD的方程为： 00 22 2 00 00 2222 0000 22 00 62 91233 3273311 91 yy yyyy yx yyyy yy ， 整理可得： 2 22 00 0000 222 42 000 00 83 233833 1116 96 3 yy yyyy yxx yyyyy 整理得： 000 2 22 0 00 4243 323 33 3 yyy yxx yyy 故直线CD过定点 3 ,0 2 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属 于难题. 10.（2020全国 2 卷）已知椭圆 C1： 22 2
28、2 1 xy ab (ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB|. （1）求 C1的离心率； （2）设 M 是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准方程. 【答案】（1） 1 2 ；（2） 22 1: 1 3627 xy C， 2 2: 12Cyx. 【解析】（1）求出AB、CD，利用 4 3 CDAB可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 1 C的离心 率的值； （2）由（1）可得出 1 C的方程为 22 22 1 43
29、xy cc ，联立曲线 1 C与 2 C的方程，求出点M的坐标，利用抛物 线的定义结合5MF 可求得c的值，进而可得出 1 C与 2 C的标准方程. 【详解】（1）,0F c，ABx轴且与椭圆 1 C相交于A、B两点， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 则直线AB的方程为x c ，联立 22 22 222 1 xc xy ab abc ，解得 2 xc b y a ，则 2 2b AB a ， 抛物线 2 C的方程为 2 4ycx，联立 2 4 xc ycx ，解得 2 xc yc ，4
30、CDc， 4 3 CDAB，即 2 8 4 3 b c a ， 2 23bac ，即 22 2320caca ，即 2 2320ee ， 01eQ，解得 1 2 e ，因此，椭圆 1 C的离心率为 1 2 ； （2）由（1）知2ac， 3bc ，椭圆 1 C的方程为 22 22 1 43 xy cc ， 联立 2 22 22 4 1 43 ycx xy cc ，消去y并整理得 22 316120 xcxc ，解得 2 3 xc或6xc （舍去）， 由抛物线的定义可得 25 5 33 c MFcc，解得3c .因此，曲线 1 C的标准方程为 22 1 3627 xy ， 曲线 2 C的标准方程为
31、 2 12yx. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查 计算能力，属于中等题. 11.（2020全国 3 卷）已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x 上，且| | |BPBQ ，BPBQ，求APQ的面积 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 【答案】（1） 22 16 1 2525 xy ；（2） 5 2 . 【解
32、析】（1）因为 22 2 :1(05) 25 xy Cm m ，可得5a ，bm，根据离心率公式，结合已知，即可求得 答案； （2）点P在C上，点Q在直线6x 上，且| | |BPBQ ，BPBQ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 6x 与x轴交点为N，可得PMBBNQ，可求得P点坐标，求出直线AQ的直线方程，根据点到 直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ的面积. 【详解】（1） 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 5a ，bm， 根据离心率 22 15 4 11 5 cbm e aa ， 解得 5 4 m 或 5 4 m (舍)，C的方程为： 22 2 1 4 25 5 xy
33、，即 22 16 1 2525 xy ； （2）不妨设P,Q在 x 轴上方 点P在C上，点Q在直线6x 上，且| |BPBQ，BPBQ， 过点P作x轴垂线，交点为M，设6x 与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图 | |BPBQ，BPBQ，90PMBQNB，又90PBMQBN， 90BQNQBN，PBMBQN ，根据三角形全等条件“AAS”， 可得：PMBBNQ， 22 16 1 2525 xy ， (5,0)B，6 51PMBN ， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 设P点为(,) P
34、P xy，可得P点纵坐标为1 P y ，将其代入 22 16 1 2525 xy ， 可得： 2 16 1 2525 P x ，解得： 3 P x 或3 P x ，P点为(3,1)或( 3,1)， 当P点为(3,1)时，故5 32MB ，PMBBNQ，| | 2MBNQ， 可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图 ( 5,0)A ,(6,2)Q，可求得直线AQ的直线方程为：211100 xy， 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为： 22 2 3 11 1 1055 5125 211 d ， 根据两点间距离公式可得： 22 65205 5AQ ， APQ面积为： 155 5 5 252
35、； 当P点为( 3,1)时，故5+38MB ，PMBBNQ， | | 8MBNQ，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图 ( 5,0)A ,(6,8)Q，可求得直线AQ的直线方程为：811400 xy， 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为： 22 8311 1 405 5 185185 811 d ， 根据两点间距离公式可得： 22 6580185AQ ， APQ面积为： 155 185 22185 ，综上所述，APQ面积为： 5 2 . 【点
36、睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形 结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 12.（2020江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP 的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E 上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点
37、M 的坐标 【答案】（1）6；（2）-4；（3）2,0M或 212 , 77 . 【解析】（1）根据椭圆定义可得 12 4AFAF，从而可求出 12 AFF的周长； （2）设 0,0 P x，根据点A在椭圆E上，且在第一象限， 212 AFFF，求出 3 1, 2 A ，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （3） 设出设 11 ,M x y， 点M到直线AB的距离为d， 由点O到直线AB的距离与 21 3SS，
38、可推出 9 5 d ， 根据点到直线的距离公式，以及 11 ,M x y满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】（1）椭圆E的方程为 22 1 43 xy , 1 1,0F , 2 1,0F 由椭圆定义可得： 12 4AFAF. 12 AFF的周长为426 （2）设 0,0 P x，根据题意可得 0 1x .点A在椭圆E上，且在第一象限， 212 AFFF 3 1, 2 A ,准线方程为4x ,4, Q Qy, 2 00000 ,04,4244 Q OP QPxxyxxx ，当且仅当 0 2x 时取等号. OP QP 的最小值为4. （3）设 11 ,M x y，点M到直线AB的距离为d
39、. 3 1, 2 A ， 1 1,0F 直线 1 AF的方程为 3 1 4 yx,点O到直线AB的距离为 3 5 ， 21 3SS 21 131 33 252 SSABAB d , 9 5 d , 11 3439xy 22 11 1 43 xy ,联立解得 1 1 2 0 x y ， 1 1 2 7 12 7 x y . 2,0M或 212 , 77 . 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根 据 21 3SS推出 9 5 d 是解答本题的关键. 13.（2020新全国 1 山东）已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离
40、心率为 2 2 ，且过点 A（2，1） 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 （1）求 C 的方程： （2）点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值 【答案】（1） 22 1 63 xy ；（2）详见解析. 【解析】(1)由题意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程. (2)设出点 M，N 的坐标，在斜率存在时设方程为ykxm, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件， 已得到 m,k 的关系，进而得直线 MN 恒过定
41、点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的 性质即可确定满足题意的点 Q 的位置. 【详解】(1)由题意可得： 22 222 3 2 41 1 c a ab abc ，解得： 222 6,3abc，故椭圆方程为： 22 1 63 xy . (2)设点 1122 ,M x yN xy.因为 AMAN， 0AM AN ， 即 1212 22110 xxyy, 当直线 MN 的斜率存在时，设方程为ykxm,如图 1. 代入椭圆方程消去y并整理得： 222 12k4260 xkmxm , 2 1212 22 426 , 1212 kmm xxx x kk , 根据 1122 ,ykxm y
42、kxm,代入整理可得： 2 2 1212 k1 x2140 xkmkxxm 将代入， 2 2 2 22 264 k12140 1 21 2 mkm kmkm kk ， 整理化简得231 210kmkm,2,1A （）不在直线MN上，210km ， 23101kmk ，于是 MN 的方程为 21 33 yk x ， 所以直线过定点直线过定点 21 , 33 E . 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 当直线 MN 的斜率不存在时，可得 11 ,N xy,如图 2. 代入 1212 22110
43、 xxyy得 2 2 12 210 xy , 结合 22 11 1 63 xy ,解得 11 2 2, 3 xx舍,此时直线 MN 过点 21 , 33 E , 由于 AE 为定值，且ADE 为直角三角形，AE 为斜边， 所以 AE 中点 Q 满足QD为定值（AE 长度的一半 22 1214 2 21 2333 ）. 由于 21 , 3 2,1 3 ,AE ，故由中点坐标公式可得 4 1 , 3 3 Q . 故存在点 4 1 , 3 3 Q ，使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线 MN 经 过定点，并求得定点的坐标,属综合
44、题，难度较大. 14. （2020天津卷） 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为 (0, 3)A， 右焦点为F， 且| |OAOF， 其中O为原点 （）求椭圆的方程； （）已知点C满足3OC OF ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切 于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程 【答案】（） 22 1 189 xy ；（） 1 3 2 yx，或3yx 【解析】（）根据题意，并借助 222 abc ，即可求出椭圆的方程； 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂 安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公
45、众号玩转高中数学研讨 （）利用直线与圆相切，得到CPAB，设出直线AB的方程，并与椭圆方程联立，求出B点坐标，进 而求出P点坐标，再根据CPAB，求出直线AB的斜率，从而得解. 【详解】（）椭圆 22 22 10 xy ab ab 的一个顶点为 0, 3A， 3b ，由OAOF，得3cb，又由 222 abc ，得 222 8313a ， 所以，椭圆的方程为 22 1 189 xy ； （）直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CPAB， 根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在， 设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为3ykx+=，即3ykx， 22 3 1 189 ykx xy ，
46、消去y，可得 22 21120kxkx，解得0 x 或 2 12 21 k x k . 将 2 12 21 k x k 代入3ykx，得 2 22 1263 2121 3 k y kk k k ， 所以，点B的坐标为 2 22 1263 , 21 21 kk kk ，因为P为线段AB的中点，点A的坐标为0, 3， 所以点P的坐标为 22 63 , 21 21 k kk ，由3OC OF ，得点C的坐标为1,0， 所以，直线CP的斜率为 2 2 2 3 0 3 21 6 261 1 21 CP k k kk k k ，又因为CPAB，所以 2 3 1 261 k kk ， 整理得 2 2310kk ，解得 1 2 k 或1k .所以，直线AB的方程为 1 3 2 yx或3yx. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式 以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置 关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.
