1、高高一一数数学学试试卷卷第第1页页 （共共6页页） 莆田市 2020-2021 学年下学期期末质量监测 高一数学试卷 本本试试卷卷共共 6 6 页页，2 22 2 小小题题，满满分分 1 15 50 0 分分考考试试时时间间 1 12 20 0 分分钟钟 注注意意事事项项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题
2、5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若复数 5 12iz ，则z的虚部是 A2B2i C2D2i 2.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示. 射击次数501002004001000 射中 8 环以上的次数4478158320800 根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中 8 环以上的概率为 A.0.78B.0.79C.0.80D.0.82 3.若复数z满足i34iz ，则z A34iB43i C34iD43i 4.已知向量a，b不共线，且向量ab与12ab共线，则实数的值为 A2或1B2或1 C1或2D1或2 5.一个不透明的袋子中
3、装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采 用不放回的方式从中摸出 3 个球下列事件为不可能事件的是 A.3个都是白球B.3个都是红球C. 至少1个红球D. 至多2个白球 6.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若，m ，n，则mn B. 若mI，n，mn，则n C. 若，m ，n，则mn D. 若m，/mn，/n，则 高一数学高一数学试卷试卷第第 2 页页 （共（共 6 页）页） 7.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若3a ，13c , 2 3 C ， 则 sin sin A B A 3 4 B 4 3 C 1 3 D3 8
4、.古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内切球 的体积是圆柱体积的 2 3 ，且球的表面积也是圆柱表面积的 2 3 已知表面积为18的圆柱 的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为 A23 3：B23： C103：D4 23： 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛在歌唱比赛中，由 9 名专业人士和 9 名观 众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分根据两个评委小组（
5、记为小组 A，小组 B） 对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则 A小组 A 打分的分值的众数为47 B小组 B 打分的分值第80百分位数为69 C小组 A 更像是由专业人士组成 D 小组 B 打分的分值的均值小于小组 A 打分的分 值的均值 10.设A，B为两个随机事件，且 0P A ， 0P B ，则下列命题正确的是 A若 P ABP A P B ，则A，B相互独立 B若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 C若A和B互斥，则A和B一定相互独立 DP ABP ABAB 11.如图，在棱长为1的正方体 1111 ABCDABC D中，P是 11 B D上的动点，则 A直线DP与 1 BC
6、是异面直线 BCP平面 1 ABD C 1 APPB的最小值是2 D当P与 1 B重合时，三棱锥 1 PA BD的外接球半径为 3 2 高一数学高一数学试卷试卷第第 3 页页 （共（共 6 页）页） 12.点O，H分别为ABC的外心，垂心，点D，M在平面ABC内，则下列命题正确的 是 A 若2AO ABAC ， 且2BCAB ， 则向量BA 在向量BC 上的投影向量为 1 2 BO B若 () ABAC AD ABAC ，且(1)ADABAC ，则BD DC C若 23MAMBMC 0，则ABC的面积与AMB的面积之比为2:1 D若 23HAHBHC 0，则 10 cos 10 AHB 三、填
7、空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家为了掌握各类超市的营业 情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取小型超市 家 14.已知4件产品中恰有2件一等品，从中任取2件，恰有1件一等品的概率为 15.ABC中，1AB ，2AC ，60BAC ，点M ，N分别在AC，BC上，且 AMCM，2BNNC，AN，BM相交于点P，则cosMPN 16.如图，一块斜边长为40cm的直角三角尺，其中一个内角为60，把该角立在桌面上，使 得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为45，再绕其斜边旋转，
8、则直角顶点到 桌面距离的最大值为 cm 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 10 分） 已知向量a，b满足1a，2b， 221abab （1）求a与b的夹角； （2）求2ab的值 高一数学高一数学试卷试卷第第 4 页页 （共（共 6 页）页） 18.（本小题满分 12 分） 如图，平面ACEF平面ABC，AFAC，AFCE， 2 3 AFCE=，2BDBE （1）求证：DF平面ABC； （2）求证：DFCE 19.（本小题满分 12 分） 在mcoscosAB，n2bca，且mn， coscos2 3 cossinaAaBC
9、bAC， 22 (sinsin)sinsinsinABCBC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 并解答 问题：ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 （1）求A的值； （2）若2a ，求ABC周长的最大值 20.（本小题满分 12 分） 甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，且 各局比赛的胜负互不影响有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜 2 局者 获胜，比赛结束） ；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束） （1）若选择方案一，求甲获胜的概率； （2）用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，
10、则选择方案一， 否则选择方案二判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由 高一数学高一数学试卷试卷第第 5 页页 （共（共 6 页）页） 21.（本小题满分 12 分） 如图 1，RtABC中，90B ， 2 3AB ，2BC ，D，E分别是AB，AC的 中点把 ADE 沿DE折至PDE的位置，P平面BCED，连接PB，PC，F为 线段PB的中点，如图 2 （1）求证：DF平面PBC； （2）当三棱锥PBDE的体积为 1 2 时，求直线BD与PC所成角的正切值 高一数学高一数学试卷试卷第第 6 页页 （共（共 6 页）页） 22.（本小题满分 12 分） 为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防
11、和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展 防骗知识大宣传活动该市年龄100岁及以下的居民人口约为300万人，从0岁到100岁 的居民年龄频率分布直方图如图所示， 其分组区间为：0,20)，20,40)，40,60)，60,80)， 80,100 为了解防骗知识宣传的效果， 随机调查了 100 名该市年龄 100 岁及以下居民对 防骗知识的知晓情况，调查的知晓率（被调查的人群中，知晓的人数和总人数的比率） 如表所示 （1）根据频率分布直方图，估计该市年龄100岁及以下居民的平均年龄（同一组中的数据 用该组区间的中点值作代表） ； （2）利用样本估计总体的思想，估计该市年龄100岁及以下居民对防骗知
12、识的知晓率； （3）根据中国电信网络诈骗分析报告显示，老年人(年龄60岁及以上)为易受骗人群， 但调查中发现年龄在60,100的人群比年龄在0,60)的人群对防骗知识的知晓率高请从 统计学的角度分析调查结果与实际情况产生差异的原因（至少写出两点） 高一数学试题参考答案高一数学试题参考答案第第 1 页页 （共（共 7 页）页） 莆田市 2020-2021 学年下学期期末质量监测 高一数学试题参考解答及评分标准 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部
13、分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数单项选择题和单空填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 40 分 1A2C3B4B5A6D7D8B 二、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （本题为多项选择题，每小题中，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分） 9AC10AB11ABD12ACD 三、填空题：本题考查基础知识和基
14、本运算每小题 5 分，满分 20 分 137014 2 3 15 21 14 165 65 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17本小题主要考查平面向量的数量积、平面向量夹角与模的运算等基础知识；考查推理论 证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、 逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分 解： （1）由 221abab，得 22 2321aa bb 2 分 又1a ，2b ，所以2341a b，则1a b 3 分 所以 12 cos 22 a b a b 5 分 因为0,，所以 4 6 分 （
15、2）因为 222 244abaa bb8 分 1 485 ， 9 分 所以25ab 10 分 18 本小题主要考查直线与平面平行和垂直的判定与性质、 平面与平面平行和垂直的判定与 性质等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力等；考查化归与转化思想等；考查 直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 解：证法一：证法一： 高一数学试题参考答案高一数学试题参考答案第第 2 页页 （共（共 7 页）页） （1）在BC上取点P，使2BPPC，连接DP，AP1 分 因为2=BDDE，所以DPCE， 2 3 =DPCE2 分 又因为AFCE， 2 3 =AFCE， 所以AFDP，AF
16、DP 3 分 所以四边形AFDP为平行四边形 所以DFAP4 分 又AP平面ABC，DF平面ABC， 所以DF平面ABC6 分 （2）因为平面ACEF 平面ABC,AFAC,平面ACEF 平面ABC=AC, 所以AF 平面ABC8 分 又AP平面ABC，所以AFAP10 分 由（1）知DFAP，CEAF11 分 所以DFCE12 分 证法二：证法二： （1）在CE上取点Q，使2CQQE， 连接DQ，FQ，则AFCQ1 分 又AFCQ，所以四边形AFQC为平行四边形 所以FQAC2 分 因为FQ 平面ABC， AC 平面ABC， 所以FQ平面ABC 3 分 因为2BDDE，2CQQE，所以DQB
17、C. 同理，DQ平面ABC4 分 又FQ，DQ平面DFQ，FQDQQ， 所以平面DFQ平面ABC5 分 因为DF平面DFQ，所以DF平面ABC6 分 （2）因为平面ACEF 平面ABC,AFAC,且平面ACEF 平面ABC=AC, 高一数学试题参考答案高一数学试题参考答案第第 3 页页 （共（共 7 页）页） 所以AF 平面ABC8 分 因为AC，BC平面ABC，所以AFAC，AFBC9 分 由（1）知AFCE，FQAC，DQBC， 所以CEFQ，CEDQ 10 分 又FQDQQ，FQ，DQ平面DFQ， 所以CE平面DFQ11 分 因为DF平面DFQ，所以CEDF12 分 19本小题主要考查正
18、弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识； 考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查 数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 解： （1）解法一：解法一：选mcoscos，AB，n2，bca，且mn， 由mn得2coscos0bcAaB1 分 由正弦定理得sin2sincossincos0BCAAB， 2 分 即sincoscossin2cossin0ABABAC 所以sin2cossin0ABAC3 分 又ABC，所以sinsinABC 所以sin2cossin0CAC显然sin0C，所以 1 cos 2 A 5 分
19、 因为0 A，所以 3 A6 分 解法二：解法二：选coscos2 3 cossinaAaBCbAC， 因为ABC，所以coscos ABC1 分 则coscos2 3 cossinaBCaBCbAC 由正弦定理得sincossincos2 3cossinsinABCABCABC 2 分 即sincoscossinsincoscossinsinABCBCBCBC 2 3cossinsinABC， 高一数学试题参考答案高一数学试题参考答案第第 4 页页 （共（共 7 页）页） 所以2sin sinsin2 3cossinsinABCABC.4 分 显然sinsin0BC，所以sin 3cosAA
20、，则tan3A . 5 分 因为0 A，所以 3 A6 分 解法三：解法三：选 22 (sinsin)sinsinsinBCBAC， 由已知得 222 sin2sinsinsinsinsinsinBBCCABC， 即 222 sinsinsinsinsinBCABC2 分 由正弦定理得 222 bcabc3 分 由余弦定理得 222 1 cos 222 bcabc A bcbc 5 分 因为0 A，所以 3 A6 分 （2）解法一：解法一：由余弦定理得 222 2cosabcbcA 7 分 所以 22 42cos 3 bcbc，即 22 4 bcbc，则 2 43bcbc8 分 显然0b，0c
21、，因为 2 2 bc bc，9 分 所以 2 2 22 433 24 bcbc bcbcbc 10 分 则 2 16bc，4 bc，当且仅当2bc时等号成立11 分 所以6 abc，即ABC周长的最大值为 612 分 解法二：解法二：由正弦定理得 sinsinsin abc ABC 7 分 因为2a， 3 A，所以 24 3 sinsin3 sin 3 bc BC 则 4 3 sin 3 bB， 4 3 sin 3 cC 8 分 又 2 sinsin 3 CB， 高一数学试题参考答案高一数学试题参考答案第第 5 页页 （共（共 7 页）页） 所以ABC周长 4 34 32 sinsin2 33
22、3 abcBB 9 分 4 34 331 sincossin22 3sin2cos2 3322 BBBBB 31 4sincos24sin2 226 BBB10 分 因为 2 0 3 B，所以 5 666 B， 所以 sin1 6 B，当且仅当 62 =B，即 3 =B时等号成立11 分 则6 abc，即ABC周长的最大值为 612 分 20本小题主要考查独立事件、互斥事件的概率、古典概型等基础知识；考查运算求解能 力、推理论证能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想、化归与转化思想等；考 查数学运算、逻辑推理、数学建模、数学抽象等核心素养，体现基础性、应用性满分 12 分 解： （1）记“
23、选择方案一，甲获胜” 为事件A，“第i局甲获胜”为事件 i A（1,2,3i） ， 则 1 A， 2 A， 3 A两两相互独立，且 12123123 AA AA A AA A A2 分 因为 12 A A， 123 A A A， 123 A A A为互斥事件， 所以 12123123 A AA AP APAPAPAA3 分 12123123 PA P AA P AAAPPPPPAA4 分 2 221212220 333333327 所以选择方案一，甲获胜的概率为 20 27 6 分 （2）记硬币正面朝上为 1，反面朝上为 0 掷 3 枚硬币，样本空间为 123 ,|0,1;1,2,3 i x
24、x xxi， 包含 8 个等可能的样本点8 分 记“掷 3 枚硬币，恰有 2 枚正面朝上”为事件B 则 1,1,0 , 1,0,1 , 0,1,1B，10 分 所以 31 82 P B11 分 高一数学试题参考答案高一数学试题参考答案第第 6 页页 （共（共 7 页）页） 因此方案二被选择的可能性更大12 分 21本小题主要考查直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质、异面直线所成的角、三 棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查函 数与方程思想、化归与转化思想等；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养， 体现基础性、综合性满分 12 分 解： （1）证明：
25、RtABC中，ADDB，所以PDDB 又F为线段PB的中点，所以DFPB 1 分 在RtABC中，D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC 因为 90 B ，所以DEAB 则DEPD，DEDB 又PD，DB平面PDB，PDDBD， 所以DE平面PDB 2 分 因为DF平面PDB，所以DEDF 3 分 因为DEBC，所以DFBC4 分 因为PB，BC平面PBC，PBBCB， 所以DF 平面PBC5 分 （2）因为 P BDEE PBD VV，6 分 又DE平面PDB， 1 1 2 DEBC， 又 111 sin 332 E PBD PDB VSDEPDDBPDBDE 11 33 1 sinsi
26、n 62 PDBPDB，7 分 所以 11 sin 22 PDB，即sin1PDB 所以90 PDB ，即BDPD 8 分 又BDDE，PD，DE平面PDE，PDDED， 所以BD平面PDE 延长DE到G，使得DGBC， 因为DGBC，所以四边形BDGC为平行四边形 所以BDCG 9 分 则PCG为直线BD与PC所成角或其补角10 分 因为BD平面PDE，又PG平面PDE， 所以BDPG，则CGPG11 分 在RtPDG中， 3PD ，2DGBC，所以 7PG 高一数学试题参考答案高一数学试题参考答案第第 7 页页 （共（共 7 页）页） 在RtPGC中， 3CGBD ，所以 721 tan
27、33 PG PCG CG 即直线BD与PC所成角的正切值为 21 3 12 分 22本小题主要考查频率分布直方图、平均数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证 能力、应用意识、创新意识等；考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数据分 析、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性满分 12 分 解： （1）由频率分布直方图得20 (0.01 0.0130.0070.002)1a， 即0.018a.2 分 所以10 0.230 0.2650 0.3670 0.1490 0.04 27.8 189.83.641.2 故估计该市年龄 100 岁及以下居民的平均年龄为41.2岁4 分 （2）依
28、题意可得，该市各年龄分组区间居民知晓防骗知识的人数如表所示 年龄分组区间知晓人数（万人） 0,20)300 0.2 0.3420.4 20,40)300 0.26 0.4535.1 40,60)300 0.36 0.5458.32 60,80)300 0.14 0.6527.3 80,100300 0.04 0.748.88 9 分 （各年龄分组区间居民知晓防骗知识的人数每计算正确 1 个得 1 分，共 5 分.） 所以估计该市年龄 100 岁及以下居民对防骗知识的知晓率为 20.435.1 58.3227.38.88150 100%100%50% 300300 10 分 （3）本题结论开放，只要考生能从统计学的角度做出合理的分析即可 如：一次调查未必能客观反映总体； 样本容量过小也可能影响估计的准确性； 调查的样本不一定具代表性，也会对估计产生影响； 对于敏感性问题，被调查者不一定会提供真实信息等等. 12 分
