1、第 1页（共 12页） 2021 年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题共（本大题共 1212 题，满分题，满分 5454 分，第分，第 1 16 6 题每题题每题 4 4 分，第分，第 7 71212 题每题题每题 5 5 分）分） 1已知等差数列 n a的首项为 3，公差为 2，则 10 a 2已知13zi ，则|zi 3已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为 4不等式 25 1 2 x x 的解集为 5直线2x 与直线310 xy 的夹角为 6若方程组 111 222 a xb yc a xb yc 无解，则 11 22 ab ab 7已知(1)nx的展开式中，唯有
2、3 x的系数最大，则(1)nx的系数和为 8已知函数( )3(0) 31 x x a f xa 的最小值为 5，则a 9在无穷等比数列 n a中， 1 lim()4 n n aa ，则 2 a的取值范围是 10某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有 几种运动方式组合. A运动B运动C运动D运动E运动 7 点8点8 点9点9 点10点10 点11点11 点12点 30 分钟20 分钟40 分钟30 分钟30 分钟 11已知椭圆 2 2 2 1(01) y xb b 的左、右焦点为 1 F、 2 F，以O为顶点， 2 F为焦点作抛物 线交椭圆于P，且 12
3、 45PF F，则抛物线的准线方程是 12已知0，存在实数，使得对任意*nN， 3 cos() 2 n，则的最小值是 二、选择题（本大题共（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分) ) 13下列函数中，在定义域内存在反函数的是() A 2 ( )f xxB( )sinf xxC( )2xf x D( )1f x 14已知集合 |1Ax x ，xR， 2 |2 0Bx xx ，xR，则下列关系中，正确 的是() AABB RR AB痧CAB DABR 15已知函数( )yf x的定义域为R，下列是( )f x无最大值的充分条件是() A( )f x为偶函数且关于
4、点(1,1)对称 B( )f x为偶函数且关于直线1x 对称 C( )f x为奇函数且关于点(1,1)对称 D( )f x为奇函数且关于直线1x 对称 16 在ABC中，D为BC中点，E为AD中点， 则以下结论： 存在ABC， 使得0AB CE ； 存在三角形ABC，使得/ /()CECBCA ；它们的成立情况是() A成立，成立B成立，不成立 C不成立，成立D不成立，不成立 第 2页（共 12页） 三、解答题（本大题共（本大题共 5 5 题，共题，共 14+14+14+16+1814+14+14+16+187676 分）分） 17 （14 分）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为
5、4，E为AB中点，PE 平 面ABCD （1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的大小 18（14 分） 已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a ， 1 cos 4 C （1）若sin2sinAB，求b、c； （2）若 4 cos() 45 A ，求c 19 （14 分） （1）团队在O点西侧、东侧 20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一 点P满足| 20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧 为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北
6、偏东60处，求双曲线标 准方程和P点坐标 （2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有C、D两站点，测量距离发现| 30QAQB千 米，| 10QCQD千米，求|OQ（精确到 1 米）和Q点位置（精确到 1 米，1 ) 20 （16 分）已知函数( )|f xxaax （1）若1a ，求函数的定义域； （2）若0a ，若()f axa有 2 个不同实数根，求a的取值范围； （3）是否存在实数a，使得函数( )f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围 21（18 分） 已知数列 n a满足0 n a ， 对任意2n， n a和 1n a 中存在一项使其为另一项与 1n a 的等差中项
7、（1）已知 1 5a ， 2 3a ， 4 2a ，求 3 a的所有可能取值； （2）已知 147 0aaa， 2 a、 5 a、 8 a为正数，求证： 2 a、 5 a、 8 a成等比数列，并求出公 比q； （3）已知数列中恰有 3 项为 0，即0 rst aaa，2rst，且 1 1a ， 2 2a ，求 111rst aaa 的最大值 第 3页（共 12页） 2021 年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 1已知等差数列 n a的首项为 3，公差为 2，则 10 a21 【思路
8、分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解 【解析】 ：因为等差数列 n a的首项为 3，公差为 2， 则 101 939221aad故答案为：21 【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题 2已知13zi ，则|zi5 【思路分析】由已知求得zi，再由复数模的计算公式求解 【解析】 ：13zi ，1312ziiii ， 则 22 | |12 |125zii故答案为：5 【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础 题 3已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为4 【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可 【解析】 ：圆柱的底
9、面半径为1r ，高为2h ， 所以圆柱的侧面积为221 24Srh 侧 故答案为：4 【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题 4不等式 25 1 2 x x 的解集为( 7,2) 【思路分析】由已知进行转化 7 0 2 x x ，进行可求 【解析】 ： 25257 1100 222 xxx xxx ，解得，72x 故答案为：( 7,2) 【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题 5直线2x 与直线310 xy 的夹角为 6 【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角 【解析】 ：直线2x 的斜率不存在，倾斜角为 2 ， 直线310 x
10、y 的斜率为3，倾斜角为 3 ， 故直线2x 与直线310 xy 的夹角为 236 故答案为： 6 【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题 6若方程组 111 222 a xb yc a xb yc 无解，则 11 22 ab ab 0 【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案 第 4页（共 12页） 【解析】 ：对于方程组 111 222 a xb yc a xb yc ，有 111111 222222 , xy abcbac DDD abcbac ， 当0D 时，方程组的解为 x y D x D D y D ， 根据题意，方程组 1
11、11 222 a xb yc a xb yc 无解， 所以0D ，即 11 22 0 ab D ab ，故答案为：0 【归纳总结】 本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法， 这种方法可以使得方程组的 解与对应系数之间的关系表示的更为清晰， 解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解行列 式表示法中对应的公式 7已知(1)nx的展开式中，唯有 3 x的系数最大，则(1)nx的系数和为64 【思路分析】由已知可得6n ，令1x ，即可求得系数和 【解析】 ：由题意， 32 nn CC，且 34 nn CC， 所以6n ，所以令1x ， 6 (1) x的系数和为 6 264故答案为：64 【归纳总结
12、】本题主要考查二项式定理考查二项式系数的性质，属于基础题 8已知函数( )3(0) 31 x x a f xa 的最小值为 5，则a 9 【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等” ，该题只需将函数解 析式变形成( )311 31 x x a f x ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件 【解析】 ：( )3311 215 3131 xx xx aa f xa ， 所以9a ，经检验，32 x 时等号成立故答案为：9 【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积为 定值，属于基础题 9在无穷等比数列 n a中， 1 lim()4
13、 n n aa ，则 2 a的取值范围是( 4，0)(0，4) 【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比q的取值范围，再由极限的运算知 1 4a ，从 而得解 【解析】 ：无穷等比数列 n a，公比( 1q ，0)(0，1)， lim0 n n a ， 11 lim()4 n n aaa ， 21 4( 4aa qq ，0)(0，4) 故答案为：( 4，0)(0，4) 【归纳总结】 本题考查无穷等比数列的概念与性质， 极限的运算， 考查学生的运算求解能力， 属于基础题 10某人某天需要运动总时长大于等于 60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问有 几种运动方式组合23 种. A运动B运动
14、C运动D运动E运动 7 点8点8 点9点9 点10点10 点11点11 点12点 第 5页（共 12页） 30 分钟20 分钟40 分钟30 分钟30 分钟 【思路分析】由题意知至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，AB、DB、EB的 组合不符合题意，由此求出结果 【解析】 ：由题意知，至少要选 2 种运动，并且选 2 种运动的情况中，AB、DB、EB的组 合不符合题意； 所以满足条件的运动组合方式为： 2345 5555 310105 1 323CCCC （种) 故答案为：23 种 【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是基 础题 11已知椭
15、圆 2 2 2 1(01) y xb b 的左、右焦点为 1 F、 2 F，以O为顶点， 2 F为焦点作抛物 线交椭圆于P，且 12 45PF F，则抛物线的准线方程是12x 【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 1 PF的方程并 与抛物线联立，求出点P的坐标，由此可得 212 PFF F，进而可以求出 1 PF， 2 PF的长度， 再由椭圆的定义即可求解 【解析】 ：设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c，则抛物线 2 4ycx， 直线 1: PFyxc，联立方程组 2 4ycx yxc ，解得xc，2yc， 所以点P的坐标为( ,2 )cc，所以 21
16、2 PFF F，又 2211 2 ,2 2PFF FcPFc所以 所以 1 2 2PFc，所以 12 (22 2)22PFPFca， 则21c ， 所以抛物线的准线方程为：12xc ， 故答案为：12x 【归纳总结】 本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质， 考查了学生的运算推理能力， 属于中档题 12已知0，存在实数，使得对任意*nN， 3 cos() 2 n，则的最小值是 2 5 【思路分析】在单位圆中分析可得 3 ，由 2 *N ，即 2 k ，*kN，即可求得的 最小值 【解析】 ：在单位圆中分析，由题意可得n的终边要落在图中阴影部分区域（其中 ) 6 AOxBOx ， 所以 3
17、AOB ， 因为对任意*nN都成立， 所以 2 *N ，即 2 k ，*kN， 第 6页（共 12页） 同时 3 ，所以的最小值为 2 5 故答案为： 2 5 【归纳总结】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分) 13下列函数中，在定义域内存在反函数的是() A 2 ( )f xxB( )sinf xxC( )2xf x D( )1f x 【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确 【解析】 ：选项A：因为函数是二次函数，属于二对一的映射， 根据函数的定义可得函数不存在反函数，A错误， 选项B：因为函
18、数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射， 根据函数的定义可得函数不存在反函数，B错误， 选项C：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数，C正确， 选项D：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数，D错误， 故选：C 【归纳总结】 本题考查了函数的定义以及映射的定义， 考查了学生对函数以及映射概念的理 解，属于基础题 14已知集合 |1Ax x ，xR， 2 |2 0Bx xx ，xR，则下列关系中，正确 的是() AABB RR AB痧CAB DABR 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可 【解析】 ：已知集合 |1Ax x ，x
19、R， 2 |2 0Bx xx ，xR， 解得 |2Bx x或1x，xR， |1 RA x x，xR， | 12 RB xx ； 则ABR ， |2ABx x ， 第 7页（共 12页） 故选：D 【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础 15已知函数( )yf x的定义域为R，下列是( )f x无最大值的充分条件是() A( )f x为偶函数且关于点(1,1)对称 B( )f x为偶函数且关于直线1x 对称 C( )f x为奇函数且关于点(1,1)对称 D( )f x为奇函数且关于直线1x 对称 【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于ABD，举出反例可得三个选项错误，对于C， 利用反
20、证法可得其正确 【解析】 ：根据题意，依次判断选项： 对于A，( )cos1 2 x f x ，( )f x为偶函数，且关于点(1,1)对称，存在最大值，A错误， 对于B，( )cos()f xx，( )f x为偶函数且关于直线1x 对称，存在最大值，B错误， 对于C，假设( )f x有最大值，设其最大值为M，其最高点的坐标为( ,)a M， ( )f x为奇函数，其图象关于原点对称，则( )f x的图象存在最低点(,)aM， 又由( )f x的图象关于点(1,1)对称，则(,)aM关于点(1,1)对称的点为(2,2)aM， 与最大值为M相矛盾，则此时( )f x无最大值，C正确， 对于D，(
21、 )sin 2 x f x ，( )f x为奇函数且关于直线1x 对称，D错误， 故选：C 【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 16 在ABC中，D为BC中点，E为AD中点， 则以下结论： 存在ABC， 使得0AB CE ； 存在三角形ABC，使得/ /()CECBCA ；它们的成立情况是() A成立，成立B成立，不成立 C不成立，成立D不成立，不成立 【思路分析】设(2 ,2 )Axy，( 1,0)B ，(1,0)C，(0,0)D，( , )E x y，由向量数量的坐标运算即 可判断；F为AB中点，可得()2CBCACF ，由D为BC中点，可得CF与
22、AD的交点 即为重心G，从而可判断 【解析】 ：不妨设(2 ,2 )Axy，( 1,0)B ，(1,0)C，(0,0)D，( , )E x y， ( 12 , 2 )ABxy ，(1, )CExy ， 若0AB CE ，则 2 (12 )(1)20 x xy，即 2 (12 )(1)2x xy， 满足条件的( , )x y存在，例如 2 (0,) 2 ，满足上式，所以成立； F为AB中点，()2CBCACF ，CF与AD的交点即为重心G， 因为G为AD的三等分点，E为AD中点， 所以CE 与CG 不共线，即不成立 故选：B 第 8页（共 12页） 【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，
23、共线向量的判断，属于中档题 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分） 17 （14 分）四棱锥PABCD，底面为正方形ABCD，边长为 4，E为AB中点，PE 平 面ABCD （1）若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的大小 【思路分析】 （1）由 1 3 ABCD VPE S 正方形 ，代入相应数据，进行运算，即可； （2）由PE 平面ABCD，知45PFE，进而有4PEFE，2 5PB ，由/ /ADBC， 知PCB或其补角即为所求，可证BC 平面PAB，从而有BCPB，
24、最后在Rt PBC中， 由tan PB PCB BC ，得解 【解析】 ： （1）PAB为等边三角形，且E为AB中点，4AB ， 2 3PE， 又PE 平面ABCD， 四棱锥PABCD的体积 2 32 311 2 34 333 ABCD VPE S 正方形 （2）PE 平面ABCD， PFE为PF与平面ABCD所成角为45，即45PFE， PEF为等腰直角三角形， E，F分别为AB，CD的中点， 4PEFE， 22 2 5PBPEBE， / /ADBC， 第 9页（共 12页） PCB或其补角即为PC与AD所成角， PE 平面ABCD，PEBC， 又BCAB，PEABE ，PE、AB 平面PA
25、B， BC平面PAB，BCPB， 在Rt PBC中， 2 55 tan 42 PB PCB BC ， 故PC与AD所成角的大小为 5 arctan 2 【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义，以 及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键， 考查学生的空间立体感、 逻辑推理能力和 运算能力，属于基础题 18（14 分） 已知A、B、C为ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，2a ， 1 cos 4 C （1）若sin2sinAB，求b、c； （2）若 4 cos() 45 A ，求c 【思路分析】 （1）由已知利用正弦定理即可求解b的值；利用余弦定理即可
26、求解c的值 （2） 根据已知利用两角差的余弦公式， 同角三角函数基本关系式可求得cos A，sin A，sinC 的值，进而根据正弦定理可得c的值 【解析】 ： （1）因为sin2sinAB，可得2ab， 又2a ，可得1b ， 由于 222222 211 cos 222 14 abcc C ab ，可得6c （2）因为 24 cos()(cossin) 425 AAA ， 可得 4 2 cossin 5 AA， 又 22 cossin1AA， 可解得 7 2 cos 10 A ， 2 sin 10 A ，或 7 2 sin 10 A ， 2 cos 10 A ， 因为 1 cos 4 C ，
27、可得 15 sin 4 C ，tan15C ， 若 7 2 sin 10 A ， 2 cos 10 A ，可得tan7A ，可得 tantan715 tantan()0 tantan17(15)1 AC BAC AC ， 可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去， 所以 2 sin 10 A ，由正弦定理 2 sinsin c AC ，可得 5 30 2 c 【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本 关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19 （14 分） （1）团队在O点西侧、东侧 20 千米处设有A、B两站点，测量距离发现一 第
28、 10页（共 12页） 点P满足| 20PAPB千米，可知P在A、B为焦点的双曲线上，以O点为原点，东侧 为x轴正半轴，北侧为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，P在北偏东60处，求双曲线标 准方程和P点坐标 （2）团队又在南侧、北侧 15 千米处设有C、D两站点，测量距离发现| 30QAQB千 米，| 10QCQD千米，求|OQ（精确到 1 米）和Q点位置（精确到 1 米，1 ) 【思路分析】 （1）求出a，c，b的值即可求得双曲线方程，求出直线OP的方程，与双曲 线方程联立，即可求得P点坐标； （2）分别求出以A、B为焦点，以C，D为焦点的双曲线方程，联立即可求得点Q的坐标， 从而求得|OQ，
29、及Q点位置 【解析】 ： （1）由题意可得10a ，20c ，所以 2 300b ， 所以双曲线的标准方程为 22 1 100300 xy ， 直线 3 : 3 OP yx，联立双曲线方程，可得 15 2 2 x ， 5 6 2 y ， 即点P的坐标为 15 2 ( 2 ， 5 6 ) 2 （2）| 30QAQB，则15a ，20c ，所以 2 175b ， 双曲线方程为 22 1 225175 xy ； | 10QCQD，则5a ，15c ，所以 2 200b ， 所以双曲线方程为 22 1 25200 yx ， 两双曲线方程联立，得 14400 ( 47 Q， 2975 ) 47 ， 所以
30、| 19OQ 米，Q点位置北偏东66 【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题 20 （16 分）已知函数( )|f xxaax （1）若1a ，求函数的定义域； （2）若0a ，若()f axa有 2 个不同实数根，求a的取值范围； （3）是否存在实数a，使得函数( )f x在定义域内具有单调性？若存在，求出a的取值范围 【思路分析】 （1）把1a 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的 不等式得答案； （2）()|f axaaxaaaxa，设0axat ，得 2 att ，0t，求得等式右边 关于t的函数的值域可得a的取值范围； （3）分xa与xa
31、 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数( )f x在定义域内具 有单调性的a的范围 【解析】 ： （1）当1a 时，( )|1| 1f xxx ， 由|1| 1 0 x ，得|1| 1x ，解得2x或0 x 函数的定义域为(，20 ，)； （2）()|f axaxaaax， 第 11页（共 12页） ()|f axaaxaaaxa， 设0axat ，tat有两个不同实数根，整理得 2 att ，0t， 2 11 () 24 at ，0t，当且仅当 1 0 4 a 时，方程有 2 个不同实数根， 又0a ，a的取值范围是 1 (0, ) 4 ； （3）当xa时， 2 11 ( )|() 2
32、4 f xxaaxxxx ，在 1 4 ，)上单调递 减， 此时需要满足 1 4 a ，即 1 4 a，函数( )f x在 a，)上递减； 当xa 时，( )|2f xxaaxxax ，在(，2 a上递减， 1 0 4 a ，20aa ，即当 1 4 a时，函数( )f x在(,)a 上递减 综上，当(a ， 1 4 时，函数( )f x在定义域R上连续，且单调递减 【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调性 的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题 21（18 分） 已知数列 n a满足0 n a ， 对任意2n， n a和 1n a 中存
33、在一项使其为另一项与 1n a 的等差中项 （1）已知 1 5a ， 2 3a ， 4 2a ，求 3 a的所有可能取值； （2）已知 147 0aaa， 2 a、 5 a、 8 a为正数，求证： 2 a、 5 a、 8 a成等比数列，并求出公 比q； （3）已知数列中恰有 3 项为 0，即0 rst aaa，2rst，且 1 1a ， 2 2a ，求 111rst aaa 的最大值 【思路分析】 （1）根据 n a和 1n a 中存在一项使其为另一项与 1n a 的等差中项建立等式，然后 将 1 a， 2 a， 4 a的值代入即可； （2）根据递推关系求出 5 a、 8 a，然后根据等比数列
34、的定义进行判定即可； （3）分别求出 1r a ， 1s a ， 1t a 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求 【解析】 ： （1）由题意， 11 2 nnn aaa 或 11 2 nnn aaa ， 231 2aaa解得 3 1a ， 321 2aaa解得 3 4a ，经检验， 3 1a ， （2）证明： 147 0aaa， 32 2aa，或 2 3 2 a a ，经检验， 2 3 2 a a ； 32 5 24 aa a ，或 2 51 2 a aa （舍)， 2 5 4 a a ； 52 6 28 aa a ，或 2 65 4 a aa （舍)， 2 6 8 a a ；
35、62 8 216 aa a ，或 2 86 8 a aa （舍)， 2 8 16 a a ； 综上， 2 a、 5 a、 8 a成等比数列，公比为 1 4 ； （3）由 11 2 nnn aaa 或 11 2 nnn aaa ，可知 21 1 1 nn nn aa aa 或 21 1 1 2 nn nn aa aa ， 第 12页（共 12页） 由第（2）问可知，0 r a ，则 21 2 rr aa ，即 121rrr aaa ， 0 r a，则 3 111221 111111 ()() 1()() ,* 222222 irii rrrr aaaaaaiN ， 1 1 () 4 rmax a ， 同理， 2* 11 11111 ()1()(), 22224 jsrjj srr aaajN ， 1 1 () 16 smax a ，同理， 1 1 () 64 tmax a ， 111rst aaa 的最大值 21 64 【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同时 考查了学生计算能力，属于难题
