考点27椭圆方程与性质教师版.pdf下载_163文库

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1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨考点 27椭圆 1椭圆的概念把平面内到两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点 F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点 F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距椭圆定义用集合语言表示如下： PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段 F1F2；当到两定点的距离

2、之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在 2椭圆的标准方程和几何性质标准方程 x2 a2 y2 b21 (ab0) y2 a2 x2 b21 (ab0) 图形性质范围 axa byb bxb aya 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点 A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0) 轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率ec a(0,1) a，b，c 的关系 c2a2b2 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成 Ax2By21 的形式，其中 A，B

3、是不相等的正常数，或设成x 2 m2 y2 n21(m 2n2)的形式 3椭圆中的弦长公式 (1)若直线 ykxb 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB| 1k2|x1x2|11 k2|y 1y2|. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2 a ，最长为 2a. 玩转典例题型题型一一椭圆的定义和标准方程椭圆的定义和标准方程例例 1（1）（2020上海徐汇.高三期末）已知 1 F 2 F是定点， 12

4、| 6F F.若动点M满足 12 | 6M FM F，则动点M的轨迹是（） A直线B线段C圆D椭圆（2）（2019宁波市第四中学高三期中）设p是椭圆 22 1 2516 xy 上的点若 12 FF，是椭圆的两个焦点，则 12 PFPF等于( ) A4B5C8D10 【答案】（1）B（2）D 【解析】（1）对于在平面内，若动点M到 1 F、 2 F两点的距离之和等于 6，而 6 正好等于两定点 1 F、 2 F的距离，则动点M的轨迹是以 1 F， 2 F为端点的线段故选：B （2）因为椭圆的方程为 22 5 1 162 xy ，所以 2 25a ，由椭圆的的定义知 12 =210PFPFa

5、，故选 D 例例 2（1）（2019福建高三期末）如果 22 2xky表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（） A(0,1)B(0,2) C(1,)D(0, ) （2）（2019江苏省苏州实验中学高三期中）方程 22 1 4 xy m 表示椭圆，则实数m的取值范围（） A0m B4m C04mD0m 且4m 【答案】（1）A（2）D 【解析】（1） 22 2xky转化为椭圆的标准方程，得 22 1 2 2 xy k ，因为 22 2xky表示焦点在y轴上的椭圆，所以 2 2 k ，解得01k.所以实数k的取值范围是0,1.选 A. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩

6、转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨（2）方程 22 1 4 xy m 表示椭圆，若焦点在 x 轴上，40m；若焦点在 y 轴上，4m. 综上：实数m的取值范围是0m 且4m故选：D 例例 3（2018黑龙江哈尔滨三中高三期中）已知ABC的顶点B，C在椭圆 22 1 169 xy 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，则ABC的周长是（） A8B8 3 C16D24 （2）（2019广西田阳高中））已知P是椭圆 22 1 259 xy 上一点， 12 ,F F为椭圆的两焦点，且 0 12 60FPF，则

7、12 FPF面积为（） A3 3B2 3 C3D 3 3 【答案】（1）C 【解析】（1）ABC的顶点B，C在椭圆 22 1 169 xy 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，由椭圆的定义可得：ABC的周长是44 416a 故选：C （2）由椭圆的标准方程可得：a5，b3，c4，设|PF1|t1，|PF2|t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t210，在F1PF2中，F1PF260，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos60|F1F2|2（2c）264，整理可得：t12+t22t1t264，把两边平方得 t12+t22+2t1t

8、2100，所以得 t1t212， 12 1 2 1 2 F PF St t sin F1PF23 3故选 A 玩转跟踪 1(广东，8)已知椭圆x 2 25 y2 m21(m0)的左焦点为 F 1(4，0)，则 m() A2B3C4D9 解析由题意知 25m216，解得 m29，又 m0，所以 m3. 答案B 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 2(全国，9)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点为 F 1、F2，离心率为 3 3 ，过 F2的直线 l 交 C 于

9、A、B 两点若AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为() A.x 2 3 y 2 2 1B.x 2 3 y21 C.x 2 12 y2 8 1D.x 2 12 y2 4 1 解析由已知 ec a 3 3 ，又AF1B的周长为|AF1|AB|BF1|AF1|(|AF2|BF2|)|BF1|(|AF1|AF2|)(|BF2|BF1|)2a2a 4 3，解得 a 3，故 c1，b a2c2 2，故所求的椭圆方程为x 2 3 y 2 2 1，故选 A. 答案A 3(广东，9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1，0)，离心率等于1 2，则 C 的方程是( ) A.x 2 3 y 2 4

10、 1B.x 2 4 y2 31 C.x 2 4 y 2 2 1D.x 2 4 y 2 3 1 解析由题意，得 c1，ec a 1 a 1 2，所以 a2，b 23，所以椭圆的方程为x2 4 y 2 3 1. 答案D 题型题型二二椭圆的几何性质椭圆的几何性质例例 4（1）（2020武威第八中学高三期末（理）已知椭圆C： 22 2 1(0) 4 xy a a 的一个焦点为(2 0) ，则C的离心率为。（2）（2019江西南昌十中高三期中）过椭圆的右焦点 2 F作椭圆长轴的垂线交椭圆于AB，两点， 1 F为椭圆的左焦点，若 1 F AB 为正三角形，则椭圆的离心率为。【答案】（1） 2 2

11、（2） 3 3 【解析】（1）根据题意，可知2c ，因为 2 4b ，所以 222 8abc ，即 2 2a ，所以椭圆C的离心率为 22 22 2 e . （2）根据题意，如图所示，玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨可得 1 F AB为正三角形，可得在 12 Rt AFF中，有 12122 2,23AFAFFFcAF，点A在椭圆上，由椭圆的定义可得 122 23aAFAFAF，则该椭圆的离心率 12 12 3 3 FFc c aAFAF 玩转跟踪 1(四川，9)从椭圆x 2

12、a2 y2 b21(ab0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F 1，A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是() A. 2 4 B.1 2 C. 2 2 D. 3 2 解析由题意可得 P(c，b 2 a )，A(a，0)，B(0，b)由 ABOP，得b a b2 ac，化简，得 bc，所以离心率 e c a 2 2 . 答案C 2 (新课标全国， 5)设椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F 1、 F2， P 是 C 上的点， PF2F1F2， PF1F230，则 C

13、的离心率为() A. 3 6 B.1 3 C.1 2 D. 3 3 解析如图所示，在 RtPF1F2中，|F1F2|2c. 设|PF2|x，则|PF1|2x，由 tan 30 |PF2| |F1F2| x 2c 3 3 ，得 x2 3 3 c. 而由椭圆定义得，|PF1|PF2|2a3x，a3 2x 3c， ec a c 3c 3 3 . 答案D 3(辽宁，11)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F，C 与过原点的直线相交于 A，B 两点，连接 AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF4 5，则 C 的离心率为( ) A.3 5 B.5 7 C.4 5

14、 D.6 7 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨解析设椭圆的右焦点为 F1，由余弦定理，得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF36，则有|AF|6，故AFB90，由椭圆的对称性知四边形 FAF1B 为矩形，则有|BF|BF1|86142a，即 a7，|FF1|AB|102c，即 c5，则 C 的离心率为 ec a 5 7. 答案B 题型题型三三直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系例例 5（2020云南省泸西县第一中学高三期中）已知椭圆? ? ? ? ? ?

15、 ? ? 及直线 ?：? ? ? ? ? ? （1）当直线 ? 与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；（2）当 ? ? 时，求直线 ? 被椭圆截得的弦长【答案】（1） ? ? ? ? ；（2） ?. 【解析】（1）由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 消去 ?，并整理得 ? 晦? ? ? ? ? ? ? ? ?晦? ?晦 ? ? ? ?晦 ? ? 直线 ? 与椭圆有公共点，? ? ?，可解得：? ? ? ? ? ? ? 故所求实数的取值范围为 ? ? ? ? （2）设直线 ? 与椭圆的交点为 ? ?，? ? 由得： ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ? ? ?

16、 ? ? ? ? ? ? ? ? 晦 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ? 时，直线 ? 被椭圆截得的弦长为 ? 例例 6（2020上海高三课时练习）如果椭圆 22 1 369 xy 的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是_ 【答案】y=-0.5x+4 【解析】设弦为AB，且 1122 ,A x yB x y，代入椭圆方程得 2222 1122 1,1 369369 xyxy ，两式作差并化简得 2112 2112 1 2 yyxx xxyy ，即弦的斜率为 1 2 ，由点斜式得 1 24 2 yx ，化简得0.54yx . 玩转跟踪玩转数学培优

17、题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 1（2020全国高三课时练习）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab 0ab的焦距为4 2，短半轴的长为 2，过点 P(2,1)且斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)求弦 AB 的长【答案】（1） 22 1 124 xy ；（2） 42 2 AB . 【解析】(1)已知椭圆焦距为4 2，短半轴的长为 2，即 2c=4 2，b=2，结合 a2=b2+c2，解得 a=2 3，b=2，c=2 2，故 C： 2

18、2 1 124 xy . (2)已知直线 l 过点 P(2,1)且斜率为 1，故直线方程为 y-1=x+2，整理得 y=x+3，直线方程与椭圆方程联立 22 3 1 124 yx xy ，得 2 418150 xx . 设 11 ,A x y， 22 ,B xy 12 12 0, 9 , 2 15 , 4 xx x x AB 2 1212 42 24 2 xxx x 2（2020海林市朝鲜族中学高二课时练习）已知椭圆方程为 2 2 x +y2=1,则过点 1 1 , 2 2 P 且被 P 平分的弦所在直线的方程为_. 【答案】2430 xy 【解析】设这条弦与椭圆 2 2 1 2 x y交

19、于点 1 122 A x yB x y，由中点坐标公式知 1212 1,1xxyy,把 1 122 A x yB x y代入 2 2 1 2 x y, 作差整理得 12 1212 12 1 20, 2 AB yy xxyyk xx ，这条弦所在的直线方程为 111 222 yx ，即2430 xy，故答案为2430 xy. 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨玩转练习 1（2019北京）已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，则() A 22 2abB

20、22 34abC2abD34ab 【答案】B 【解析】由题意， 1 2 c a ，得 2 2 1 4 c a ，则 22 2 1 4 ab a ， 222 44aba，即 22 34ab 2（2018全国）已知椭圆 22 22 1 xy ab 过点 3 ( 4, ) 5 和 4 (3,) 5 ，则椭圆离心率(e ) A 2 6 5 B 6 5 C 1 5 D 2 5 【答案】A 【解析】椭圆 22 22 1 xy ab 过点 3 ( 4, ) 5 和 4 (3,) 5 ，则 22 22 169 1 25 916 1 25 ab ab ，解得5a ，1b ， 222 24cab，2 6c ，

21、2 6 5 c e a 3（2018新课标）已知椭圆 22 2 :1 4 xy C a 的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 2 2 3 【答案】C 【解析】椭圆 22 2 :1 4 xy C a 的一个焦点为(2,0)，可得 2 44a ，解得2 2a ，2c ， 22 22 2 c e a 故选C 4.（2017新课标）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，且以线段 12 A A为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为() A 6 3 B 3 3 C

22、 2 3 D 1 3 【答案】A 【解析】以线段 12 A A为直径的圆与直线20bxayab相切，原点到直线的距离 22 2ab a ab ，化为： 22 3ab 椭圆C的离心率 2 2 6 1 3 cb e aa 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 5（2016新课标）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1 4 ，则该椭圆的离心率为() A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 【答案】B 【解析】设椭圆的方程为： 22 22 1 xy ab

23、，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：1 xy cb ，椭圆中心到l的距离为其短轴长的 1 4 ，可得： 22 1 211 b cb ， 2 22 11 4()b cb ， 2 2 3 b c ， 22 2 3 ac c ， 1 2 c e a 6.（2019新课标）设 1 F， 2 F为椭圆 22 :1 3620 xy C的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若 12 MF F 为等腰三角形，则M的坐标为【答案】(3, 15) 【解析】设( , )M m n，m，0n ，椭圆 22 :1 3620 xy C的6a ，2 5b ，4c ， 2 3 c e a ，由于M为C上

25、PF ， 2 | 2PF ， 12 | 22 5FFc， 8. （2020天津静海一中高三期末）已知方程 22 1 21 xy mm 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是（）玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 A(,1) B( 2, ) C 3 (,) 2 ( 1,) D 33 ( 2,)(,1) 22 【答案】D 【解析】210mm，且21mm ，所以 3 2 2 m 或 3 1 2 m 故选 D则 222 1212 |PFPFFF，则有 12 90FPF，故答案为90 9.（2020四

26、川青羊.树德中学高三月考）已知椭圆C的焦点为 1( 1,0) F ， 2(1,0) F过点 1 F的直线与C交于 A，B两点若 2 ABF的周长为 8，则椭圆C的标准方程为（） A 22 1 1615 xy B 22 1 87 xy C 22 1 43 xy D 22 1 34 xy 【答案】C 【解析】根据椭圆的定义知 2 ABF的周长为48a ，2a ，又1c ， 222 3bac ，椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 10.（2020上海高三课时练习）中心在原点，焦点在y轴上，焦距为 8，且过点（3，0）的椭圆方程为（） . A 22 1 259 xy B 22 1 925 xy

27、 C 22 1 259 xy 或 22 1 925 xy D 22 1 916 xy 或 22 1 169 xy 【答案】B 【解析】因为焦距为 8，所以28c ，即4c 又因为椭圆的焦点在y轴上，且过点（3，0），所以 2 3,25ba ，所以椭圆的方程为 22 1 925 xy . 故选：B 11.（2020全国高三课时练习（理）已知点P是以 12 ,F F为焦点的椭圆 22 22 10 xy ab ab 上一点，若 1221 ,tan2PFPFPF F，则椭圆的离心率e （）玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资

28、料关注公众号玩转高中数学研讨 A 5 3 B 1 3 C 2 3 D 1 2 【答案】A 【解析】点 P 是以 F1，F2为焦点的椭圆 2 2 x a + 2 y b =1（ab0）上一点，PF1PF2，tanPF2F1=2， 1 2 PF PF =2，设|PF2|=x，则|PF1|=2x，由椭圆定义知 x+2x=2a，x= 2 3 a ，|PF2|= 2 3 a ，则|PF1|= 4 3 a ，由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2，解得 c= 5 3 a，e= c a = 5 3 12.（2019广西百色田东中学高三期中）椭圆 22 416xy被直线 1 1 2 yx截得

29、的弦长为_. 【答案】 35 【解析】由 22 416 1 1 2 xy yx 消去 y 并化简得 2 260,xx 设直线与椭圆的交点为 M(x1,y1),N(x2,y2),则 1212 x2,6,xx x 所以弦长 2 12 135MNkxx. 故填35. 13. （2020武威市第六中学高三月考）点P是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 一点，F为椭圆C的一个焦点， |PF的最小值为 21 ，最大值为 21 （1）求椭圆C的方程；（2）直线y xm 被椭圆C截得的弦长为 4 2 3 ，求m的值【答案】（1） 2 2 1 2 x y；（2）1m 【解析】（1）由点P是椭

30、圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 一点，F为椭圆C的一个焦点，| |PF的最小值为 21 ，最大值为 21 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨可得 21 21 ac ac ，解得 2 1 a c ，进而 22 1bac ，所以椭圆方程为： 2 2 1 2 x y. （2）设直线y xm 与曲线C的交点分别为 1122 M x ,y ,N x ,y 联立 2 2 1 2 yxm x y 得 22 34220 xmxm , 222 1612 222480mmm,即- 3 m3

31、又 2 1212 422 , 33 mm xxx x ， 2 2 1212 4 2 MN1 14 3 xxxx ，化简 22 2 4224 4 333 mm ，整理得 2 880m ，1m ，符合题意.综上，1m . 14（2019四川高三期末）已知椭圆 222 :220C xybb. （1）求椭圆 C 的离心率 e；（2）若1b ，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且 2 11 3 AB ，求AOB的面积. 【答案】（1） 2 2 e ；（2） 22 12 . 【解析】（1）椭圆 22 22 :10 2 xy Cb bb ，椭圆长半轴长为2ab，短半轴长为b， 22 22 2 11

32、22 cbb e aab ；（2）设斜率为1的直线l的方程为y xm ，且 11 ,A x y、 22 ,B xy， 1b Q，椭圆C的方程为 22 :22xy，玩转数学培优题型篇安老师培优课堂安老师高三玩转数学研讨群（721144129）旨在打造课外辅导专用讲义，更多资料关注公众号玩转高中数学研讨由 22 22 yxm xy ，.消去y得 22 34220 xmxm ，又有 12 2 12 4 3 22 3 m xx m xx . 22 2 2 121212 16884 22423 933 mm ABxxxxx xm 2 11 3 ，解得： 2 1 4 m 满足，直线l的方程为 1 0 2 xy. 故O到直线的距离 1 2 2 42 d ， 112 11222 223412 AOE SAB d .

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