1、山东省枣庄市 2021 届高三第二次模拟测试 数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 Alnx yx，B2sinyZ yx，则 AIB A(0，2B0，2C1，2D0，1，2 2命题“nN ， 2 1nQ ”的否定为 AnN ， 2 1nQ BnN ， 2 1nQ CnN ， 2 1nQ DnN ， 2 1nQ 3已知函数 ln2 e, 0 ( ) (3), 0 x x f x f xx ，则(2021)f A 2 e B2eC 2 2 e D 2 2e 4已
2、知点(1，1)在抛物线 C： 2 2(0)ypx p上，则 C 的焦点到其准线的距离为 A 1 4 B 1 2 C1D2 5 大数学家欧拉发现了一个公式： i ecosisin x xx， i 是虚数单位， e 为自然对数的底数 此 公式被誉为“数学中的天桥” 根据此公式， 2022 (cosisin) 44 （注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算） A1B1CiDi 6若 6236 01236 (1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax，则 3 a A20B20C15D15 7医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层内层为亲肤材 质（普通卫生纱
3、布或无纺布） ，中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层） ，外层 为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层） 根据国家质量监督检验标准，医 用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生 产的医用口罩的过滤率xN(0.9372，0.01392)若xN(， 2)( 0)，则 P( 2x2)0.9545，P(3x3)0.9973，0.9772550 0.3164有如下命题： 甲：P(x0.9)0.5；乙：P(x0.4)P(x1.5)；丙：P(x0.9789)0.00135；丁： 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 50 只口罩中过滤率大于2的数量，则
4、 P(X1)0.6其中假命题是 A甲B乙C丙 D丁 8已知椭圆 C 与双曲线 22 1xy有相同的左焦点 F1、右焦点 F2，点 P 是两曲线的一个交 点， 且 12 PF PF0 uu u r uuu r 过 F2作倾斜角为45o的直线交 C 于 A， B 两点 （点 A 在x轴的上方） ， 且 2 ABAF uuu ruuu r ，则的值为 A33B32 C23D22 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知0a ，0b ， 2 1ab，则 A 5 4 abB1ab C
5、 1 2 a bD 3 23 a b 10已知函数( )sin3 sin() 2 f xxx ，则 A( )f x在 2 ，上的最小值是 1 B( )f x的最小正周期是 2 C直线() 2 k xkZ 是( )f x图象的对称轴 D直线 2 yx 与( )f x的图象恰有 2 个公共点 11列昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci，11701250 年)是意大利数学家，1202 年斐波那契在其代表作算盘书中提出了著名的“兔子问题” ，于是得斐波那契数列， 斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用( )()F n nN 表示斐波那契数列的第n项， 则数列( )F n满足：(1)(2
6、)1FF，(2)(1)( )F nF nF n斐波那契数列在生活 中有着广泛的应用，美国 13 岁男孩 Aidan Dwyer 观察到树枝分叉的分布模式类似斐 波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方 法苹果公司的 Logo 设计，电影达芬奇密码等，均有斐波那契数列的影子下列 选项正确的是 A 2 (8)(7)(9)1FFF B(1)(2)(6)1(8)FFFF C(2)(4)(2 )(2 1)2FFFnFn D 222 (1)(2)( )( )(1)FFF nF nF n 12如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是B1CD1 内部（不
7、包括边界）的动点若 BDAP，则线段 AP 长度的 可能取值为 A 2 3 3 B 6 5 C 6 2 D 5 2 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示， 为了解该地区中小学生的 近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人 数为 14如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形 ABCD 中，AF3AE uuruuu r ，设AFABADxy uuruuu ruuu r ，则xy的值为 第 13 题第
8、14 题 15写出一个图象关于直线2x 对称且在0，2上单调递增的偶函数( )f x 162020 年 11 月 23 日国务院扶贫办确定的全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚 取得重大突破为了使扶贫工作继续推向深入，2021 年某原贫困县对家庭状况较困难 的农民实行购买农资优惠政策 （1）若购买农资不超过 2 000 元，则不给予优惠； （2）若购买农资超过 2 000 元但不超过 5 000 元，则按原价给予 9 折优惠； （3）若购买农资超过 5 000 元，不超过 5 000 元的部分按原价给予 9 折优惠，超过 5 000 元的部分按原价给予 7 折优惠 该县家境较困难的一户
9、农民预购买一批农资，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为 3 150 元和 4 850 元； 方案二：一次性付款购买 若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省元 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a中， 12 1aa，且 21 2 nnn aaa 记 1nnn baa ，求证： （1） n b是等比数列； （2） n b的前n项和 n T满足 31 12231 1 2 nn nn bbb T TTTTT 18 （本小题满分 12 分） 若( )si
10、n()f xx(0，0 2 )的部分图象如图所示， 1 (0) 2 f， 5 ()0 12 f （1）求( )f x的解析式； （2） 在锐角ABC 中， 若 AB， AB3 () 2125 f ， 求 AB cos 2 ， 并证明 2 5 sinA 5 19 （本小题满分 12 分） 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 F 在棱 CC1上，过 B，D1，F 三点的 正方体的截面与直线 AA1交于点 E （1）找到点 E 的位置，作出截面（保留作图痕迹） ，并说明理由； （2）已知 CFa，求将正方体分割所成的上半部分的体积 1 V与下半部分的体积 2 V之比 20 （本小
11、题满分 12 分） 天问一号火星探测器于 2021 年 2 月 10 日成功被火星捕获， 实现了中国在深空探测领域 的技术跨越 为提升探测器健康运转的管理水平， 西安卫星测控中心组织青年科技人员进行 探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对 A，B， C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示 规则如下：按照 A，B，C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题 （1）求甲获得的奖金 X 的分布列及均值； （2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获 得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 21(本题
12、满分 12 分) 已知动点 M 与两个定点 O(0，0)，A(3，0)的距离的比为 1 2 ，动点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线3x 上的动点 P(3，p)(p0)分别作 C 的两条切线 PQ、PR（Q、R 为切点） ， N 为弦 QR 的中点，直线 l：346xy分别与 x 轴、y 轴交于点 E、F，求NEF 的面积 S 的取值范围 22(本题满分 12 分) 已知函数 2 ( )cos1e x f xax ，且( )0 2 f （1）求实数a的值，并判断( )f x在(0， 2 )上的单调性； （2）对确定的kN ，求( )f x在2 2 k
13、 ，2k上的零点个数 山东省枣庄市 2021 届高三第二次模拟测试 数学试题 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 Alnx yx，B2sinyZ yx，则 AIB A(0，2B0，2C1，2D0，1，2 答案：C 解析：集合 Alnx yx(0，)，B2sinyZ yx2，1，0，1，2，所 以 AIB1，2，故选 C 2命题“nN ， 2 1nQ ”的否定为 AnN ， 2 1nQ BnN ， 2 1nQ CnN ， 2 1nQ DnN ， 2 1nQ 答案：C
14、解析：全称量词的否定，首先全称量词改为存在量词，其次否定结论，故选 C 3已知函数 ln2 e, 0 ( ) (3), 0 x x f x f xx ，则(2021)f A 2 e B2eC 2 2 e D 2 2e 答案：A 解析： 1 ln2 2 (2021)( 1)e e ff ，故选 A 4已知点(1，1)在抛物线 C： 2 2(0)ypx p上，则 C 的焦点到其准线的距离为 A 1 4 B 1 2 C1D2 答案：B 解析：因为点(1，1)在抛物线 C 上，所以 12p，p 1 2 ，故 C 的焦点到其准线的距离为 1 2 ， 故选 B 5 大数学家欧拉发现了一个公式： i eco
15、sisin x xx， i 是虚数单位， e 为自然对数的底数 此 公式被誉为“数学中的天桥” 根据此公式， 2022 (cosisin) 44 （注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算） A1B1CiDi 答案：D 解析： 20222 101110113 22 (cosisin)(i) iii 4422 ，故选 D 6若 6236 01236 (1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax，则 3 a A20B20C15D15 答案：B 解析： 6236 01236 (1)1(1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax， 33 36( 1) 20aC ， 故选 B 7医
16、用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层内层为亲肤材 质（普通卫生纱布或无纺布） ，中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层） ，外层 为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层） 根据国家质量监督检验标准，医 用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生 产的医用口罩的过滤率xN(0.9372，0.01392)若xN(， 2)( 0)，则 P( 2x2)0.9545，P(3x3)0.9973，0.9772550 0.3164有如下命题： 甲：P(x0.9)0.5；乙：P(x0.4)P(x1.5)；丙：P(x0.9789)0.00135
17、；丁： 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 50 只口罩中过滤率大于2的数量，则 P(X1)0.6其中假命题是 A甲B乙C丙 D丁 答案：D 解析：对于丁，P(X1) 0050 50 10.02275 0.9772510.31640.7C ，故假命题是丁，选 D 8已知椭圆 C 与双曲线 22 1xy有相同的左焦点 F1、右焦点 F2，点 P 是两曲线的一个交 点， 且 12 PF PF0 uu u r uuu r 过 F2作倾斜角为45o的直线交 C 于 A， B 两点 （点 A 在x轴的上方） ， 且 2 ABAF uuu ruuu r ，则的值为 A33B32 C23D22 答案
18、：A 解析：首先求出椭圆 C 的离心率是e 2 3 ，因为 2 ABAF uuu ruuu r ，所以 2 1 AFAB 1 uuu ruuu r ，2， 所以 2 12 1 13 () 1 1tan45 1 1 ，解得33，故选 A 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9已知0a ，0b ， 2 1ab，则 A 5 4 abB1ab C 1 2 a bD 3 23 a b 答案：BCD 解析：首先可得 0b1，当 3 4 a ， 1 2 b 时， 5 4 ab，故 A 错误
19、；经判断，其他选项 均正确，故选 BCD 10已知函数( )sin3 sin() 2 f xxx ，则 A( )f x在 2 ，上的最小值是1 B( )f x的最小正周期是 2 C直线() 2 k xkZ 是( )f x图象的对称轴 D直线 2 yx 与( )f x的图象恰有 2 个公共点 答案：ACD 解析：( )sin3 cosf xxx，()sin3 cos( )f xxxf x，而()( ) 2 f xf x ，故 ( )f x的 最 小 正 周 期 是， B错 误 ； 当x 2 ， 时 ， ( )sin3cos2sin() 3 f xxxx ，此时 3 x 6 ， 2 3 ，所以2s
20、in() 3 x 1， 2，故 A 正确； 2sin(), 0 32 ( ) 2sin(), 32 xx f x xx ，作出( )f x的图像，再作出直线 2 yx 的图像，可以 判断出 C、D 都正确，故选 ACD 11列昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci，11701250 年)是意大利数学家，1202 年斐波那契在其代表作算盘书中提出了著名的“兔子问题” ，于是得斐波那契数列， 斐波那契数列可以如下递推的方式定义：用( )()F n nN 表示斐波那契数列的第n项， 则数列( )F n满足：(1)(2)1FF，(2)(1)( )F nF nF n斐波那契数列在生活 中有
21、着广泛的应用，美国 13 岁男孩 Aidan Dwyer 观察到树枝分叉的分布模式类似斐 波那契数列，因此猜想可按其排列太阳能电池，找到了能够大幅改良太阳能科技的方 法苹果公司的 Logo 设计，电影达芬奇密码等，均有斐波那契数列的影子下列 选项正确的是 A 2 (8)(7)(9)1FFF B(1)(2)(6)1(8)FFFF C(2)(4)(2 )(2 1)2FFFnFn D 222 (1)(2)( )( )(1)FFF nF nF n 答案：BD 解析：选项 A， 22 (8)21F，(7) (9)113 341FF ，显然 2 (8)(7)(9)1FFF，A 错 误； 选项 C，当n3
22、时，(2)(4)(6)12FFF，(7)213211F，故 (2)F(4)(6)(7)2FFF，C 错误故选 BD 12如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是B1CD1 内部（不包括边界）的动点若 BDAP，则线段 AP 长度的 可能取值为 A 2 3 3 B 6 5 C 6 2 D 5 2 答案：ABC 解析： 根据 BD平面 ACC1A1， 设 O1为 A1C1与 B1D1的交点， 则平面 ACC1A1平面 B1CD1 O1C， 故点 P 在线段 O1C 上运动， 求得 O1AO1C 3 2 ， AC2， 点 A 到 O1C 的距离为 2 3 3 ，故 2 3 3
23、AP2，故选 ABC 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示， 为了解该地区中小学生的 近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2的学生进行调查，则抽取的高中生中近视人 数为 答案：20 解析：200050%2%20（人） 14如图，由四个全等的三角形与中间的一个小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形 ABCD 中，AF3AE uuruuu r ，设AFABADxy uuruuu ruuu r ，则xy的值为 答案： 6 5 解析：连接 BD 交 AF 于点 M，令 BF
24、1，则 AF3， tanFBMtan(ABF45) 1 2 ，所以 FM 1 2 ，AM 5 2 ， 根据等和线知识可得 AF36 5 AM5 2 xy 15写出一个图象关于直线2x 对称且在0，2上单调递增的偶函数( )f x 答案：答案不唯一，开放性试题，符合题意的均给分 解析：cos 2 x ；sin 4 x ；4xk，x4k2，4k2，kZ； 2 (4 )xk，x4k2， 4k2，kZ 等（符合题意的均给分，注意tan 4 x 不正确） 162020 年 11 月 23 日国务院扶贫办确定的全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚 取得重大突破为了使扶贫工作继续推向深入，2021
25、年某原贫困县对家庭状况较困难 的农民实行购买农资优惠政策 （1）若购买农资不超过 2 000 元，则不给予优惠； （2）若购买农资超过 2 000 元但不超过 5 000 元，则按原价给予 9 折优惠； （3）若购买农资超过 5 000 元，不超过 5 000 元的部分按原价给予 9 折优惠，超过 5 000 元的部分按原价给予 7 折优惠 该县家境较困难的一户农民预购买一批农资，有如下两种方案： 方案一：分两次付款购买，实际付款分别为 3 150 元和 4 850 元； 方案二：一次性付款购买 若采取方案二购买这批农资，则比方案一节省元 答案：700 解析：31500.93500，(4850
26、4500)0.750005500，350055009000， 450040000.77300，315048507300700 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a中， 12 1aa，且 21 2 nnn aaa 记 1nnn baa ，求证： （1） n b是等比数列； （2） n b的前n项和 n T满足 31 12231 1 2 nn nn bbb T TTTTT 解： （1）证明：由，得， 又，所以 n b是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， （2）由（1）
27、知， 于是， 因为，所以 18 （本小题满分 12 分） 若( )sin()f xx(0，0 2 )的部分图象如图所示， 1 (0) 2 f， 5 ()0 12 f （1）求( )f x的解析式； （2） 在锐角ABC 中， 若 AB， AB3 () 2125 f ， 求 AB cos 2 ， 并证明 2 5 sinA 5 解： （1）由，得，又，故， 由，得， 所以， 即， 由，结合函数图象可知，所以， 所以有，即，又，所以， 从而，因此，； （2）由，得， 又，故， 于是， 又，所以， 又在上单调递增， 所以 19 （本小题满分 12 分） 如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为
28、1，点 F 在棱 CC1上，过 B，D1，F 三点的 正方体的截面与直线 AA1交于点 E （1）找到点 E 的位置，作出截面（保留作图痕迹） ，并说明理由； （2）已知 CFa，求将正方体分割所成的上半部分的体积 1 V与下半部分的体积 2 V之比 解： （1）在正方形中，过 F 作 FGDC，且交棱于点 G， 连接 AG，在正方形内过作，且交棱于点 E， 连接，则四边形就是要作的截面， 理由：由题意，平面， ，平面平面， 应有， 同理，所以四边形应是平行四边形， 由作图过程，又 所以，所以四边形 ABFG 是平行四边形， 所以 AGBF，AGBF， 由作图过程，又 EA， 所以四边形是平行
29、四边形，所以 又，所以，且， 所以四边形是平行四边形，四边形就是要作的截面； 方法不唯一，其他方法正确的一律给分， （2）由题意，由（1）的证明过程，可得， 连接，则平面将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥 与四棱锥的组合体， 该正方体的体积所以 20 （本小题满分 12 分） 天问一号火星探测器于 2021 年 2 月 10 日成功被火星捕获， 实现了中国在深空探测领域 的技术跨越 为提升探测器健康运转的管理水平， 西安卫星测控中心组织青年科技人员进行 探测器遥控技能知识竞赛，已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立，做对 A，B， C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如
30、表所示 规则如下：按照 A，B，C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题 （1）求甲获得的奖金 X 的分布列及均值； （2）如果改变做题的顺序，获得奖金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获 得奖金的均值最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断） 解： （1）分别用 A，B，C 表示做对题目 A，B，C 的事件，则 A，B，C 相互独立， 由题意，X 的可能取值为 0，1000，3000，6 000 P(X0)P()0.2；P(X1000)P(A )0.80.40.32 P(X3000)0.80.60.60.288 P(X6000)P(ABC)0.80.60.40.192 所以甲获
31、得的奖金 X 的分布列为： E(X)00.210000.3230000.28860000.1922336； （2）改变做题的顺序，获得奖金的均值互不相同， 决策的原则是选择期望值 E(X)大的做题顺序，这称为期望值原则，做对的概率大 表示题目比较容易，做对的概率小表示题目比较难猜想：按照由易到难的顺序做 题，即按照题目 A，B，C 的顺序做题，得到奖金的期望值最大 21(本题满分 12 分) 已知动点 M 与两个定点 O(0，0)，A(3，0)的距离的比为 1 2 ，动点 M 的轨迹为曲线 C （1）求 C 的轨迹方程，并说明其形状； （2）过直线3x 上的动点 P(3，p)(p0)分别作 C
32、 的两条切线 PQ、PR（Q、R 为切点） ， N 为弦 QR 的中点，直线 l：346xy分别与 x 轴、y 轴交于点 E、F，求NEF 的面积 S 的取值范围 解： （1）设，由，得， 化简得，即， 故 C 是以(1，0)为圆心，半径为 2 的圆， （2）设，又，则 DP 的中点为， 以线段 DP 为直径的圆的方程为， 整理得 由题意，Q、R 在以 DP 为直径的圆上， 又 Q、R 在 C：上， 由，得， 所以，切点弦 QR 所在直线的方程为 可见 QR 恒过坐标原点 O(0，0)， 由消去 x 并整理得 设，则， 点 N 纵坐标， 因为，显然， 所以点 N 与点 D(1，0)，O(0，0
33、)均不重合， 因为 N 为弦 QR 的中点，且 D(1，0)为圆 C 的圆心， 由圆的性质，可得 DNQR，即 DNON， 所以点 N 在以 OD 为直径的圆上，圆心为 G( 1 2 ，0)，半径 r 1 2 ， 因为直线分别与 x 轴、y 轴交于点 E、F， 所以，因此， 圆心到直线的距离， 设NEF 的边 EF 上的高为 h，则点 N 到直线的距离 h 的最小值为 ；点 N 到直线的距离 h 的最大值为 S 的最小值，最大值 因此NEF 的面积 S 的取值范围是 22(本题满分 12 分) 已知函数 2 ( )cos1e x f xax ，且( )0 2 f （1）求实数a的值，并判断( )f x在(0， 2 )上的单调性； （2）对确定的kN ，求( )f x在2 2 k ，2k上的零点个数 解： （1）函数( )f x的定义域为 R， 所以，由题意，即 于是， 当时， 所以( )f x在(0， 2 )上单调递增； （2）因为， 所以与在 上有相同的零点， 当时， 又，所以， 所以，当时，单调递减， 又 由零点存在性定理及的单调性，知在上有且 仅有一个零点， 所以( )f x在上恰有一个零点
