2021届山东省枣庄市高三下学期4月模拟考试(二模)数学试题.doc

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1、山东省枣庄市 2021 届高三第二次模拟测试 数学试题 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1已知集合 Alnx yx,B2sinyZ yx,则 AIB A(0,2B0,2C1,2D0,1,2 2命题“nN , 2 1nQ ”的否定为 AnN , 2 1nQ BnN , 2 1nQ CnN , 2 1nQ DnN , 2 1nQ 3已知函数 ln2 e, 0 ( ) (3), 0 x x f x f xx ,则(2021)f A 2 e B2eC 2 2 e D 2 2e 4已

2、知点(1,1)在抛物线 C: 2 2(0)ypx p上,则 C 的焦点到其准线的距离为 A 1 4 B 1 2 C1D2 5 大数学家欧拉发现了一个公式: i ecosisin x xx, i 是虚数单位, e 为自然对数的底数 此 公式被誉为“数学中的天桥” 根据此公式, 2022 (cosisin) 44 (注:底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算) A1B1CiDi 6若 6236 01236 (1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax,则 3 a A20B20C15D15 7医用口罩由口罩面体和拉紧带组成,其中口罩面体分为内、中、外三层内层为亲肤材 质(普通卫生纱

3、布或无纺布) ,中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层) ,外层 为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层) 根据国家质量监督检验标准,医 用口罩的过滤率是重要的指标,根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常情况下生 产的医用口罩的过滤率xN(0.9372,0.01392)若xN(, 2)( 0),则 P( 2x2)0.9545,P(3x3)0.9973,0.9772550 0.3164有如下命题: 甲:P(x0.9)0.5;乙:P(x0.4)P(x1.5);丙:P(x0.9789)0.00135;丁: 假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 50 只口罩中过滤率大于2的数量,则

4、 P(X1)0.6其中假命题是 A甲B乙C丙 D丁 8已知椭圆 C 与双曲线 22 1xy有相同的左焦点 F1、右焦点 F2,点 P 是两曲线的一个交 点, 且 12 PF PF0 uu u r uuu r 过 F2作倾斜角为45o的直线交 C 于 A, B 两点 (点 A 在x轴的上方) , 且 2 ABAF uuu ruuu r ,则的值为 A33B32 C23D22 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9已知0a ,0b , 2 1ab,则 A 5 4 abB1ab C

5、 1 2 a bD 3 23 a b 10已知函数( )sin3 sin() 2 f xxx ,则 A( )f x在 2 ,上的最小值是 1 B( )f x的最小正周期是 2 C直线() 2 k xkZ 是( )f x图象的对称轴 D直线 2 yx 与( )f x的图象恰有 2 个公共点 11列昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci,11701250 年)是意大利数学家,1202 年斐波那契在其代表作算盘书中提出了著名的“兔子问题” ,于是得斐波那契数列, 斐波那契数列可以如下递推的方式定义:用( )()F n nN 表示斐波那契数列的第n项, 则数列( )F n满足:(1)(2

6、)1FF,(2)(1)( )F nF nF n斐波那契数列在生活 中有着广泛的应用,美国 13 岁男孩 Aidan Dwyer 观察到树枝分叉的分布模式类似斐 波那契数列,因此猜想可按其排列太阳能电池,找到了能够大幅改良太阳能科技的方 法苹果公司的 Logo 设计,电影达芬奇密码等,均有斐波那契数列的影子下列 选项正确的是 A 2 (8)(7)(9)1FFF B(1)(2)(6)1(8)FFFF C(2)(4)(2 )(2 1)2FFFnFn D 222 (1)(2)( )( )(1)FFF nF nF n 12如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,点 P 是B1CD1 内部(不

7、包括边界)的动点若 BDAP,则线段 AP 长度的 可能取值为 A 2 3 3 B 6 5 C 6 2 D 5 2 三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上) 13 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示, 为了解该地区中小学生的 近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2的学生进行调查,则抽取的高中生中近视人 数为 14如图,由四个全等的三角形与中间的一个小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形 ABCD 中,AF3AE uuruuu r ,设AFABADxy uuruuu ruuu r ,则xy的值为 第 13 题第

8、14 题 15写出一个图象关于直线2x 对称且在0,2上单调递增的偶函数( )f x 162020 年 11 月 23 日国务院扶贫办确定的全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽,脱贫攻坚 取得重大突破为了使扶贫工作继续推向深入,2021 年某原贫困县对家庭状况较困难 的农民实行购买农资优惠政策 (1)若购买农资不超过 2 000 元,则不给予优惠; (2)若购买农资超过 2 000 元但不超过 5 000 元,则按原价给予 9 折优惠; (3)若购买农资超过 5 000 元,不超过 5 000 元的部分按原价给予 9 折优惠,超过 5 000 元的部分按原价给予 7 折优惠 该县家境较困难的一户

9、农民预购买一批农资,有如下两种方案: 方案一:分两次付款购买,实际付款分别为 3 150 元和 4 850 元; 方案二:一次性付款购买 若采取方案二购买这批农资,则比方案一节省元 四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 10 分) 已知数列 n a中, 12 1aa,且 21 2 nnn aaa 记 1nnn baa ,求证: (1) n b是等比数列; (2) n b的前n项和 n T满足 31 12231 1 2 nn nn bbb T TTTTT 18 (本小题满分 12 分) 若( )si

10、n()f xx(0,0 2 )的部分图象如图所示, 1 (0) 2 f, 5 ()0 12 f (1)求( )f x的解析式; (2) 在锐角ABC 中, 若 AB, AB3 () 2125 f , 求 AB cos 2 , 并证明 2 5 sinA 5 19 (本小题满分 12 分) 如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,点 F 在棱 CC1上,过 B,D1,F 三点的 正方体的截面与直线 AA1交于点 E (1)找到点 E 的位置,作出截面(保留作图痕迹) ,并说明理由; (2)已知 CFa,求将正方体分割所成的上半部分的体积 1 V与下半部分的体积 2 V之比 20 (本小

11、题满分 12 分) 天问一号火星探测器于 2021 年 2 月 10 日成功被火星捕获, 实现了中国在深空探测领域 的技术跨越 为提升探测器健康运转的管理水平, 西安卫星测控中心组织青年科技人员进行 探测器遥控技能知识竞赛,已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立,做对 A,B, C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示 规则如下:按照 A,B,C 的顺序做题,只有做对当前题目才有资格做下一题 (1)求甲获得的奖金 X 的分布列及均值; (2)如果改变做题的顺序,获得奖金的均值是否相同?如果不同,你认为哪个顺序获 得奖金的均值最大?(不需要具体计算过程,只需给出判断) 21(本题

12、满分 12 分) 已知动点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离的比为 1 2 ,动点 M 的轨迹为曲线 C (1)求 C 的轨迹方程,并说明其形状; (2)过直线3x 上的动点 P(3,p)(p0)分别作 C 的两条切线 PQ、PR(Q、R 为切点) , N 为弦 QR 的中点,直线 l:346xy分别与 x 轴、y 轴交于点 E、F,求NEF 的面积 S 的取值范围 22(本题满分 12 分) 已知函数 2 ( )cos1e x f xax ,且( )0 2 f (1)求实数a的值,并判断( )f x在(0, 2 )上的单调性; (2)对确定的kN ,求( )f x在2 2 k

13、 ,2k上的零点个数 山东省枣庄市 2021 届高三第二次模拟测试 数学试题 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1已知集合 Alnx yx,B2sinyZ yx,则 AIB A(0,2B0,2C1,2D0,1,2 答案:C 解析:集合 Alnx yx(0,),B2sinyZ yx2,1,0,1,2,所 以 AIB1,2,故选 C 2命题“nN , 2 1nQ ”的否定为 AnN , 2 1nQ BnN , 2 1nQ CnN , 2 1nQ DnN , 2 1nQ 答案:C

14、解析:全称量词的否定,首先全称量词改为存在量词,其次否定结论,故选 C 3已知函数 ln2 e, 0 ( ) (3), 0 x x f x f xx ,则(2021)f A 2 e B2eC 2 2 e D 2 2e 答案:A 解析: 1 ln2 2 (2021)( 1)e e ff ,故选 A 4已知点(1,1)在抛物线 C: 2 2(0)ypx p上,则 C 的焦点到其准线的距离为 A 1 4 B 1 2 C1D2 答案:B 解析:因为点(1,1)在抛物线 C 上,所以 12p,p 1 2 ,故 C 的焦点到其准线的距离为 1 2 , 故选 B 5 大数学家欧拉发现了一个公式: i eco

15、sisin x xx, i 是虚数单位, e 为自然对数的底数 此 公式被誉为“数学中的天桥” 根据此公式, 2022 (cosisin) 44 (注:底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算) A1B1CiDi 答案:D 解析: 20222 101110113 22 (cosisin)(i) iii 4422 ,故选 D 6若 6236 01236 (1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax,则 3 a A20B20C15D15 答案:B 解析: 6236 01236 (1)1(1)(1)(1)(1)xaa xaxaxax, 33 36( 1) 20aC , 故选 B 7医

16、用口罩由口罩面体和拉紧带组成,其中口罩面体分为内、中、外三层内层为亲肤材 质(普通卫生纱布或无纺布) ,中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层) ,外层 为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层) 根据国家质量监督检验标准,医 用口罩的过滤率是重要的指标,根据长期生产经验,某企业在生产线状态正常情况下生 产的医用口罩的过滤率xN(0.9372,0.01392)若xN(, 2)( 0),则 P( 2x2)0.9545,P(3x3)0.9973,0.9772550 0.3164有如下命题: 甲:P(x0.9)0.5;乙:P(x0.4)P(x1.5);丙:P(x0.9789)0.00135

17、;丁: 假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 50 只口罩中过滤率大于2的数量,则 P(X1)0.6其中假命题是 A甲B乙C丙 D丁 答案:D 解析:对于丁,P(X1) 0050 50 10.02275 0.9772510.31640.7C ,故假命题是丁,选 D 8已知椭圆 C 与双曲线 22 1xy有相同的左焦点 F1、右焦点 F2,点 P 是两曲线的一个交 点, 且 12 PF PF0 uu u r uuu r 过 F2作倾斜角为45o的直线交 C 于 A, B 两点 (点 A 在x轴的上方) , 且 2 ABAF uuu ruuu r ,则的值为 A33B32 C23D22 答案

18、:A 解析:首先求出椭圆 C 的离心率是e 2 3 ,因为 2 ABAF uuu ruuu r ,所以 2 1 AFAB 1 uuu ruuu r ,2, 所以 2 12 1 13 () 1 1tan45 1 1 ,解得33,故选 A 二、多项选择题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分在每小题给出的四个选项中, 至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 9已知0a ,0b , 2 1ab,则 A 5 4 abB1ab C 1 2 a bD 3 23 a b 答案:BCD 解析:首先可得 0b1,当 3 4 a , 1 2 b 时, 5 4 ab,故 A 错误

19、;经判断,其他选项 均正确,故选 BCD 10已知函数( )sin3 sin() 2 f xxx ,则 A( )f x在 2 ,上的最小值是1 B( )f x的最小正周期是 2 C直线() 2 k xkZ 是( )f x图象的对称轴 D直线 2 yx 与( )f x的图象恰有 2 个公共点 答案:ACD 解析:( )sin3 cosf xxx,()sin3 cos( )f xxxf x,而()( ) 2 f xf x ,故 ( )f x的 最 小 正 周 期 是, B错 误 ; 当x 2 , 时 , ( )sin3cos2sin() 3 f xxxx ,此时 3 x 6 , 2 3 ,所以2s

20、in() 3 x 1, 2,故 A 正确; 2sin(), 0 32 ( ) 2sin(), 32 xx f x xx ,作出( )f x的图像,再作出直线 2 yx 的图像,可以 判断出 C、D 都正确,故选 ACD 11列昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci,11701250 年)是意大利数学家,1202 年斐波那契在其代表作算盘书中提出了著名的“兔子问题” ,于是得斐波那契数列, 斐波那契数列可以如下递推的方式定义:用( )()F n nN 表示斐波那契数列的第n项, 则数列( )F n满足:(1)(2)1FF,(2)(1)( )F nF nF n斐波那契数列在生活 中有

21、着广泛的应用,美国 13 岁男孩 Aidan Dwyer 观察到树枝分叉的分布模式类似斐 波那契数列,因此猜想可按其排列太阳能电池,找到了能够大幅改良太阳能科技的方 法苹果公司的 Logo 设计,电影达芬奇密码等,均有斐波那契数列的影子下列 选项正确的是 A 2 (8)(7)(9)1FFF B(1)(2)(6)1(8)FFFF C(2)(4)(2 )(2 1)2FFFnFn D 222 (1)(2)( )( )(1)FFF nF nF n 答案:BD 解析:选项 A, 22 (8)21F,(7) (9)113 341FF ,显然 2 (8)(7)(9)1FFF,A 错 误; 选项 C,当n3

22、时,(2)(4)(6)12FFF,(7)213211F,故 (2)F(4)(6)(7)2FFF,C 错误故选 BD 12如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,点 P 是B1CD1 内部(不包括边界)的动点若 BDAP,则线段 AP 长度的 可能取值为 A 2 3 3 B 6 5 C 6 2 D 5 2 答案:ABC 解析: 根据 BD平面 ACC1A1, 设 O1为 A1C1与 B1D1的交点, 则平面 ACC1A1平面 B1CD1 O1C, 故点 P 在线段 O1C 上运动, 求得 O1AO1C 3 2 , AC2, 点 A 到 O1C 的距离为 2 3 3 ,故 2 3 3

23、AP2,故选 ABC 三、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上) 13 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示, 为了解该地区中小学生的 近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2的学生进行调查,则抽取的高中生中近视人 数为 答案:20 解析:200050%2%20(人) 14如图,由四个全等的三角形与中间的一个小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形 ABCD 中,AF3AE uuruuu r ,设AFABADxy uuruuu ruuu r ,则xy的值为 答案: 6 5 解析:连接 BD 交 AF 于点 M,令 BF

24、1,则 AF3, tanFBMtan(ABF45) 1 2 ,所以 FM 1 2 ,AM 5 2 , 根据等和线知识可得 AF36 5 AM5 2 xy 15写出一个图象关于直线2x 对称且在0,2上单调递增的偶函数( )f x 答案:答案不唯一,开放性试题,符合题意的均给分 解析:cos 2 x ;sin 4 x ;4xk,x4k2,4k2,kZ; 2 (4 )xk,x4k2, 4k2,kZ 等(符合题意的均给分,注意tan 4 x 不正确) 162020 年 11 月 23 日国务院扶贫办确定的全国 832 个贫困县全部脱贫摘帽,脱贫攻坚 取得重大突破为了使扶贫工作继续推向深入,2021

25、年某原贫困县对家庭状况较困难 的农民实行购买农资优惠政策 (1)若购买农资不超过 2 000 元,则不给予优惠; (2)若购买农资超过 2 000 元但不超过 5 000 元,则按原价给予 9 折优惠; (3)若购买农资超过 5 000 元,不超过 5 000 元的部分按原价给予 9 折优惠,超过 5 000 元的部分按原价给予 7 折优惠 该县家境较困难的一户农民预购买一批农资,有如下两种方案: 方案一:分两次付款购买,实际付款分别为 3 150 元和 4 850 元; 方案二:一次性付款购买 若采取方案二购买这批农资,则比方案一节省元 答案:700 解析:31500.93500,(4850

26、4500)0.750005500,350055009000, 450040000.77300,315048507300700 四、解答题(本大题共 6 小题,共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 10 分) 已知数列 n a中, 12 1aa,且 21 2 nnn aaa 记 1nnn baa ,求证: (1) n b是等比数列; (2) n b的前n项和 n T满足 31 12231 1 2 nn nn bbb T TTTTT 解: (1)证明:由,得, 又,所以 n b是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, (2)由(1)

27、知, 于是, 因为,所以 18 (本小题满分 12 分) 若( )sin()f xx(0,0 2 )的部分图象如图所示, 1 (0) 2 f, 5 ()0 12 f (1)求( )f x的解析式; (2) 在锐角ABC 中, 若 AB, AB3 () 2125 f , 求 AB cos 2 , 并证明 2 5 sinA 5 解: (1)由,得,又,故, 由,得, 所以, 即, 由,结合函数图象可知,所以, 所以有,即,又,所以, 从而,因此,; (2)由,得, 又,故, 于是, 又,所以, 又在上单调递增, 所以 19 (本小题满分 12 分) 如图,正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为

28、1,点 F 在棱 CC1上,过 B,D1,F 三点的 正方体的截面与直线 AA1交于点 E (1)找到点 E 的位置,作出截面(保留作图痕迹) ,并说明理由; (2)已知 CFa,求将正方体分割所成的上半部分的体积 1 V与下半部分的体积 2 V之比 解: (1)在正方形中,过 F 作 FGDC,且交棱于点 G, 连接 AG,在正方形内过作,且交棱于点 E, 连接,则四边形就是要作的截面, 理由:由题意,平面, ,平面平面, 应有, 同理,所以四边形应是平行四边形, 由作图过程,又 所以,所以四边形 ABFG 是平行四边形, 所以 AGBF,AGBF, 由作图过程,又 EA, 所以四边形是平行

29、四边形,所以 又,所以,且, 所以四边形是平行四边形,四边形就是要作的截面; 方法不唯一,其他方法正确的一律给分, (2)由题意,由(1)的证明过程,可得, 连接,则平面将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥 与四棱锥的组合体, 该正方体的体积所以 20 (本小题满分 12 分) 天问一号火星探测器于 2021 年 2 月 10 日成功被火星捕获, 实现了中国在深空探测领域 的技术跨越 为提升探测器健康运转的管理水平, 西安卫星测控中心组织青年科技人员进行 探测器遥控技能知识竞赛,已知某青年科技人员甲是否做对每个题目相互独立,做对 A,B, C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如

30、表所示 规则如下:按照 A,B,C 的顺序做题,只有做对当前题目才有资格做下一题 (1)求甲获得的奖金 X 的分布列及均值; (2)如果改变做题的顺序,获得奖金的均值是否相同?如果不同,你认为哪个顺序获 得奖金的均值最大?(不需要具体计算过程,只需给出判断) 解: (1)分别用 A,B,C 表示做对题目 A,B,C 的事件,则 A,B,C 相互独立, 由题意,X 的可能取值为 0,1000,3000,6 000 P(X0)P()0.2;P(X1000)P(A )0.80.40.32 P(X3000)0.80.60.60.288 P(X6000)P(ABC)0.80.60.40.192 所以甲获

31、得的奖金 X 的分布列为: E(X)00.210000.3230000.28860000.1922336; (2)改变做题的顺序,获得奖金的均值互不相同, 决策的原则是选择期望值 E(X)大的做题顺序,这称为期望值原则,做对的概率大 表示题目比较容易,做对的概率小表示题目比较难猜想:按照由易到难的顺序做 题,即按照题目 A,B,C 的顺序做题,得到奖金的期望值最大 21(本题满分 12 分) 已知动点 M 与两个定点 O(0,0),A(3,0)的距离的比为 1 2 ,动点 M 的轨迹为曲线 C (1)求 C 的轨迹方程,并说明其形状; (2)过直线3x 上的动点 P(3,p)(p0)分别作 C

32、 的两条切线 PQ、PR(Q、R 为切点) , N 为弦 QR 的中点,直线 l:346xy分别与 x 轴、y 轴交于点 E、F,求NEF 的面积 S 的取值范围 解: (1)设,由,得, 化简得,即, 故 C 是以(1,0)为圆心,半径为 2 的圆, (2)设,又,则 DP 的中点为, 以线段 DP 为直径的圆的方程为, 整理得 由题意,Q、R 在以 DP 为直径的圆上, 又 Q、R 在 C:上, 由,得, 所以,切点弦 QR 所在直线的方程为 可见 QR 恒过坐标原点 O(0,0), 由消去 x 并整理得 设,则, 点 N 纵坐标, 因为,显然, 所以点 N 与点 D(1,0),O(0,0

33、)均不重合, 因为 N 为弦 QR 的中点,且 D(1,0)为圆 C 的圆心, 由圆的性质,可得 DNQR,即 DNON, 所以点 N 在以 OD 为直径的圆上,圆心为 G( 1 2 ,0),半径 r 1 2 , 因为直线分别与 x 轴、y 轴交于点 E、F, 所以,因此, 圆心到直线的距离, 设NEF 的边 EF 上的高为 h,则点 N 到直线的距离 h 的最小值为 ;点 N 到直线的距离 h 的最大值为 S 的最小值,最大值 因此NEF 的面积 S 的取值范围是 22(本题满分 12 分) 已知函数 2 ( )cos1e x f xax ,且( )0 2 f (1)求实数a的值,并判断( )f x在(0, 2 )上的单调性; (2)对确定的kN ,求( )f x在2 2 k ,2k上的零点个数 解: (1)函数( )f x的定义域为 R, 所以,由题意,即 于是, 当时, 所以( )f x在(0, 2 )上单调递增; (2)因为, 所以与在 上有相同的零点, 当时, 又,所以, 所以,当时,单调递减, 又 由零点存在性定理及的单调性,知在上有且 仅有一个零点, 所以( )f x在上恰有一个零点

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