1、第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算 在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代 数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式） 、分式、根式它们具有实数的属性， 可以进行运算在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式） ， 并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运 算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式在 根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被 开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要
2、补充基于同样的原因，还要补充“繁 分式”等有关内容 一、乘法公式一、乘法公式 【公式【公式 1】cabcabcbacba222)( 2222 证明证明： 2222 )(2)()()(ccbabacbacba cabcabcbacbcacbaba222222 222222 等式成立 【例例 1】计算： 22 ) 3 1 2(xx 解解：原式= 22 3 1 )2(xx 9 1 3 22 3 8 22 )2( 3 1 2 3 1 2)2(2) 3 1 ()2()( 234 222222 xxxx xxxxxx 说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列 【公式【公式 2】 3322
3、 )(babababa(立方和公式立方和公式) 证明证明: 3332222322 )(bababbaabbaabababa 说明说明:请同学用文字语言表述公式 2. 【例例 2】计算：)( 22 bababa 解解：原式= 333322 )()()()(bababbaaba 我们得到： 【公式【公式 3】 3322 )(babababa(立方差公式立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3 均称为乘法公式乘法公式 【例例 3】计算： （1）)416)(4( 2 mmm（2）) 4 1 10 1 25 1 )( 2 1 5 1 ( 22 nmnmnm （3）)164
4、)(2)(2( 24 aaaa（4） 22222 )(2(yxyxyxyx 解解： （1）原式= 333 644mm （2）原式= 3333 8 1 125 1 ) 2 1 () 5 1 (nmnm （3）原式=644)()44)(4( 63322242 aaaaa （4）原式= 2222222 )()()(yxyxyxyxyxyx 6336233 2)(yyxxyx 说明说明： （1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结 构 （2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、4、 10 的立方数，是非常有好处的 【例例 4】已
5、知013 2 xx，求 3 3 1 x x 的值 解解：013 2 xx0 x3 1 x x 原式=18)33(33) 1 )( 1 () 1 1)( 1 ( 22 2 2 x x x x x x x x 说明说明： 本题若先从方程013 2 xx中解出x的值后， 再代入代数式求值， 则计算较烦琐 本 题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本 题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举 【例例 5】已知0cba，求 111111 ()()()abc bccaab 的值 解解：bacacbcbacba, 0 原式= ab ba c
6、 ac ca b bc cb a abc cba ab cc ac bb bc aa 222 )()()( abccabccabbababa3)3(3)( 32233 abccba3 333 ，把代入得原式=3 3 abc abc 说明说明：注意字母的整体代换技巧的应用 引申引申：同学可以探求并证明： )(3 222333 cabcabcbacbaabccba 二、根式二、根式 式子(0)a a 叫做二次根式，其性质如下： (1) 2 ()(0)aa a(2) 2 |aa (3)(0,0)abab ab(4)(0,0) bb ab a a 【例例 6】化简下列各式： (1) 22 ( 32)(
7、 31)(2) 22 (1)(2) (1)xxx 解解：(1) 原式=|32|31| 2331 1 (2) 原式= (1)(2)23 (2) |1|2| (1)(2)1 (1x2) xxxx xx xx 说明说明：请注意性质 2 |aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的 取值分类讨论 【例例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1) 3 23 (2) 11 ab (3) 3 28 2 x xx 解解：(1) 原式= 2 3(23)3(23) 63 3 23(23)(23) (2) 原式= 22 aba bab abab (3) 原式= 22 2 2222
8、2 23 2 22 x x xxxx xxxx x 说明说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方 数不含能开得尽方的因数或因式 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数 或因式， 然后把开得尽方的因数或因式开出来； 分母中有根式(如 3 23 )或被开方数有分母(如 2 x )这时可将其化为 a b 形式(如 2 x 可化为 2 x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况化简时， 要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如 3 23 化为 3(23) (23)(23) ，其中23与23叫做互
9、为有理化因式) 【例例 8】计算： (1) 2 (1)(1)()ababab(2) aa aabaab 解解：(1) 原式= 22 (1)()(2)2221baaabbaabb (2) 原式= 11 ()() aa aabaababab ()()2 ()() ababa ab abab 说明说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次 根式的运算 【例例 9】设 2323 , 2323 xy ，求 33 xy的值 解解： 2 2 (23)23 74 3,74 3 14,1 2323 xyxyxy 原式= 2222 ()()()()314(143)2702xy
10、 xxyyxyxyxy 说明说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结 论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量 三、分式三、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时， A B 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两 种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质 【例例 10】化简 1 1 x x x x x 解法一解法一：原式= 22 2 (1)1 1(1) 1(1)(1)1 1 x xxxxxx xxxx xxxxx xxx xxxx x x 解法一解法一：原式= 2 2 (1)1 (1)(1) 11
11、1 () x xxxxx xxxxx xxxx xxx xx xx x 说明说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二 则是利用分式的基本性质 AAm BBm 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法 【例例 11】化简 2 22 3961 62279 xxxx xxxx 解解：原式= 2 22 3961161 2(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9) xxxxx xxxxxxxxxx 2 2(3)12(1)(3)(3)3 2(3)(3)2(3)(3)2(3) xxxxx xxxxx 说明说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母
12、为多项式时，应先因式分解再 进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 A组组 1二次根式 2 aa 成立的条件是() A0a B0a C0a Da是任意实数 2若3x ，则 2 96|6|xxx的值是() ABCD 3计算： (1) 2 (34 )xyz(2) 2 (21)()(2 )abab ab (3) 222 ()()()ab aabbab(4) 22 1 (4 )(4) 4 ababab 4化简(下列a的取值范围均使根式有意义)： (1) 3 8a(2) 1 a a (3) 4ab a bb a (4) 112 23231 5化简： (1) 2 1 9102 325 mm
13、 mmm m (2) 2 22 (0) 2 xyxy xy xx y B组组 1若 11 2 xy ，则 33xxyy xxyy 的值为()： 练练习习 A 3 5 B 3 5 C 5 3 D 5 3 2计算： (1)()()abcabc(2) 11 1() 23 3设 11 , 3232 xy ，求代数式 22 xxyy xy 的值 4当 22 320(0,0)aabbab，求 22 abab baab 的值 5设x、y为实数，且3xy ，求 yx xy xy 的值 6 已知 111 20,19,21 202020 axbxcx， 求代数式 222 abcabbcac的值 7设 51 2 x
14、 ，求 42 21xxx的值 8展开 4 (2)x 9计算(1)(2)(3)(4)xxxx 10计算()()()()xyzxyz xyz xyz 11化简或计算： (1) 113 ( 184) 23 23 (2) 2 21 22(25) 3 52 (3) 2 x xxyxxyy xyyx xyy (4)()() bababab a ababbabaab 第一讲 习题答案 A 组 1 C2 A 3 (1) 222 9166824xyzxyxzyz(2) 22 353421aabbab (3) 22 33a bab(4) 33 1 16 4 ab 4 2()2 22 1 2 ab aaa ab 5
15、 2m mxy B 组 1 D22,3 22 3acbac3 13 3 6 43,252 363735 8 432 8243216xxxx 9 432 10355024xxxx 10 444222222 222xyzx yx zy z 11 4 3 3, 3 xy ba y 第二讲第二讲 因式分解因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、 解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平 方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等
16、 一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233 ()()ab aabbab(立方和公式) 2233 ()()ab aabbab(立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 3322 ()()abab aabb 3322 ()()abab aabb 这就是说， 两个数的立方和(差)， 等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和) 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解 【例【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1)
17、 3 8x(2) 3 0.12527b 分析：分析： (1)中， 3 82，(2)中 333 0.1250.5 ,27(3 )bb 解：解：(1) 3332 82(2)(42)xxxxx (2) 33322 0.125270.5(3 )(0.53 )0.50.5 3(3 ) bbbbb 2 (0.53 )(0.251.59)bbb 说明说明： (1) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 经常要逆用幂的运算法则， 如 333 8(2)a bab， 这里逆用了法则()n nn aba b； (2) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 一定要看准因式中各项的 符号 【例【例 2】分解因式： (1)
18、34 381a bb(2) 76 aab 分析：分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现 66 ab，可 看着是 3232 ()()ab或 2323 ()()ab 解：解：(1) 343322 3813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb (2) 76663333 ()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()() a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb 二、分组分解法二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于
19、四项 以上的多项式，如mambnanb既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先 将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如 何分组 1分组后能提取公因式分组后能提取公因式 【例【例 3】把2105axaybybx分解因式 分析：分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从 两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取公因式 解：解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab 说明：说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合
20、理选择分组的方 法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试 【例【例 4】把 2222 ()()ab cdabcd分解因式 分析：分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式 解：解： 22222222 ()()ab cdabcdabcabda cdb cd 2222 ()()abca cdb cdabd ()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd 说明：说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法 交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作
21、用 2分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式 【例【例 5】把 22 xyaxay分解因式 分析分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其 中一个因式是xy；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a后，另一个因式也是xy. 解：解： 22 ()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 【例【例 6】把 222 2428xxyyz分解因式 分析分析：先将系数 2 提出后，得到 222 24xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全 平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式 解：解： 222222 24282(24)xxyyzxxy
22、yz 22 2()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz 说明：说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取 公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可 以分组分解法来分解因式 三、十字相乘法三、十字相乘法 1 2 ()xpq xpq型的因式分解型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此， 2 ()()()x
23、pq xpqxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式 【例【例 7】把下列各式因式分解： (1) 2 76xx(2) 2 1336xx 解：解：(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7 2 76( 1)( 6)(1)(6)xxxxxx (2) 3649,4913 2 1336(4)(9)xxxx 说明说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数 的符号相同 【例【例 8】把下列各式因式分解： (1) 2 524xx(2) 2 215xx 解：解：(1) 24( 3)8,( 3)85 2 524( 3)(8)(3)(8)
24、xxxxxx (2) 15( 5)3,( 5)32 2 215( 5)(3)(5)(3)xxxxxx 说明说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数 与一次项系数的符号相同 练：练： 2 (1)65xx 2 (2)421xx（3） 2 1130 xx（4） 2 12xx 【例【例 9】把下列各式因式分解： (1) 22 6xxyy(2) 222 ()8()12xxxx 分析：分析：(1) 把 22 6xxyy看成x的二次三项式，这时常数项是 2 6y，一次项系数是y， 把 2 6y分解成3y与2y的积，而3( 2 )yyy ，正好是一次项系数 (2) 由换
25、元思想，只要把 2 xx整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三 项式 2 812aa 解：解：(1) 2222 66(3 )(2 )xxyyxyxxy xy (2) 22222 ()8()12(6)(2)xxxxxxxx (3)(2)(2)(1)xxxx 练练：（1） 42 718xx（2） 63 12aa 2一般二次三项式一般二次三项式 2 axbxc型的因式分解型的因式分解 大家知道， 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xa ca c xc c 反过来，就得到： 2 121 22 11 21122 ()()()a a xa ca c xc c
26、a xca xc 我们发现，二次项系数a分解成 12 a a，常数项c分解成 1 2 c c，把 1212 ,a a c c写成 11 22 ac ac ，这 里按斜线交叉相乘，再相加，就得到 1 22 1 a ca c，如果它正好等于 2 axbxc的一次项系数b， 那么 2 axbxc就可以分解成 1122 ()()a xca xc，其中 11 ,a c位于上一行， 22 ,a c位于下一行 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一 个二次三项式能否用十字相乘法分解 【例【
27、例 10】把下列各式因式分解： (1) 2 1252xx(2) 22 568xxyy 解：解：(1) 2 1252(32)(41)xxxx 32 4 1 (2) 22 568(2 )(54 )xxyyxyxy 1 2 54 y y 说明：说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时， 为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一 次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号 练练： （1） 2 1252xx（2） 2 451xx（3） 2 3103xx（4） 2 318xx 【例【例 11】因式
28、分解： (1) 222 (2 )7(2 )8xxxx(2)aaxxx5152 2 分析分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对 于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合. 解：解：(1)原式)82)(12( 22 xxxx)4)(2() 1( 2 xxx. (2)原式)5()152( 2 aaxxx)5()5)(3(xaxx)3)(5(axx. 练： （1） 4224 127mm nn（2） 2 22xaxa 四、其它因式分解的方法四、其它因式分解的方法 1配方法配方法 【例【例 12】分解因式 2 616xx 解：解：
29、222222 616233316(3)5xxxxx (35)(35)(8)(2)xxxx 说明说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法， 配方后将二次三项式化为两个平方式， 然后用平方差公式分解当然，本题还有其它方法，请大家试验 2拆、添项法拆、添项法 【例【例 13】分解因式 32 34xx 分析分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项， 如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通 过添项或拆项解决 解：解： 3232 34(1)(33)xxxx 22 (1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)x
30、xxxxxxxx 22 (1)(44)(1)(2)xxxxx 说明说明：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成 可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将 2 3x拆成 22 4xy，将多项式分成两组 32 ()xx和 2 44x 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； (3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解； (4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止 A组组
31、练练习习 1把下列各式分解因式： (1) 3 27a (2) 3 8m(3) 3 278x (4) 33 11 864 pq(5) 33 1 8 125 x y (6) 333 11 21627 x yc 2把下列各式分解因式： (1) 34 xyx(2) 33nn xx y (3) 2323 ()amna b(4) 2232 (2 )yxxy 3把下列各式分解因式： (1) 2 32xx(2) 2 3736xx(3) 2 1126xx (4) 2 627xx(5) 22 45mmnn(6) 2 ()11()28abab 4把下列各式分解因式： (1) 543 1016axaxax(2) 21
32、2 6 nnn aaba b (3) 22 (2 )9xx (4) 42 718xx(5) 2 673xx(6) 22 82615xxyy (7) 2 7()5()2abab(8) 22 (67 )25xx 5把下列各式分解因式： (1) 2 33axayxyy(2) 32 8421xxx(3) 2 51526xxxyy (4) 22 4202536aabb(5) 22 414xyxy (6) 432224 a ba ba bab (7) 663 21xyx(8) 2( 1)()xxy xyx B组组 1把下列各式分解因式： (1) 2222 ()()ab cdcd ab(2) 22 484x
33、mxmnn (3) 4 64x (4) 32 113121xxx(5) 3223 428xxyx yy 2已知 2 ,2 3 abab，求代数式 2222 2a ba bab的值 3证明：当n为大于 2 的整数时， 53 54nnn能被 120 整除 4已知0abc，求证： 3223 0aa cb cabcb 第二讲第二讲 因式分解答案因式分解答案 A 组组 1 222 (3)(39),(2)(42),(23 )(469),aaammmxxx 2222222 11211 (2)(42),(2)(4),(2 )(24) 645525216 pqppqqxyx yxyxyc x yxycc 2 2
34、222 ()(),()(), n x xyyxyxxxy xxyy 22222432 ()()(),(1) (4321)amnbmnb mnbyxxxxx 3(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)xxxxxxxx (9)(3),(5 )(),(4)(7)xxmn mnabab 4 322 (2)(8),(3 )(2 ),(3)(1)(23),(3)(3)(2) n axxxaab abxxxxxxx 2 (23)(31),(2)(415 ),(772)(1),(21)(35)(675)xxxyxyababxxxx5 2 ()(3),(21) (21),(3)(52 ),(2
35、56)(256)xyayxxxxyabab 23333 (12)(12),() (),(1)(1), ()(1)xyxy ab ababxyxyx xy xy B 组组 1 22 ()(),(42 )(2 ),(48)(48),bcad acbdxmn xnxxxx 2 (1)(3)(7),(2 ) (2 )xxxxyxy 2 28 3 3 53 54(2)(1) (1)(2)nnnnnn nn 4 322322 ()()aa cb cabcbaabbabc 第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一
36、元二次方程的 根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应 用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述 一、一元二次方程的根的判断式一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa (1) 当 2 40bac时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2 4 2 bbac x a (2) 当 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2 2 b x a (3) 当 2 40bac时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用
37、2 4bac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把 2 4bac叫做一 元二次方程 2 0 (0)axbxca的根的判别式，表示为： 2 4bac 【例【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 2 2310 xx (2) 2 4912yy(3) 2 5(3)60 xx 解：解：(1) 2 ( 3)42 110 ， 原方程有两个不相等的实数根 (2) 原方程可化为： 2 41290yy 2 ( 12)4490 ， 原方程有两个相等的实数根 (3) 原方程可化为： 2 56150 xx 2 ( 6)45 152640 ， 原方程没有实数根 说明：说明：在求判断式时，务必先把
38、方程变形为一元二次方程的一般形式 练：练：说出下列各方程的根的情况 （1） 2 3xx（2） 2 441xx（3） 2 2xx 【例【例 2】已知关于x的一元二次方程 2 320 xxk，根据下列条件，分别求出k的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根 解：解： 2 ( 2)43412kk (1) 1 4120 3 kk；(2) 1 4120 3 kk； (3) 1 4120 3 kk；(4) 1 4120 3 kk 二、一元二次方程的根解法二、一元二次方程的根解法 进一步地，在一元二次方程 2 0 (0)axbxca
39、有实数根的前提下，该实数根具体是 多？这就涉及到一元二次方程的根的求法 解法一（因式分解法）若 2 axbxc可分解为()()pxq mxn， 那么由 2 0 axbxc可得()()0pxq mxn从而得到 q x p 或 n x m 【典例】【典例】解一元二次方程 2 20 xx 解：原方程可化为解：原方程可化为(1)(2)0 xx故12x 或 练：练：解一元二次方程（1） 2 4120 xx（2） 2 260 xx（3） 2 4510 xx 解法二（配方法）一元二次方程 2 0 (0)axbxca，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 两边开方即可得到方程的
40、根 【典例】【典例】解一元二次方程 2 20 xx 解：解：原方程可化为 2 19 ()0 24 x即 2 19 () 24 x 故 13 22 x 从而 13 22 x 即12x 或 练：练：解一元二次方程（1） 2 4120 xx（2） 2 260 xx（3） 2 4510 xx 解法三（公式法）对于一元二次方程 2 0 (0)axbxca， (1) 当 2 40bac时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2 4 2 bbac x a (2) 当 2 40bac时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2 2 b x a 【典例】【典例】解一元二次方程 2 20 xx 解：
41、由解：由 2 b490ac 所以原方程有两个不相等的实数根 所以 2 4 2 bbac x a 191 3 22 即12x 或 练：练：解一元二次方程（1） 2 4120 xx（2） 2 260 xx（3） 2 4510 xx 三、一元二次方程的根与系数的关系三、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 2 0 (0)axbxca的两个根为： 22 44 , 22 bbacbbac xx aa 所以： 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa ， 22222 12 22 44()(4)4 22(2 )4 bbacbbacbbacacc xx aaaaa 定理：如果一元二次方程
42、 2 0 (0)axbxca的两个根为 12 ,x x，那么： 1212 , bc xxx x aa 说明说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理 称为”韦达定理”上述定理成立的前提是0 【例【例 3】若 12 ,x x是方程 2 220070 xx的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12 xx；(2) 12 11 xx ；(3) 12 (5)(5)xx；(4) 12 |xx 分析：分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里， 可以利用韦达定理来解答 解：解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212 2,2007
43、xxx x (1) 2222 121212 ()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x (2) 12 1212 1122 20072007 xx xxx x (3) 121212 (5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx (4) 222 12121212 |()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x 说明：说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222 121212 ()2xxxxx x， 12 1212 11xx xxx x ， 22 121212 ()()4xxxxx x， 2 121212 |()4xxxxx x，
44、 22 12121212 ()x xx xx xxx， 333 12121212 ()3()xxxxx xxx等等韦达定理体现了整体思想 练：练：若 12 ,x x是方程 2 2530 xx的两个根，试求下列各式的值 （1） 12 xx（2） 12 x x(3) 22 12 xx； (3) 12 11 xx ；(4) 12 (5)(5)xx；(5) 12 |xx A组组 1一元二次方程 2 (1)210k xx 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是() A2k B2,1kk且C2k D2,1kk且 2若 12 ,x x是方程 2 2630 xx的两个根，则 12 11 xx 的值为() A2
45、B2C 1 2 D 9 2 3已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于x的方程 22 (21)30 xmxm的根，则m等于() A3B5C53或D53 或 4若t是一元二次方程 2 0 (0)axbxca的根，则判别式 2 4bac 和完全平方式 2 (2)Matb的关系是( ) AM BM CM D大小关系不能确定 练练习习 5若实数ab，且, a b满足 22 850,850aabb，则代数式 11 11 ba ab 的值为 () A20B2C220或D220或 6如果方程 2 ()()()0bc xca xab的两根相等，则, ,a b c
46、之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 2870 xx的两个根，则这个直角三角 形的斜边长是 _ 8若方程 2 2(1)30 xkxk的两根之差为 1，则k的值是 _ 9设 12 ,x x是方程 2 0 xpxq的两实根， 12 1,1xx是关于x的方程 2 0 xqxp的两 实根，则p= _ ，q= _ 10已知实数, ,a b c满足 2 6,9ab cab，则a= _ ，b= _ ，c= _ 11对于二次三项式 2 1036xx，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由 12若0n ，关于x的方程 2 1 (2
47、 )0 4 xmn xmn有两个相等的的正实数根，求 m n 的值 13已知关于x的一元二次方程 2 (41)210 xmxm (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为 12 ,x x，且满足 12 111 2xx ，求m的值 14已知关于x的方程 22 1 (1)10 4 xkxk 的两根是一个矩形两边的长 (1)k取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值 B组组 1已知关于x的方程 2 (1)(23)10kxkxk 有两个不相等的实数根 12 ,x x (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数k，使方程的两实
48、根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在， 请您说明理由 2已知关于x的方程 2 30 xxm的两个实数根的平方和等于 11求证：关于x的方程 22 (3)640kxkmxmm有实数根 3若 12 ,x x是关于x的方程 22 (21)10 xkxk 的两个实数根，且 12 ,x x都大于 1 (1) 求实数k的取值范围； (2) 若 1 2 1 2 x x ，求k的值 第三讲第三讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案一元二次方程根与系数的关系习题答案 A 组组 1 B2 A3A4A5A 62 ,acbbc且 7 38 9 或391,3pq 103,3,0abc11正确124 13 2
49、1 (1)1650 (2) 2 mm 14 3 (1) (2)2 2 kk B 组组 1 13 (1)1 12 kk且(2) 不存在 21m (1)当3k 时，方程为310 x ，有实根；(2) 当3k 时，0 也有实根 3(1) 3 1 4 kk且；(2)7k 第四讲第四讲 不不 等等 式式 初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法高中阶段将进一步学习一 元二次不等式和分式不等式等知识本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识 一、一元二次不等式及其解法一、一元二次不等式及其解法 1形如 2 0(0) (0)axbxca或其中的不等式称为关于x的一元二次不等式 【例【例
50、1】解不等式 2 60 xx 分析：分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 - 正正(负负)得正、正负得负”的原 则，将其转化为一元一次不等式组 解：解：原不等式可以化为：(3)(2)0 xx， 于是： 30 20 x x 或 30 20 x x 33 32 22 xx xx xx 或或 所以，原不等式的解是32xx 或 说明说明：当把一元二次不等式化为 2 0(0)axbxc或的形式后，只要左边可以分解为两 个一次因式，即可运用本题的解法 【例【例 2】解下列不等式： (1)(2)(3)6xx(2)(1)(2)(2)(21)xxxx 分析：分析：要先将不等式化为 2 0(0)axbxc
