1、2021 年江西省九江市高考数学二模试卷（文科）年江西省九江市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分）分）. 1已知集合 Mx|x22x80，Nx|lnx0，则 MN（） Ax|4x1Bx|2xlCx|1x2Dx|1x4 2已知复数 z，则|z|（） A0BC2D2 3将函数 f（x）图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，得到函数 g（x）cos2x 的 图象，则 f（x）是（） A周期为 2的偶函数B周期为 2的奇函数 C周期为的偶函数D周期为的奇函数 4若实数 x，y 满足，则 zx2y 的最小值为（） A6B1C2D6 5已知 tan（）2，则 tan（
2、） AB3CD3 6过点 P 作圆 O：x2+y21 的两条切线，切点分别是 A，B，若APB，则 （） ABCD 7恩格尔系数（EngelsCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重居民可支 配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入如图 为我国 2013 年至 2019 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图 给出三个结论： 恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系； 一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕； 一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小 其中正确的是（） ABCD 8如图所示，已知抛物线
3、 y22px（p0）的焦点为 F，点 A（x0，3）是抛物线上一点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，HF 交抛物线于点 B，且2，则 p（） A2BCD1 9古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数 描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究形数就是指平面上 各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一如图是三角形 数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列an，四边形数组成数列bn，记 cn ，则数列cn的前 10 项和为（） ABCD 10如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，
4、G，H，I，J 分别是棱 A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面 EFGHIJ 内随机取一点 M，则此点 满足|AM|+|MC1|4 的概率为（） ABCD 11已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1且斜率为 的直线 l 与双曲线的右支交于点 A，且AF2F1是以 AF2为底边的等腰三角形，则该 双曲线的离心率为（） A2B2C2D2 12若对任意 x（0，+），不等式 aeaxlnx0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（） A（，e）B（，+）C（，e）D（e，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
5、5 分，共分，共 20 分分 13函数 f（x）lnxx2的单调递增区间为 14已知一个球的半径与一个等边圆柱（过轴的截面是正方形）的底面半径相等，则该圆柱 的表面积与球的表面积的比值是 15孙子算经是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第 26 题：“今有物 不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一 元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出 的结果是 16 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点 当三角形三个内角都 小于时， 费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 已知点 P 为ABC 的
6、费马点，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA2sin（C）cosB，且 b2 （ac）2+6，则 PAPB+PBPC+PAPC 的值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知数列an 的前 n 项和为 S ，且满足 2Sn3an1（nN*） （1）求数列an 的通项公式； （2）求数列（2n1）an的前 n 项和 Tn 182021 年春节，由贾玲导演的春节档电影你好，李焕英总票房已突破 50 亿元，影片 的感人情节引起同学们广泛热议开学后，某校团委在高三
7、年级中（其中男生 200 名， 女生 150 名），对是否观看该影片进行了问卷调查，各班男生观看人数统计记为 A 组， 各班女生观看人数统计记为 B 组，得到如图的茎叶图已知全年级恰有 3 个班级观看该 影片的人数超过 40 （）根据茎叶图绘制 22 列联表，并判断是否有 97.5%的把握认为观看该影片与性别 有关？ （）若先从 A 组人数超过 20 的数据中随机抽取一个数据，再从 B 组人数少于 20 的数 据中随机抽取一个数据，求抽到的这两个数据来自同一个班的概率 参考数据及公式如下： P（K2k）0.10.050.0250.010.0050.001 k2.7063.8415.0246.6
8、357.87910.828 K2，na+b+c+d 19如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，CD2， PDAD，E 为 DC 的中点 （）求证：AE平面 PBD； （）求点 A 到平面 PBE 的距离 20在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆 C 上一点，线段 MF1与圆 x2+y21 相切于该线段的中点，且MF1F2 的面积为 2 （）求椭圆 C 的方程 （）过点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且AOB90，求AOB 的面积 21已知函数 f（x）ex+ax，g（x）
9、f（x）f（x）（aR） （）若直线 ykx 与曲线 f（x）相切，求 ka 的值； （）若 g（x）存在两个极值点 x1，x2，且，求 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标坐标 系与参数方程系与参数方程 22在极坐标系 Ox 中，射线 l 的极坐标方程为（0），曲线 C 的极坐标方程为2 4sinr24（r0），且射线 l 与曲线 C 有异于点 O 的两个交点 P，Q （）求 r 的取值范围； （）求+的取值范围 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函
10、数 f（x）|x+2|ax2|（aR） （）当 a2 时，解不等式 f（x）1； （）当 x2，2时，求证：f（x）+f（x）0 参考答案参考答案 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题）小题）. 1已知集合 Mx|x22x80，Nx|lnx0，则 MN（） Ax|4x1Bx|2xlCx|1x2Dx|1x4 解：Mx|2x4，Nx|x1， MNx|1x4 故选：D 2已知复数 z，则|z|（） A0BC2D2 解： |z| 故选：B 3将函数 f（x）图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，得到函数 g（x）cos2x 的 图象，则 f（x）是（） A周期为 2的偶函数B周期为 2的奇函数
11、C周期为的偶函数D周期为的奇函数 解：将函数 f（x）图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍， 得到函数 g（x）cos2x 的图象， 则 f（x）cos4x，故它是周期为的偶函数， 故选：C 4若实数 x，y 满足，则 zx2y 的最小值为（） A6B1C2D6 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx2y 得 yxz， 平移直线 yxz，由图象知当直线经过点 C 时，直线截距最大，此时 z 最小， 由得，即 C（2，2）， 此时 z2226， 故选：A 5已知 tan（）2，则 tan（） AB3CD3 解：已知 tan（）2，则 tantan（）+ 3， 故选：D 6过点 P 作圆
12、 O：x2+y21 的两条切线，切点分别是 A，B，若APB，则 （） ABCD 解：由题意可得：|OA|OB|1，APB，AOB， 所以1 故选：A 7恩格尔系数（EngelsCoefficien）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重居民可支 配收入是居民可用于最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入如图 为我国 2013 年至 2019 年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图 给出三个结论： 恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系； 一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕； 一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小 其中正确的是（
13、） ABCD 解：由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降， 居民人均可支配收入在逐年增加， 故两者之间存在负相关关系，恩格尔系数越小， 居民人均可支配收入越多，经济越富裕，故选项正确 故选：C 8如图所示，已知抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，点 A（x0，3）是抛物线上一点，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，HF 交抛物线于点 B，且2，则 p（） A2BCD1 解：抛物线 y22px（p0）的焦点为 F，点 A（x0，3）是抛物线上一点， 过 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 H，HF 交抛物线于点 B， 设 B（x，y），H（，3），F（，0）， 因为2，所以（x+，y3）2（，y
14、），解得 x，y1， 所以 12p，所以 p， 故选：B 9古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数 描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究形数就是指平面上 各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一如图是三角形 数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列an，四边形数组成数列bn，记 cn ，则数列cn的前 10 项和为（） ABCD 解：由题意可得， 所以， 设数列cn的前 n 项和为 Sn， 所以， 所以 故选：D 10如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G，H，I，J 分别
15、是棱 A1B1，A1D1，DD1，CD，BC，BB1的中点，现在截面 EFGHIJ 内随机取一点 M，则此点 满足|AM|+|MC1|4 的概率为（） ABCD 解：连接 AC1交平面 EFGHIJ 于 O，则 O 为 AC1和 GJ 的交点， 由正方体的性质可得 AC1平面 EFGHIJ，AC1OM， 设|OM|x，AOOC1， ，即 x1， 满足|AM|+|MC1|4 的点 M 的轨迹所围成的面积为， 又截面 EFGHIJ 的面积为， 故所求概率 P 故选：D 11已知双曲线1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1且斜率为 的直线 l 与双曲线的右支交于点 A，且AF2F
16、1是以 AF2为底边的等腰三角形，则该 双曲线的离心率为（） A2B2C2D2 解：由题意知，|F1F2|AF1|2c， 直线 l 的斜率为，即 tanAF1F2，cosAF1F2， 在AF1F2中， 由余弦定理知，+2|AF1|F1F2|cosAF1F2 4c2+4c222c2c2c2， |AF2|c， 由双曲线的定义知，|AF1|AF2|2cc2a， 离心率 e2+ 故选：A 12若对任意 x（0，+），不等式 aeaxlnx0 恒成立，则实数 a 的取值范围为（） A（，e）B（，+）C（，e）D（e，+） 解：令 x1，则 aex0，a0 不等式 aeaxlnx0 恒成立axeaxxl
17、nx， 当 x（0，1）时，lnx0，axeaxxlnx 恒成立； 当 x（1，+）时，令 g（x）xlnx，（x1） g（x）1+lnx0，g（x）在1，+）单调递增， 即 eaxlneaxxlnx 等价于 g（eax）g（x）， eaxx 在1，+）恒成立 即 axlnx，a在1，+）恒成立 令 h（x）（x1），则 h0，可得 xe h（x）在（1，e）递增，在（e，+）递减， h（x）maxh（e），a， a 的取值范围为 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13函数 f（x）lnxx2的单调递增区间为（0，
18、解：函数的定义域为（0，+）， 则函数的导数 f（x）， 由 f（x）0 得 12x20，即 x2， 解得 0 x， 即函数的单调递增区间为（0， 故答案为：（0， 14已知一个球的半径与一个等边圆柱（过轴的截面是正方形）的底面半径相等，则该圆柱 的表面积与球的表面积的比值是 解：由题意可得：等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等， 设为 1， 所以等边圆柱的表面积为：6， 球的表面积为：4 所以等边圆柱的表面积与球的表面积之比为 3：2 故答案为： 15孙子算经是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第 26 题：“今有物 不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七
19、数之剩二，问物几何？”是中国最早一 元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出 的结果是6 解：模拟程序的运行，可得 n3，i1 n7，i2 不满足判断框条件，n11，i3 不满足判断框条件，n15，i4 不满足判断框条件，n19，i5 不满足判断框条件，n23，i6 满足判断框条件，故输出的 i 的值为 6 故答案为：6 16 费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点 当三角形三个内角都 小于时， 费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 已知点 P 为ABC 的费马点，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA2sin（C）
20、cosB，且 b2 （ac）2+6，则 PAPB+PBPC+PAPC 的值为6 解：cosA2sin（C）cosB， cosA2（sinCcosC）cosB，即 cosAsinCcosBcosCcosB， A+B+C， cosAcos（B+C）cosBcosC+sinBsinC， cosBcosC+sinBsinCsinCcosBcosCcosB，即 sinBsinCsinCcosB， sinC0，tanB， B（0，），B， 由余弦定理知，cosB， b2（ac）2+6， ac6， SABCPAPBsin+PBPCsin+PAPCsinacsinB6 sin， PAPB+PBPC+PAPC6
21、 故答案为：6 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17已知数列an 的前 n 项和为 S ，且满足 2Sn3an1（nN*） （1）求数列an 的通项公式； （2）求数列（2n1）an的前 n 项和 Tn 解：（1）2Sn3an1（nN*），即 Snan， 可得 n1 时，a1S1a1，可得 a11， n2 时，anSnSn1anan1+， 化为 an3an1， 即an是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 则 an3n 1，nN*； （2）（2n1）an（2n1）3n 1，
22、则前 n 项和 Tn11+33+59+（2n1）3n 1， 3Tn13+39+527+（2n1）3n， 两式相减可得2Tn1+2（3+9+3n 1）（2n1）3n 1+2（2n1）3n， 化简可得 Tn1+（n1）3n 182021 年春节，由贾玲导演的春节档电影你好，李焕英总票房已突破 50 亿元，影片 的感人情节引起同学们广泛热议开学后，某校团委在高三年级中（其中男生 200 名， 女生 150 名），对是否观看该影片进行了问卷调查，各班男生观看人数统计记为 A 组， 各班女生观看人数统计记为 B 组，得到如图的茎叶图已知全年级恰有 3 个班级观看该 影片的人数超过 40 （）根据茎叶图绘
23、制 22 列联表，并判断是否有 97.5%的把握认为观看该影片与性别 有关？ （）若先从 A 组人数超过 20 的数据中随机抽取一个数据，再从 B 组人数少于 20 的数 据中随机抽取一个数据，求抽到的这两个数据来自同一个班的概率 参考数据及公式如下： P（K2k）0.10.050.0250.010.0050.001 k2.7063.8415.0246.6357.87910.828 K2，na+b+c+d 解：（）根据茎叶图绘制 22 列联表如下， 观看没观看合计 男生14060200 女生12030150 合计26090350 计算 K2404875.024， 所以没有 97.5%的把握认为
24、观看该影片与性别有关 （）因为全年级恰有 3 个班级观看该影片的人数超过 40， 所以这三个班的男女生人数依次是： 男 22 女 23，男 24 女 17，男 25 女 18 或男 22 女 23，男 24 女 18，男 25 女 17； 若先从 A 组人数超过 20 的数据中随机抽取一个数据，再从 B 组人数少于 20 的数据中随 机抽取一个数据， 可能情况有 3927（种），其中满足抽到的这两个数据来自同一个班的情况有 2 种， 所以所求的概率为 P 19如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，CD2， PDAD，E 为 DC 的中点 （）求证：A
25、E平面 PBD； （）求点 A 到平面 PBE 的距离 【解答】（）证明：因为四边形 ABCD 为矩形，所以ADEDAB90， 所以 tanEADtanABD，所以EADABD， 又ADB+ABD90，所以EAD+ADB90， 所以 AEBD，又因为 PD平面 ABCD，AE平面 ABCD，所以 PDAE， 又 BDPDD，BD，PD平面 PBD，所以 AE平面 PBD； （）由（）可知，点 P 到平面 ABE 的距离为， 又， 所以， 由题意可知， ， ， 由（）可知，PDBD，所以， 所以EPB 为等腰三角形， 取 PB 的中点 O，则 EOPB， 所以， 所以点 A 到平面 PBE 的距
26、离 20在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：1（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆 C 上一点，线段 MF1与圆 x2+y21 相切于该线段的中点，且MF1F2 的面积为 2 （）求椭圆 C 的方程 （）过点 F2的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且AOB90，求AOB 的面积 解：（）设线段 MF1的中点为 N，则|ON|1，又 ON 是三角形 MF1F2的中位线， 所以|MF2|2，MF1MF2， 由 椭 圆 的 定 义 可 知 |MF1| 2a 2 ， 因 为 三 角 形 MF1F2的 面 积 为 S ， 所以 a2， 又因为|F， 所以 c， 则 b，
27、所以椭圆的方程为； （）当直线 l 的斜率为 0 时，此时AOB180，不合题意， 当直线 l 的不为 0 时，设直线 l 的方程为 xmy+，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程，消去 x 整理可得：（m2+2）y， 所以 y， 所以xm ， 因为AOB90，所以 OAOB，则 x1x2+y1y20， 即，所以 m， 所以S 22 21已知函数 f（x）ex+ax，g（x）f（x）f（x）（aR） （）若直线 ykx 与曲线 f（x）相切，求 ka 的值； （）若 g（x）存在两个极值点 x1，x2，且，求 a 的取值范围 解：（I）设切点为（x0，y0），f（x）ex+a， 直线
28、 ykx 与曲线 f（x）相切， +ak，+ax0kx0， （x01）（ak）0， 解得 x01，ak（不成立，舍去）， kae （II）g（x）exe x+2ax，g（x）ex+ex+2a， 当 a1 时，g（x）2+2a0， g（x）在 R 上单调递增，函数 g（x）无极值，不符合题意，舍去 当 a1 时，g（x）ex+e x+2a0， 不妨设 x1x2，解得：x1ln（a），x2ln（a+）， 可得函数 g（x）在（，x1）单调递增，在（x1，x2）单调递减，在（x2，+）单调 递增，符合题意 g（x）g（x），g（x）为 R 上的奇函数， x1x20，g（x1）g（x2）0， +2a（
29、）（+） ，x20 （）（+）x20 令 h（x）exe x（ex+ex ）x，x0， 则 h（x）x（exe x），h（x）（ex+ex）x+（exex）， x0，（ex+e x）x0，exex0， h （x）0， h（x）在（0，+）单调递减， 又 h（0）0，h（1）e0，x0（0，1），使得 h（x0）0， 当 x（0，x0）时，h（x）0；当 x（x0，+）时，h（x）0 h（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+）上单调递减 又 h（0）0，h（1）0，故由 h（x）0，可得 0 x1，即 0 x21， 2a+，（1x20）， 22ae+e 1， a1 综上所述：a 的取值范围是
30、（，1） 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标坐标 系与参数方程系与参数方程 22在极坐标系 Ox 中，射线 l 的极坐标方程为（0），曲线 C 的极坐标方程为2 4sinr24（r0），且射线 l 与曲线 C 有异于点 O 的两个交点 P，Q （）求 r 的取值范围； （）求+的取值范围 解：（）射线 l 的极坐标方程为（0），转换为直角坐标方程为（x 0） 曲线 C 的极坐标方程为24sinr24（r0），根据，转换为直角 坐标方程为 x2+（y2）2r2 且射线 l 与曲线 C
31、 有异于点 O 的两个交点 P，Q 所以圆心（0，2）到直线 y的距离 d， 所以 1r2 （）把为，代入24sinr24， 得到， 所以， 由于 r（1，2）， 所以 4r2（0，3） 所以+ 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x+2|ax2|（aR） （）当 a2 时，解不等式 f（x）1； （）当 x2，2时，求证：f（x）+f（x）0 解：（）当 a2 时，f（x）1 即|x+2|2x2|1 等价为或 或， 解得 x或x1 或 1x3， 所以原不等式的解集为，3； （）证明：当 x2，2时，f（x）|x+2|ax2|x+2|ax2|， f（x）2x|ax+2|，f（x）+f（x）4（|ax2|+|ax+2|）， 因为|ax2|+|ax+2|ax2（ax+2）|4，当（ax2）（ax+2）0 时，取得等号， 所以 4（|ax2|+|ax+2|）0， 即 f（x）+f（x）0
