1、1 D 1 C A B C D 1 A 1 B 第 6 题图 黄浦区黄浦区 20202121 年高考模拟考年高考模拟考 数学试卷数学试卷 (完卷时间：120 分钟满分：150 分)2021.4 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的 解答一律无效； 2答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分）考生应在答题纸相应编号的空格内分）考生应在答题纸相应编号的空
2、格内 直接填写结果，每个空格填对前直接填写结果，每个空格填对前 6 6 题得题得 4 4 分、后分、后 6 6 题得题得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 1已知集合 2 |230Ax xx，|1| 1Bxx，则AB 2方程 4 2log13x 的解x 3已知某球体的表面积为36，则该球体的体积是 4已知函数( )f x的定义域为R，函数( )g x是奇函数，且( )( )2xg xf x，若(1)1f ， 则( 1)f 5.已知复数z的共轭复数为z，若i34iz(其中i为虚数单位)，则| | z . 6已知长方体 1111 ABCDABC D的棱 1 3,4ABBCCC，则
3、异面直线 1 AB与 1 CD所成角的大小是.（结果用反三角函数值表示） 7已知随机事件A和B相互独立，若()0.36P AB ，( )0.6P A (A表示 事件A的对立事件) ，则( )P B=. 8.无穷等比数列 * (N ,R) nn ana的前n项和为 n S， 且lim2 n n S ， 则首项 1 a 的取值范围是. 9 已知(12 )nx的二项展开式中第三项的系数是112， 则行列式 213 311 21n 中元素1的代 数余子式的值是. 10已知实数xy、满足线性约束条件 0,0, 220, 2360. xy xy xy 则目标函数25zxy的最大值 是. 11 某企业开展科
4、技知识抢答抽奖活动， 获奖号码从用0 1 2 39、 、 、 、这十个数字组成没有重 复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是 3的倍数. 若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该职工随机抽取一个号码能抽到一等 奖号码的概率是.(结果用数值作答) 12已知Ra，函数 2 |2| , 0, ( ) 1 1, 0 2 xaxx f x xaxax 的最小值为2a，则由满足条件的 a的值组成的集合是. 二二、选择题选择题（本大题满分本大题满分 2020 分分）本大题共有本大题共有 4 4 题题，每题有且只有一个正确答案每题有且只有一个正确答案，考生应在考生应在
5、 答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13. 已知空间直线l和平面，则“直线l在平面外”是“直线l平面”的(). (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)非充分非必要条件 14某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下： 甲：21、22、23、25、28、29、30、30； 乙：14、16、23、26、28、30、33、38. 则下列描述合理的是(). (A)甲队员每场比赛得分的平均值大(B)乙队员每场比赛得分的平均值大 (C)甲队员比赛成绩比较稳定(
6、D)乙队员比赛成绩比较稳定 15已知点(4,)Pm是直线 1 3 , :(R) 5 xt ltt yt ， 是参数和圆 1 5cos , :(R,) 5sin x C y 是参数的公共点， 过点P作圆C的切线 1 l， 则切线 1 l的方程 是(). (A)34280 xy(B)34280 xy (C)3130 xy(D)3160 xy 16已知xy、是正实数，ABC的三边长为3,4,5CACBAB，点P是边AB(P与 点AB、不重合)上任一点，且 | CACB CPxy CACB .若不等式23xym x y 恒成 立，则实数m的取值范围是（）. (A) 3 2 2 m (B)2 6m (C
7、) 3 2 2 m (D)3m 三三、解答题解答题（本大题满分本大题满分 7676 分分）本大题共有本大题共有 5 5 题题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 1 D 1 C A B C D 1 A 1 B 1717. .（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 已知长方体 1111 ABCDABC D中，棱2ABBC， 1 3AA ，点E是棱AD的中点. (1)联结CE，求三
8、棱锥 1 DEBC的体积V； (2)求直线 1 CD和平面 1 D EB所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) 1818. .（本题满分（本题满分 1 14 4 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 已知ABC中， 内角A、B、C所对边长分别为a、b、c， 且1b ，sin3sinaAB (1)求正实数a的值； (2)若函数 sin2cos2f xaxx(Rx)，求函数 fx的最小正周期、单调递增区 间 1919. .（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个
9、小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得 50 万元到 1500 万元的经济收益.企业财 务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励， 并讨论了一个奖励方案： 奖金y（单位： 万元） 随经济收益x（单位：万元）的增加而增加，且0y ，奖金金额不超过 20 万元. （1）请你为该企业构建一个y关于x的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求 的理由；(答案不唯一) （2）若该企业采用函数 1 1, 50500, 50 1 19, 5001500 xx y a x x 作为奖励函数模型，试确
10、定实数 a的取值范围. E 2020. .（本题满分（本题满分 1 16 6 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分 椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为( ,0)A a，焦距为2 (0)c c ，左、右焦点分 别为 12 FF、， 00 (,)P xy为椭圆C上的任一点. (1)试写出向量 12 PF PF 、的坐标(用含 00 xyc、 、的字母表示)； (2)若 12 PF PF 的最大值为3，最小值为2，求实数a
11、b、的值； (3)在满足(2)的条件下，若直线: l ykxm与椭圆C交于MN、两点(MN、与椭圆的左 右顶点不重合)，且以线段MN为直径的圆经过点A，求证：直线l必经过定点，并求出定 点的坐标. 2121. .（本题满分（本题满分 1 18 8 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 定义：符号 123 max,x x x表示实数 123 xxx、 、中最大的一个数； 123 min,x x x表 示 123 xxx、 、中最小的一个数. 如
12、，max2,2,1.22，min2,22 . 设K是一个给定的正整数(3K )， 数列 n a共有K项， 记 121 min, iii Aa aaa ， 121 max, iiiKK Baaaa ， iii dAB(1,2,3,4,1iK).由 i d的取值情况， 我们可以得出一些有趣的结论.比如，若 2 0d ，则 23 aa.理由： 2 0d ，则 22 AB.又 2223 ,aA Ba，于是，有 23 aa.试解答下列问题： (1) 若 数 列 n a的 通 项 公 式 为 1 ( ) (1,2,3,) 2 n n anK， 求 数 列 (1,2,3,1) i diK的通项公式； (2)
13、若数列 n a(1,2,)nK满足 1 3,1 i ad(1,2,1)iK，求通项公式 n a； (3)试构造项数为K的数列 n a，满足 nnn abc，其中 n b是等比数列， n c是公 差不为零的等差数列，且数列 (1,2,1) i diK是单调递减数列，并说明理由.(答案不 唯一) 1 D 1 C A B C 1 A 1 B 黄浦区黄浦区 2021 年高考模拟考年高考模拟考 数学试卷数学试卷参考答案参考答案 2021.4 说明：说明： 1本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的 评分精神进行评分 2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现
14、错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分， 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 一、一、填空题填空题. 1(1,2)24x 3364 3 2 556 7 arccos 25 70.9 8(0,2)(2,4)9510 62 7 11 1 27 12 313 二、选择题二、选择题 13( )B14( )C15( )A16( )A 三、解答题三、解答题 17 （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分
15、小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解(1) 1111 ABCDABC D是长方体,棱2ABBC， 1 3AA ， 1 AA 平面ABCD，即三棱锥 1 DEBC的高等于 1 AA. 1 2 2 EBC SBCAB . 1 1 1 2 3 DEBCEBC VSAA . (2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得1,0,0E， 0,2,0C,2,2,0B， 1 0,0,3D. 1,2,0EB ， 1 1,0,3ED ， 1 0,2, 3DC 设平面 1 EBD的法向量, ,nx y z ， 则 1 0, 0. n EB n ED 即 20, 30. xy xz E y x
16、z ( )O D 取6x ，得 3, 2. y z 故平面 1 EBD的一个法向量为6, 3,2n . 设直线 1 CD和平面 1 EBD所成的角为，则 1 1 1212 13 sin 91137 DC n DCn . 所以直线 1 CD和平面 1 EBD所成角的大小为 12 13 arcsin 91 18 （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解 (1)在ABC中，1b ，sin3sinaAB， 根据正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ，得 22 2 3, 3
17、22 ab a RR (0a ) 3a . (2)由(1)知，3a ， sin2cos2f xaxx = 3sin2cos2 2sin 2(R). 6 xx xx 函数( )f x的最小正周期为 2 2 T . 由222 262 kxk (kZ)，得 (Z) 36 kxkk . 函数 fx的递增区间是, 36 kk kZ. 19 （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解 (1)答案不唯一.构造出一个函数； 说明是单调增函数； 函数的取值满足要求. 如， 1 1,50,1500 10
18、0 yxx，就是符合企业奖励的一个函数模型. 理由： 根据一次函数的性质，易知，y随x增大而增大，即为增函数； 当50 x 时， 13 50 10 1002 y ， 当1500 x 时， 1 1500 11620 100 y ，即奖金金额 0y 且不超过 20 万元. 故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型. (2) 当50500 x时，易知 1 1 50 yx是增函数，且当50 x 时， 1 50 120 50 y ，当 500 x 时， 1 500 11120 50 y ，即满足奖金 0y 且不超过 20 万的要求； 故当50500 x时， 1 1 50 yx符合企业奖励要求. 当500
19、1500 x时， 函数 1 ( )19 a f x x 是增函数， 即对任意 12 (500,1500 xx 、 ， 且 12 xx 时， 21 12 12 ()()(1)0 xx f xf xa x x 成立.故当且仅当10a，即1a 时，此时函数在 (500,1500上是增函数. 由 1 190 500 a ，得9501a ；进一步可知，10 a x ，故 1 191920 a y x 成立，即当 19501a时，函数符合奖金0y 且金额不超过 20 万的要求. 依据函数模型 1 1, 50500, 50 1 19, 5001500 xx y a x x 是符合企业的奖励要求，即此函数为增
20、 函数， 于是，有 11 500 119 50500 a ，解得4001a . 综上，所求实数a的取值范围是14001a. 20 （本题满分（本题满分 16 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分，第第 3 小题满分小题满分 6 分分 解 (1)根据题意,可知 12 (,0)( ,0)FcF c、. 于是， 100200 (,) (,)PFcxyPFcxy 、. (2) 由(1)可知， 222 1200 PF PFxcy . 00 (,)P xy在椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上， 22 0
21、0 22 1 xy ab ，则 2 222 00 2 b ybx a . 2 222 120 2 (1) b PF PFxbc a . 依据椭圆的性质，可知 0 axa . 当且仅当 0 xa 时， 2 22222 12max 2 ()(1) b PF PFabcac a ， 当且仅当 0 0 x 时， 2 2222 12min 2 ()(1) 0 b PF PFbcbc a . 又 222, abc 12 PF PF 的最大值为3，最小值为2， 22 22 3, 2. ac bc 解得 2, 3 a b 即为所求. 证明 (3)由(2)知，椭圆 22 :1 43 xy C. 又: l ykx
22、m， 联立方程组 22 1, 43 . xy ykxm 得 222 (34)84120kxkmxm. 设 1122 (,) (,)M x yN xy、是直线: l ykxm与椭圆C的两个交点，于是，有 12 2 2 12 2 2222 8 , 34 412 , 34 644(34)(412)0. km xx k m x x k k mkm 以线段MN为直径的圆经过点(2,0)A， AMAN ，即 1122 (2,) (2,)0 xyxy，进一步得 22 1212 (1)(2)()40kx xkmxxm( 1212 ()()y ykxm kxm)，化简得 22 71640mkmk. 解得 2 2
23、 7 mkmk 或 .(经检验， 2 ,2 7 mk mk 都满足0 ) 当2mk 时， 直线l过点(2,0)A不满足MN、与椭圆的左右顶点不重合要求， 故2mk 舍去. 2 7 mk ，即 2 : 7 l ykxk. 直线l必经过定点，且定点的坐标为 2 ( ,0) 7 . 21 （本题满分（本题满分 18 分）本题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分，第第 3 小题满分小题满分 8 分分 解 (1)数列 n a的通项公式为 1 ( ) (1,2,3,) 2 n n anK，考察指数函数 1 ( ) (R) 2 x
24、 yx 的图像与性质，知数列 n a是单调递减数列,即 1( 1,2,1) nn aanK . 121 1 min,( ) 2 i iii Aa aaa ， 1 121 1 max,( )(1,2,1) 2 i iiiKK BaaaaiK . 11 111 ( )( )( ) 222 iii iii dAB (1,2,1)iK为所求的通项公式 (2)数列 n a(1,2,)nK满足 1 3,1 i ad(1,2,1)iK， 依据题意，由 1 10d ，知 12 aa；由 2 10d ，知 23 aa；依此类推，有 1KK aa ， 即 121KK aaaa ，于是，数列 n a(1,2,)nK
25、是单调递减数列. 121 min, iiii Aa aaaa ， 1211 max,(1,2,1) iiiKKi BaaaaaiK . 1 i d ， 11 1, 1 iiii aaaa 即 数列 n a是首项 1 3a ，公差为1的等差数列 1 (1)4(1,2,) n aandn nK (3) 构造数列 n b：(01) n n baa，数列 n c：(0) n cb n b，1,2,nK，设 nnn abc，则数列 n a满足题设要求. 理由如下： 构造数列 n b：(01) n n baa，数列 n c：(0) n cb n b，1,2,nK， 易知，数列 n b是等比数列，数列 n c是等差数列. 由指数函数(R,01) x yaxa的性质，知 1nn aa ，即数列 n b是单调递减数列； 由函数(R,0)ykx xk的性质，知数列 n c是单调递减数列. 1 (1) nn abnab n ，即 1( 1,2,3,1) nn aanK . 数列 n a是单调递减数列. 1 (1)(1,2,3,1) i iii daaa ab iK . 12 1 (1)(1)(1)0 iii ii dda aba abaa ，即数列 ( 1,2,1) i diK是单调 递减数列. 数列 n a是满足条件的数列.
