1、丽水、湖州、衢州 2021 年 4 月三地市高三教学质量检测试卷 数学试题卷 注意事项：注意事项： 1本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答 2本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 第第卷卷（选择题选择题，共共 40 分分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1已知复数 13i z i ，其中i为虚数单位，则|z|= A 5 2 B 10 2 C10D2 2已知直线l，m和平面 A若/lm，m，则/lB若/l，m，则/lm C若l，m
2、，则lmD若lm，l，则m 3函数sinyx（0）的图象向左平移 2 3 个单位，所得到图象的对称轴与原 函数图象的对称轴重合，则的最小值是 A 3 4 B 3 2 C2D3 4若整数 , x y满足不等式组 20, 240, 7280, xy xy xy 则34xy的最大值是 A10B0C3D5 5函数 2 ( )cosf xxxx的图象可能是 6“关于x的方程 2 1Rxxm m有解”的一个必要不充分条件是 A 2,2m B2,2m C 1,1m D1,2m A. B C D. (第 12 题图) 图) 101 P p 1 3 2 3 p 7设 2 0 3 p，随机变量的分布列是 则当p在
3、 2 0, 3 内增大时， A D增大B D减小 C D先减小后增大D D先增大后减小 8某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至 少安排一位医生由于工作需要，甲、乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的 安排种数是 A90B216 C144D240 9设 f x是定义在R上的奇函数，满足 2fxf x，数列 n a满足1 1 a，且 n a n a nn 21 1 1 n N则 22 f a A0B1C21D22 10已知定义在0,上的函数 f x为减函数，对任意的0,x，均有 31 24 f xff x x ，则函数 3g xf xx的最小值是 A2B5
4、C 10 3 D3 第第卷卷（非选择题部分，共非选择题部分，共 110 分分） 注意事项： 用钢笔或签字笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分 11已知函数 2 2 2 ,2, log1,2, xxx f x xx 则 4ff ， 函数 f x的单调递减区间是 12某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体 的表面积是 2 cm，体积是 3 cm 13已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 52 5 , 55 P ， 则tan ，sin 4 14我国南北朝数学家
5、何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法， 其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为两个既约分数 b a 和 d c ，则 bd ac 是x的更为精确的近似值 现第一次用“调日法”:由 2522 87 得到的更为精确 的近似值为 1 a，则 1 a 第二次用“调日法”：由 1 22 7 a 得到的更为精确的近 似值为 2 a， ， 记第n次用“调日法”得到的更为精确的近似值为 n a 10,nn N 若3.14 n a ，则n 15设,Ra b,0，若 22 4ab，且ab的最大值是5，则 16已知平面向量, , ,a b c d ，若3ab ，0a b ，4ac
6、ac ，1bd ， 则cd 的最大值是 17已知 12 ,F F是双曲线 2 2 22 :1,0 y x Ca b ab 的左、右焦点，过 2 F的直线交双曲线的右 支于,A B两点，且 12 2AFAF， 1212 AF FF BF ，则下列结论正确的有 （请 填正确的序号，注意：不选、错选得0分，漏选得2分 ） 双曲线C的离心率 2 3 3 e ；双曲线C的一条渐近线斜率是3； 线段6ABa； 12 AF F的面积是 2 15a 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18.（本小题满分 14 分） 在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为
7、, ,a b c，且sinsincosBACC （）求角A的大小； （）当2 3c 时，求 22 ab的取值范围 19.（本小题满分 15 分） 已知三棱柱 111 ABCA B C，ABC是正三角形， 四边形 11 ACC A是菱形且 1 60A AC， M是 11 AC的中点，MBMC （）证明：AMBC； （）求直线AM与平面 11 BCC B所成角的正弦值 20.（本小题满分 15 分） 已知数列 n a是各项均为正数的等比数列，若 1 2a ， 23 aa是 3 a与 4 a的等差中 项数列 n b的前n项和为 n S，且 (1) 22 2 nn n n Sa 求证： （）数列 nn
8、 ab是等差数列； （） 12 1111 2 1 nn bbba 21.（本小题满分 15 分） 已知 21,F F是椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的左、 右焦点， 动点P在椭圆上， 且 1 PF 的最小值和最大值分别为1和3 （）求椭圆的标准方程； （）动点M在抛物线xyC4: 2 上，且在直线 ax 的 右侧过点M作椭圆E的两条切线分别交直线ax于 BA，两点当10AB时，求点M的坐标 22 （本小题满分 15 分） 已知函数 4 1 ln ax f xx x （）当0a 时，求函数 f x的图象在 e,ef处的切线方程； （）若对任意1,x，不等式 ln4f xx恒成立，
9、求实数a的取值范围 （其中e为自然对数的底数） （第 19 题图） （第 21 题图） 丽水、湖州、衢州 2021 年 4 月三地市高三教学质量检测试卷 数学参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分. 题号12345678910 答案CCBCAADBAD 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11.1;1,212.204 5;813.2; 10 10 14. 47 15 ；615.416.12 217. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过
10、程或演算步骤 18.（本小题满分 14 分） 在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sinsincosBACC （）求角A的大小； （）当2 3c 时，求 22 ab的取值范围 解析： （）由sinsincosBACC 得sinsincosACACC-2 分 化简2sincoscosACC-2 分 由于ABC为锐角三角形，所以cos0C ，得 1 sin 2 A ， 又0 2 A ，故 6 A .-7 分 （）由正弦定理得 sinsin bc BC ，-9 分 得 sin3 3 sintan cB b CC 又 32 C ，得34b.-11 分 由余弦定理得 222
11、2 2cos612abcbcAbb-13 分 所以 2 222 315 2612212,20 22 abbbb .-14 分 19.（本小题满分 15 分） 已知三棱柱 111 ABCA B C，ABC是正三角形，四边形 11 ACC A是菱形 且 1 60A AC ， M是 11 AC的中点，MBMC （）证明：AMBC； （）求直线AM与平面 11 BCC B所成角的正弦值 解析：()设BC中点为D，连结,AD MD，如图所示 由MBMC得MDBC-2 分 由ABC是正三角形得ADBC-4 分 又MDADD，故BCAMD 平面， 因此BCAM-6 分 () 设AD中点为E，平面AME交 1
12、1 BC于N，连结NE 设 1 1AAAC由MNAD得 111 11 44 C NBC， 由直角梯形 1 DCC N得 15 4 DN 由BCAMND 平面得 11 BCC BAMND平面平面，-9 分 所以DN为AM在平面 11 BCC B内的射影， 所以END为AM与平面 11 BCC B所成的角-11 分 在END中， 222 2cosDEENDNEN DNEND， 由 3 4 DE ， 7 2 ENAM， 15 4 DN 得 2 105 cos 21 END，-14 分 21 sin 21 END 所以，直线AM与平面 11 BCC B所成角的正弦值为 21 21 -15 分 20.（
13、本小题满分 15 分） 已知数列 n a是各项均为正数的等比数列， 若 1 2a ， 23 aa是 3 a与 4 a的等差中项 数 列 n b的前n项和为 n S，且 (1) 22 2 nn n n Sa ,n N 求证： （）数列 nn ab是等差数列； （） 12 1111 2 1 nn bbba 解析： （）由已知 3423 2aaaa， 得 432 20aaa 设数列 n a的公比为q，则 2 20qq，解得2q 或1q （舍去） 解得2n n a .-3 分 由 (1) 22 2 nn n n Sa ，得 11 (1) 22 2 nn n n Sa ， 两式相减得 1 1 22222
14、 nnn nnn bnaa ， 解得2n n bn.-6 分 故 nn abn，于是 11 1 nnnn abab 为定值， 因此数列 nn ab是等差数列.-7 分 （2）因为当n N时，恒有不等式 1 22 nn n 成立，-10 分 所以 1 11 22 nn n -12 分 因此 1 12 1111111 12(1)2(1) 222 nn nn bbba 从而 12 1111 2 1 nn bbba -15 分 (注：用数学归纳法证明酌情给分) 21.（本小题满分 15 分） 已知 21,F F是椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的左、右焦点， 动点P在椭圆上，且 1 PF
15、的最小值和最大值分别1和3 （）求椭圆的标准方程； （）动点M在抛物线xyC4: 2 上，且在直线 ax 的 右侧过点M作椭圆E的两条切线分别交直线 ax 于 BA，两点当10AB时，求点M的坐标 （第 21 题图） 解析： （）由 3 1 ca ca ，-2 分 解得2a，1c， 3b ，-4 分 所以椭圆方程为1 34 22 yx -5 分 （）不妨设 1 kkPA， 2 kkPB，),( 11 yxA，),( 22 yxB，)2 ,( 2 ttM， 设过点M作椭圆的切线方程为ttxky2)( 2 ，-7 分 由 1243 )2( 22 2 yx kttkxy ， 得012)2(4)2(8
16、)43( 22222 kttxkttkxk 由0得到0344)4( 2324 tktkt， 所以 4 34 , 4 4 4 2 21 4 3 21 t t kk t t kk，-9 分 令2x， 21 2 21 2kktyyAB， 因为 4 121632 4 24 21 t tt a kk ， 所以 )2)(2( 121632 2 22 24 2 tt tt tAB -12 分 10 44 )67(4 32 24 2 tt t 解得4 2 t ， 点M的坐标为4, 4 .-15 分 22 （本小题满分 15 分） 已知函数 4 1 ln ax f xx x （）当0a 时，求函数 f x的图象
17、在 e,ef处的切线方程； （）若对任意1,x，不等式 ln4f xx恒成立，求实数a的取值范围 （其 中e为自然对数的底数） 解析： （）当0a 时， 4 ln f x x 所以 4f e -1 分 此时 2 4 ln fx xx ，-3 分 故 4 fe e ，-4 分 所以所求切线方程为 4 4yxe e ，即 4 8yx e -5 分 （）由题意得 2 4ln4ln0axxx对对任意1,x恒成立 令xe，得 1 a e ，-6 分 设 2 4ln4lng xaxxx（1,x） ， 2ln4x gxa x ， 设 2ln4x h x x ，则 2 2 1 ln 0 x h x x ， 所
18、以 h x在1,x递减，故 04h x-8 分 当4a 时， 0gx，所以 g x在1,单调递增， 140g xga 所以4a 满足题意-10 分 当 1 4a e 时，存在 0 1x 使得 0 0 2ln4x a x ， 即 00 2ln4axx且 g x在 0 1,x单调递减，在 0, x 单调递增， 2 0000 min 4ln4ln0g xg xaxxx-12 分 所以 2 000 2ln44ln4ln0 xxx，即 2 00 ln2ln80 xx ，解得 0 4ln2x 即 2 0 1xe，由 2ln4x h x x 在1,x递减， 可知 2 8 4a e -14 分 综上所述可得 2 8 a e -15 分
