1、2021 年四川省眉山、广安、遂宁、资阳、雅安、乐山、内江、年四川省眉山、广安、遂宁、资阳、雅安、乐山、内江、 自贡、广元九市高考数学二诊联考试卷（文科）自贡、广元九市高考数学二诊联考试卷（文科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Ax|（x+4）（x1）0，Bx|x|2，则 AB（） Ax|2x2Bx|2x1Cx|2x4Dx|4x2 2复数（1+2i）（23i）的共轭复数是（） A8+iB8iC4+iD8+i 3若 cos，为锐角，则 cos（）（） ABCD 4 记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 若 a218， S580， 则数列an的通项公式 an （
2、） A2n+22B222nC20nDn（21n） 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设 M 为线段 BC 的中点，则下列说法正确的是（） AA1MBDBA1M平面 CC1D1D CA1MAB1DA1M平面 ABC1D1 6执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值为（） A3B4C5D6 7已知过点（0，2）的直线 l 与圆心为 C 的圆（x2）2+（y1）210 相交于 A，B 两点， 若 CACB，则直线 l 的方程为（） A2xy+20B2xy+20 或 2x+y20 Cx0Dx0 或 2x+y20 8函数 f（x）e|x|ln|x|2 的大致图象为（） AB CD 9现从甲、乙等
3、6 人中随机抽取 2 人到幸福社区参加义务劳动，则甲、乙仅有 1 人被抽到 的概率为（） ABCD 10若过抛物线 C：y24x 的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A，B 两点，则线段 AB 的长 为（） A3B4C5D6 11已知 F1，F2是双曲线 C：1（a0，b0）的左，右焦点，过点 F1且倾斜 角为 30的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A，B若|AF2|BF2|，则双曲线 C 的离心率为（） AB C2D 12若 ex（a1）x+lnax（a0，x0），则 a 的最大值为（） ABCeD2e 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分
4、，共 20 分。分。 13已知向量 （t，2）， （2，1），且（ ） ，则 t 14记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和，若 a1+a296，a316，则 S4的值为 15函数 f（x）A（sinx+cosx）+b（A0，0）的最大值为 3，最小值为1，图象 的相邻两条对称轴之间的距离为 2则 b， 16设球的半径为，该球的内接圆锥（顶点在球面上，底面为某平面与球的截面）的体积 为 V，则 V 的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作
5、答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生依据要求作答考生依据要求作答。（一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务， 现统计了前 8 天， 每天 （用 t1， 2， ， 8 表示）的接种人数 y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图： （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，求 y 关于 t 的回归方程（系 数精确到 0.01）； （2）根据该模型，求第 10 天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破 2500 人 参考数据： 12.25，（ti ）242，（yi ）（ti ）7
6、0 参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），（tn，yn），回归方程 + t 中 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 18在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 2bc2acosC （1）求 A； （2）若ABC 的面积 SABC4，求 a 的取值范围 19在如图所示的多面体中，ABCD 是正方形，A，D，E，F 四点共面，AF面 CDE （1）求证：BF面 CDE； （2）若 ADDE3，AF1，EF，求证：AD平面 CDE 20设函数 f（x）exaxb+1（a，bR） （1）若 b1，f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （2）若 f（x）0，
7、求 a+b 的最大值 21如图，已知椭圆 C：+y21（a1）的左焦点为 F，直线 ykx（k0）与椭圆 C 交 于 A，B 两点，且0 时，k （1）求 a 的值； （2）设线段 AF，BF 的延长线分别交椭圆 C 于 D，E 两点，当 k 变化时，直线 DE 与直 线 AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，请求出值；若不是定值说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题记分。一题记分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 x
8、Oy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为sin2 4cos0 （1）求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； （2）设直线 l：（t 为参数）与曲线 C2，C1的交点从上到下依次为 P，M， N，Q，求|PM|+|NQ|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+2|xt| （1）当 t1 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若对于任意实数 x，不等式 f（x）t2+2t 恒成立，求实数 t 的取值范围 参考答案参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12
9、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是合题目要求的。一项是合题目要求的。 1已知集合 Ax|（x+4）（x1）0，Bx|x|2，则 AB（） Ax|2x2Bx|2x1Cx|2x4Dx|4x2 解：Ax|（x+4）（x1）0 x|4x1， Bx|x|2x|2x2， ABx|4x2， 故选：D 2复数（1+2i）（23i）的共轭复数是（） A8+iB8iC4+iD8+i 解：（1+2i）（23i）12+1（3i）+2i26i22+6+i8+i， 则复数（1+2i）（23i）的共轭复数是 8i， 故选：B 3若
10、 cos，为锐角，则 cos（）（） ABCD 解：因为 cos，为锐角， 所以 sin， 则 cos（） 故选：A 4 记 Sn为等差数列an的前 n 项和， 若 a218， S580， 则数列an的通项公式 an （） A2n+22B222nC20nDn（21n） 解：因为等差数列an中 a218，S580， 所以， 解得 a120，d2， 则数列an的通项公式 an202（n1）2n+22 故选：B 5在正方体 ABCDA1B1C1D1中，设 M 为线段 BC 的中点，则下列说法正确的是（） AA1MBDBA1M平面 CC1D1D CA1MAB1DA1M平面 ABC1D1 解：若 A1M
11、BD，由 A1A平面 ABCD，AM 为 A1M 在底面 ABCD 上的射影， 由三垂线定理的逆定理可得 BDAM，但 BDAC，显然矛盾，故 A 错误； 若 A1M平面 CC1D1D，又 A1M平面 A1D1CB，且平面 C1D1DC平面 BCD1A1D1C， 所以 D1CA1M，但 D1CA1B，显然矛盾，故 B 错误； 连接 A1B，由 A1BAB1，A1B 为 A1M 在平面 A1B1BA 上的射影，可得 A1MAB1，故 C 正 确； 若 A1M平面 ABC1D1，则 A1MAB，又 A1A平面 ABCD，AM 为 A1M 在底面 ABCD 的 射影，可得 AMAB，显然不成立， 故
12、 D 错误 故选：C 6执行如图所示的程序框图，则输出 k 的值为（） A3B4C5D6 解：模拟程序的运行，可得： k2，T1， T1log23， 不满足条件 T2，执行循环体，k3，T1log23log342， 不满足条件 T2，执行循环体，k4，T1log23log34log452， 此时，满足条件 T2，退出循环，输出 k 的值为 4 故选：B 7已知过点（0，2）的直线 l 与圆心为 C 的圆（x2）2+（y1）210 相交于 A，B 两点， 若 CACB，则直线 l 的方程为（） A2xy+20B2xy+20 或 2x+y20 Cx0Dx0 或 2x+y20 解：圆 C：（x2）2
13、+（y1）210 的半径为， 又 CACB，圆心 C 到 AB 的距离 d， 当直线斜率不存在时，不合题意； 故直线斜率存在，设直线方程为 ykx+2，即 kxy+20 C（2，1）到直线 kxy+20 的距离 d， 解得 k2 直线 l 的方程为 y2x+2，即 2xy+20， 故选：A 8函数 f（x）e|x|ln|x|2 的大致图象为（） AB CD 解：函数 f（x）的定义域为（，0）（0，+）， 函数 f（x）e| x|ln|x|2e|x|ln|x|2f（x）， 则函数 f（x）为偶函数，故排除 A； 当 x0 时，f（x）exlnx2，则 f（x）ex， 易知 f（x）ex在（0，
14、+）为增函数， f（1）e10，f（）20， f（1）f（）0， 存在 x0（，1），使得 f（x0）0， f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+）上单调递增， f（x）极小值f（x0），故排除 BC， 故选：D 9现从甲、乙等 6 人中随机抽取 2 人到幸福社区参加义务劳动，则甲、乙仅有 1 人被抽到 的概率为（） ABCD 解：现从甲、乙等 6 人中随机抽取 2 人到幸福社区参加义务劳动， 基本事件总数 n15， 甲、乙仅有 1 人被抽到包含的基本事件个数 m8， 则甲、乙仅有 1 人被抽到的概率为 P 故选：C 10若过抛物线 C：y24x 的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于
15、 A，B 两点，则线段 AB 的长 为（） A3B4C5D6 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意可得直线 AB 的方程为：y2（x1）， 联立方程，消去 y 可得：x23x+10， 故 x1+x23， 则|AB|x1+x2+p3+25， 故选：C 11已知 F1，F2是双曲线 C：1（a0，b0）的左，右焦点，过点 F1且倾斜 角为 30的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A，B若|AF2|BF2|，则双曲线 C 的离心率为（） AB C2D 解：如图，取 AB 中点 M，连结 F2M， |AF2|BF2|，F2MAB， 设|AF2|BF2|x，|AF2|AF1|2a，|A
16、F1|x2a， 又|BF1|BF2|2a，|BF1|x+2a， |AB|BF1|AF1|4a，|AM|BM|2a， |F1M|BF1|BM|x，|MF2|c， 在F1MF2中可得 c2+x24c2， 在AMF2中，（2a）2+c2x2， 消去 x 化简得 c22a2， 离心率 e 故选：A 12若 ex（a1）x+lnax（a0，x0），则 a 的最大值为（） ABCeD2e 解：因为 ex（a1）x+lnax，x0，a0， 所以 ex+xax+lnax，即 ex+xelnax+lnax， 令 f（x）ex+x（x0）， 则 f（x）ex+10，所以 f（x）在（0，+）上单调递增， 由 f（
17、x）f（lnax），可得 xlnax，xlnx+lna， 则 lnaxlnx 恒成立，所以 lna（xlnx）min， 令 g（x）xlnx，g（x）1，令 g（x）0，得 x1， 当 x（0，1），g（x）0，g（x）单调递减，在 x（1，+），g（x）0，g（x） 单调递增， 所以 g（x）ming（1）1， 所以 lna1，解得 0ae， 所以 a 的最大值为 e 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13已知向量 （t，2）， （2，1），且（ ） ，则 t 解：向量 （t，2）， （2，1），且（ ） ， （
18、） （2t+2）50， 则 t， 故答案为： 14记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和，若 a1+a296，a316，则 S4的值为120 解：根据题意，设该正项等比数列的公比为 q，则 q0， 因为 a1+a296， 所以 a1（1+q）96， 又 a3a1q216， 所以，整理可得：6q2q10，解得 q，或 q（舍去）， 所以 a164， 所以 S4120 故答案为：120 15函数 f（x）A（sinx+cosx）+b（A0，0）的最大值为 3，最小值为1，图象 的相邻两条对称轴之间的距离为 2则 b1， 解：函数 f（x）A（sinx+cosx）+bAsin（x+）+b， 由 f
19、（x）的最大值为A+b3，最小值为A+b1， 所以，解得 b1； 又 f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为2， 解得 T4，所以 故答案为：1， 16设球的半径为，该球的内接圆锥（顶点在球面上，底面为某平面与球的截面）的体积 为 V，则 V 的最大值为 解：如图，设圆锥的高底面半径 r，高 h，OOx，则 h+x， 则 r， V（）， 令 f（x），则， 易得当 0 x时，f（x）0，函数单调递增，当 x时，f（x）0，函数单调 递减， 故当 x时，函数 f（x）取得最大值，此时 V 取得最大值 故答案为： 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第
20、分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题为必考 题题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答。第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生依据要求作答考生依据要求作答。（一一）必考题必考题： 共共 60 分分 17 某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务， 现统计了前 8 天， 每天 （用 t1， 2， ， 8 表示）的接种人数 y（单位：百）相关数据，并制作成如图所示的散点图： （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，求 y 关于 t 的回归方程（系 数精确到 0.01）； （2）根据该模型，求第 10 天接种人数的预报值；并预测哪一
21、天的接种人数会首次突破 2500 人 参考数据： 12.25，（ti ）242，（yi ）（ti ）70 参考公式：对于一组数据（t1，y1），（t2，y2），（tn，yn），回归方程 + t 中 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， 解：（1）由题意可得， 所以 ， 故 12.251.6674.54.75， 所以 y 关于 t 的回归方程为 1.67t+4.75； （2）第 10 天接种人数的预报值为 2145 人， 当 t12 时， 的预报值为 1.6712+4.7524.79， 当 t13 时， 的预报值为 1.6713+4.7526.4625， 故预计从第 13 天开始，接种人数会
22、突破 2500 人 18在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 2bc2acosC （1）求 A； （2）若ABC 的面积 SABC4，求 a 的取值范围 解：（1）2bc2acosC， 2bc2a，化简得 b2+c2a2bc， 由余弦定理知，cosA， A（0，）， A （2）ABC 的面积 SABCbcsinA4， bcsin4，即 bc16， 由（1）知，a2b2+c2bc2bcbcbc16，当且仅当 bc4 时，等号成立， a4， 故 a 的取值范围为4，+） 19在如图所示的多面体中，ABCD 是正方形，A，D，E，F 四点共面，AF面 CDE （1）求证：BF面
23、 CDE； （2）若 ADDE3，AF1，EF，求证：AD平面 CDE 【解答】证明：（1）因为 ABCD 是正方形，所以 ABCD， 又 AB面 CDE，CD面 CDE，所以 AB面 CDE， 因为 AF面 CDE，AFABA，AF，AB平面 ABF， 所以面 ABF面 CDE， 又 BF面 ABF，所以 BF面 CDE （2）在平面 ADEF 中，作 FGAD 交 DE 于点 G， 因为 AF面 CDE，AF平面 ADEF，平面 ADEF平面 CDEDE， 所以 AFDE，又 FGAD， 所以四边形 ADGF 为平行四边形， 所以 DGAF1，FGAD3，EGDEDG2， 因为 EF，所以
24、 EF2FG2+EG2， 所以FGE90，所以 FGDE， 所以 ADDE，又 ADDC， DEDCD，DE，DC平面 CDE， 所以 AD平面 CDE 20设函数 f（x）exaxb+1（a，bR） （1）若 b1，f（x）有两个零点，求 a 的取值范围； （2）若 f（x）0，求 a+b 的最大值 解：（1）b1 时，f（x）exax，f（x）exa， 当 a0 时，f（x）0，则 f（x）在 R 上单调递增，不满足题意； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 xlna，则 f（x）在（，lna）上单调递减，在 （lna，+）上单调递增， 要使 f（x）有两个零点，只需 f（lna）0，即
25、aalna0，解得 ae， 即 a 的取值范围是（e，+） （2）函数 f（x）exaxb+1，f（x）exa， 由（1）知，当 a0 时，f（x）在 R 上单调递增， 当 x时，f（x），与 f（x）0 矛盾， 所以 a0，由（1）知，f（x）minf（lna）aalnab+10， 所以 baalna+1，a+b2aalna+1， 令 g（a）2aalna+1，g（a）2lna11lna， 令 g（a）0，可得 0ae，令 g（x）0，可得 ae， 所以 g（a）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， 所以 g（a）maxg（e）e+1， 所以 a+be+1， 所以 a+b 的最大
26、值为 e+1 21如图，已知椭圆 C：+y21（a1）的左焦点为 F，直线 ykx（k0）与椭圆 C 交 于 A，B 两点，且0 时，k （1）求 a 的值； （2）设线段 AF，BF 的延长线分别交椭圆 C 于 D，E 两点，当 k 变化时，直线 DE 与直 线 AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，请求出值；若不是定值说明理由 解：（1）由题意可得直线 AB 的方程为 yx，设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，整理可得 x2， 所以 x1+x20，x1x2，y1y2x1x2， 因为0，所以（x1+c，y1）（x2+c，y2）0，所以（x1+c）（x2c）+y1y20， 整理可得
27、 x1x2+c（x1+x2）+c2+y1y20， 由椭圆的方程可得 c， 所以+a210，即 a42a230， 解得 a23，又 a1，解得 a； （2）由（1）可得，椭圆的方程为+y21，左焦点 F（，0）， 设直线 AD 的方程为 xy， 联立，整理可得3+y2y10， 所以（5+2x0）y22（x0+）y0yy020， 所以 y0yD， 同理 BE：x， 从而， 于是55k， 所以 DE，AB 的斜率之比为定值 5 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第 一题记分。一题
28、记分。选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（为参数）以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为sin2 4cos0 （1）求曲线 C1的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程； （2）设直线 l：（t 为参数）与曲线 C2，C1的交点从上到下依次为 P，M， N，Q，求|PM|+|NQ|的值 解：（1）曲线 C1的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为 曲线 C2的极坐标方程为sin24cos0，根据，整理得（sin）2 4cos0，整理得 y24x （2）直线 l：（t 为参数
29、）转换为直角坐标方程为 xy20， 所以直线 l 与曲线 C2相交得到：，整理得（x2）24x，即 x28x+40， 所以 x1+x28，x1x24， 故， 由于直线经过圆的圆心， 故|MN|， 所以|PM|+|NQ| 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23设函数 f（x）|x+2|xt| （1）当 t1 时，求不等式 f（x）2 的解集； （2）若对于任意实数 x，不等式 f（x）t2+2t 恒成立，求实数 t 的取值范围 解：（1）f（x）2 即为|x+2|x1|2， 等价为或或， 解得 x或x1 或 x1， 则所求解集为（，+）； （2）对于任意实数 x，不等式 f（x）t2+2t 恒成立， 可得 f（x）maxt2+2t， 由 f（x）|x+2|xt|x+2x+t|t+2|， 当且仅当（x+2）（xt）0，且|x+2|xt|时，上式取得等号， 所以 t2+2t|t+2|， 等价为或， 解得 t1 或 t2， 所以 t 的取值范围是（，21，+）
