1、2021 年上海市崇明区高考数学二模试卷年上海市崇明区高考数学二模试卷 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 5 分）分）. 1已知集合 Ax|1x2，B1，0，1，AB 2复数 zi（1+i）（i 是虚数单位）在复平面内所对应的点在第象限 3已知圆锥的底面面积为，母线长为 2，则该圆锥的高等于 4直线（t 为参数）的一个方向向量可以是 5已知（1x）n0，则实数 x 的取值范围是 6已知实数 x，y 满足条件，则 z2x+y 的最大值等于 7设 f（x）lgx，若 f（1a）f（a）0，则实数 a 的取值范围为 8已知（x）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 64，则该展开式中常数项
2、的值等于 9已知等差数列xn的公差 d0，随机变量等可能地取值 x1，x2，x3，x9，则方差 D 10某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验 活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站 在中间的概率等于.（用数字作答） 11设 yf 1（x）是函数 f（x） +sinx+，x，的反函数，则函数 yf （x）+f 1（x）的最小值等于 12在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（3，a）作圆 x2+y22x0 的两条切线，切点分别 为 M（x1，y1），N（x2，y2）若（x2x1）（x2+x1）+（y2y
3、1）（y2+y12）0，则实 数 a 的值等于 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）分） 13关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵为（） AB CD 14下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（） Ayx3ByCylgxDysinx 15数列an满足 a12，则“对任意的 p，rN*，都有 ap+rapar是“an为等比数列”的 （） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 16已知以下三个陈述句： p：存在 aR 且 a0，对任意的 xR，均有 f（2x a）f（2x）+f（a）恒成立； q1：函数 y
4、f（x）是减函数，且对任意的 xR，都有 f（x）0； q2：函数 yf（x）是增函数，存在 x00，使得 f（x0）0； 用这三个陈述句组成两个命题，命题 S：“若 q1，则 p”；命题 T：“若 q2，则 p” 关于 S，T，以下说法正确的是（） A只有命题 S 是真命题 B只有命题 T 是真命题 C两个命题 S，T 都是真命题 D两个命题 S，T 都不是真命题 三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 5 题题，满分满分 76 分分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤】区域内写出必要的步骤】 17如图，直三棱柱 ABCA1
5、B1C1中，ABAC1，BAC，A1A4，点 M 为线段 A1A 的中点 （1）求直三棱柱 ABCA1B1C1的表面积； （2）求异面直线 BM 与 B1C1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 18已知函数 f（x）2sinxcosx+2cos2x1（xR） （）求函数 f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值； （）若 f（x0），x0，求 cos2x0的值 19某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为 C（x） 当 年 产 量 不 足 80 件 时 ，（ 万 元 ） ； 当 年 产 量 不 小 于 80 件 时.（万元）每件商品售价为
6、50 万元，通过市场分析，该厂生 产的产品能全部售完 （1）写出年利润 L（x）（万元）关于年产量 x（件）的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 20（16 分）双曲线 C：x21（b0）的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B 是双曲线 C 上一点 （1）当 b2 时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线 BF 的倾斜角为，与双曲线 C 的另一交点为 D，且|BD|8，求 b 的值； （3）若0，且|，点 E 是双曲线 C 上位于第一象限的动点，求证： EFA2EAF 21 （18 分）对于数列an，定义an为数列an的差分数列，其中anan+1an，n
7、N*， 如果对任意的 nN*，都有an+1an，则称数列an为差分增数列 （1）已知数列 1，2，4，x，16，24 为差分增数列，求实数 x 的取值范围； （2）已知数列an为差分增数列，且 a1a21，anN*若 ak2021，求非零自然数 k 的最大值； （3）已知项数为 2k 的数列log3an（n1，2，3，2k）是差分增数列，且所有项的 和等于 k，证明：akak+13 参考答案参考答案 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，其中分，其中 16 题每题题每题 4 分，分，712 题每题题每题 5 分）分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直
8、接填写结果】【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果】 1已知集合 Ax|1x2，B1，0，1，AB0，1 【分析】直接根据交集的定义即可求出 解：集合 Ax|1x2，B1，0，1， 则 AB0，1， 故答案为：0，1 2复数 zi（1+i）（i 是虚数单位）在复平面内所对应的点在第二象限 【分析】由 i（1+i）1+i，由此能求出复数 i（1+i）的复数在复平面内对应的点所在 的象限 解：i（1+i）i+i21+i， i（1+i）即复数为1+i， 1+i 在复平面内对应的点（1，1）位于第二象限 故答案为：二 3已知圆锥的底面面积为，母线长为 2，则该圆锥的高等于 【分析】求出圆锥的底面
9、半径，结合勾股定理求解圆锥的高即可 解：圆锥的底面面积为，所以圆锥的底面半径为：r， r2，解得 r1，母线长为 2， 则该圆锥的高： 故答案为： 4直线（t 为参数）的一个方向向量可以是 【分析】先将直线的参数方程化为一般方程，求出直线的斜率，得到直线的方向向量 解：把直线（t 为参数）化为一般方程为 2x+y50， 因为直线 2x+y50 的斜率为2， 故直线（t 为参数）的一个方向向量可以是 故答案为： 5已知（1x）n0，则实数 x 的取值范围是（0，2） 【分析】结合题意得到关于 x 的不等式，解出即可 解：（1x）n0， 11x1， 解得：0 x2， 故答案为：（0，2） 6已知实
10、数 x，y 满足条件，则 z2x+y 的最大值等于3 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，A（1，1）， 由 z2x+y，得 y2x+z，由图可知，当直线 y2x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距 最大， z 有最大值为 3 故答案为：3 7设 f（x）lgx，若 f（1a）f（a）0，则实数 a 的取值范围为 【分析】由题意，f（x）lgx 在（0，+）上单调递增，利用 f（a）f（a）0，可 得aa0，即可求出实数 a 的取值范围 解：由题意，f（x）lgx 在（0，+）上单调递增， f（1a）f（a）0， 1aa0， a， 故答案为 8已
11、知（x）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 64，则该展开式中常数项 的值等于60 解：（x）n的二项展开式中，所有二项式系数的和等于 2n64，则 n6， 故展开式的通项公式为 Tr+1C6rx6 r（2）rx2rC6rx63r（2）r， 令 63r0，求得 r2， 可得展开式中常数项等于 C62（2）260 故答案为：60 9已知等差数列xn的公差 d0，随机变量等可能地取值 x1，x2，x3，x9，则方差 D 解：因为xn是等差数列，公差为 d， 所以， 所以方差 D （x1x5） 2+ （x2x5）2+ （x9x5）2 故答案为： 10某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 4 名
12、男生和 2 名女生参加农场体验活动，体验 活动结束后，农场主与 6 名同学站成一排合影留念，则 2 名女生互不相邻，且农场主站 在中间的概率等于.（用数字作答） 解：根据题意，农场主与 6 名同学站成一排，有 A775040 种不同的站法， 若农场主站在中间，有 A66720 种不同的站法，农场主人站在中间，两名女生相邻共有 4A22A44192 种站法， 则 2 名女生互不相邻，且农场主站在中间的站法有 A664A22A44528 种站法， 则其概率 P， 故答案为： 11设 yf 1（x）是函数 f（x） +sinx+，x，的反函数，则函数 yf （x）+f 1（x）的最小值等于 【分析】
13、先求出 f（x）的值域，从而得到 yf 1（x）的定义域，进而得到 yf（x）+f1 （x）的定义域，利用 f（x）与 f 1（x）的单调性相同，分别求解即可 解：因为函数 f（x）+sinx+在 x，上是单调递增函数， 又 yf 1（x）是函数 f（x）的反函数， 所以 f（x）与 f 1（x）的单调性相同， 函数 f（x）在 x，上的值域为， 函数 yf（x）+f 1（x）的定义域为 ， 因为，故， 所以 yf（x）+f 1（x）的最小值为 故答案为： 12在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（3，a）作圆 x2+y22x0 的两条切线，切点分别 为 M（x1，y1），N（x2，y2）若
14、（x2x1）（x2+x1）+（y2y1）（y2+y12）0，则实 数 a 的值等于4 解：x2+y22x0 化为：（x1）2+y21，可得圆心 C（1，0） （x2x1）（x2+x1）+（y2y1）（y2+y12）0， +2（y2y1）0， 利用圆的方程可得：+2x20，+x10， 2x1+2x22（y2y1）0， 1， 由圆的切线性质可得：kMNkCP1，1， 11，解得 a4 故答案为：4 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分）分） 13关于 x、y 的二元一次方程组的增广矩阵为（） AB CD 解：的增广矩阵， 故选：C 14下列函数中，既是奇函数
15、又在区间（0，1）上单调递增的是（） Ayx3ByCylgxDysinx 解：yx3在（0，1）上单调递减，不符合题意； ymylgx 为非奇非偶函数，不符合题意； ysinx 为奇函数且在（0，1）上单调递增 故选：D 15数列an满足 a12，则“对任意的 p，rN*，都有 ap+rapar是“an为等比数列”的 （） A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分也非必要条件 解：对任意的 p，rN*，都有 ap+rapar，若 ap0，则 ap+r0，因此数列an不是等比 数列； 反之也不成立：例如取 an2，则 a324a1a2， “对任意的 p，rN*，都有 ap+rapa
16、r是“an为等比数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D 16已知以下三个陈述句： p：存在 aR 且 a0，对任意的 xR，均有 f（2x a）f（2x）+f（a）恒成立； q1：函数 yf（x）是减函数，且对任意的 xR，都有 f（x）0； q2：函数 yf（x）是增函数，存在 x00，使得 f（x0）0； 用这三个陈述句组成两个命题，命题 S：“若 q1，则 p”；命题 T：“若 q2，则 p” 关于 S，T，以下说法正确的是（） A只有命题 S 是真命题 B只有命题 T 是真命题 C两个命题 S，T 都是真命题 D两个命题 S，T 都不是真命题 【分析】由指数函数的单调性和不等式的性质
17、，结合不等式恒成立思想，可判断结论 解：对于命题 S：“若 q1，则 p”； 当 f（x）单调递减且 f（x）0 恒成立时，存在 a0，此时 2x a2x， 而 f（x）递减，所以 f（2x a）f（2x）， 又因为 f（x）0 恒成立， 则 f（a）0，则有 f（2x a）f（2x）+f（a）恒成立； 对于命题 T：“若 q2，则 p” 当 f（x）递增，存在 x00，使得 f（x0）0， 存在 a0，则 ax0，f（a）0， 由于 a0，则 2x a2x， 而 f（x）递增，则 f（2x a）f（2x）， 故 f（2x a）f（2x）+f（a）恒成立， 命题 T 也为真命题 两个命题 S，
18、T 都是真命题 故选：C 三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 5 题题，满分满分 76 分分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤】区域内写出必要的步骤】 17如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC1，BAC，A1A4，点 M 为线段 A1A 的中点 （1）求直三棱柱 ABCA1B1C1的表面积； （2）求异面直线 BM 与 B1C1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） 解：（1）直三棱柱 ABCA1B1C1的底面积为11， 侧面积为（1+1+）48+4， 所以直三棱柱 ABCA1B1C1的表面积为 2+8+49
19、+4； （2）因为 BCB1C1，所以MBC（或补角）即为异面直线 BM 与 B1C1所成的角 连接 CM，在三角形 MBC 中，BC，BM，CM， 可得 cosMBC 所以异面直线 BM 与 B1C1所成的角的大小为 arccos 18已知函数 f（x）2sinxcosx+2cos2x1（xR） （）求函数 f（x）的最小正周期及在区间0，上的最大值和最小值； （）若 f（x0），x0，求 cos2x0的值 【分析】先将原函数化简为 yAsin（x+）+b 的形式 （1）根据周期等于 2除以可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间0，上的 最值 （2）将 x0代入化简后的函数解析式可得到 s
20、in（2x0+），再根据 x0的范围可求出 cos（2x0+）的值， 最后由 cos2x0cos（2x0+）可得答案 解：（1）由 f（x）2sinxcosx+2cos2x1，得 f（x）（2sinxcosx）+（2cos2x1）sin2x+cos2x2sin（2x+） 所以函数 f（x）的最小正周期为 因为 f（x）2sin（2x+）在区间0，上为增函数，在区间，上为减函数， 又 f（0）1，f（）2，f（）1，所以函数 f（x）在区间0，上的最大值 为 2，最小值为1 （）由（1）可知 f（x0）2sin（2x0+） 又因为 f（x0），所以 sin（2x0+） 由 x0，得 2x0+，
21、从而 cos（2x0+） 所以 cos2x0cos（2x0+）cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin 19某工厂某种航空产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 件，需另投入成本为 C（x） 当 年 产 量 不 足 80 件 时 ，（ 万 元 ） ； 当 年 产 量 不 小 于 80 件 时.（万元）每件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生 产的产品能全部售完 （1）写出年利润 L（x）（万元）关于年产量 x（件）的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：（1）当 0 x80 时，根据年利润销售收入成本， L（x）50 xx210
22、x250 x2+40 x250； 当 x80 时，根据年利润销售收入成本， L（x）50 x51x+14502501200（x+） 综合可得，L（x） （2）当 0 x80 时，L（x）x2+40 x250（x60）2+950， 当 x60 时，L（x）取得最大值 L（60）950 万元； 当 x80 时，L（x）1200（x+）1200212002001000， 当且仅当 x，即 x100 时，L（x）取得最大值 L（100）1000 万元 综合，由于 9501000， 当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 1000 万元 20（16 分）双曲线 C：x21（b
23、0）的左顶点为 A，右焦点为 F，点 B 是双曲线 C 上一点 （1）当 b2 时，求双曲线两条渐近线的夹角； （2）若直线 BF 的倾斜角为，与双曲线 C 的另一交点为 D，且|BD|8，求 b 的值； （3）若0，且|，点 E 是双曲线 C 上位于第一象限的动点，求证： EFA2EAF 解：（1）由 b2，可得双曲线的方程为 x21，渐近线方程为 y2x， 则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为|， 即有夹角为 arctan； （2） 直线 BF 的斜率为 tan1， 又 F （， 0） ， 则直线 BF 的方程为 yx， 设 B（x1，y1），D（x2，y2）， 由可得（1）y2+2y+b2
24、0， 所以 y1+y2，y1y2， 所以|BD|y1y2|8， 化为 1，解得 b； （3）证明：令 xc，则 c21，解得 ybb2， 由 BFAF 时，|BF|b2，而|AF|1+，所以 b21+， 解得 b，即双曲线的方程为 x21，A（1，0），F（2，0）， 设 E（m，n），可得 n23（m21）， tanEFA，tanEAF， 所以 tan2EAFtan EFA， 因为 E 为第一象限的点，可得EFA2EAF 21 （18 分）对于数列an，定义an为数列an的差分数列，其中anan+1an，nN*， 如果对任意的 nN*，都有an+1an，则称数列an为差分增数列 （1）已知数
25、列 1，2，4，x，16，24 为差分增数列，求实数 x 的取值范围； （2）已知数列an为差分增数列，且 a1a21，anN*若 ak2021，求非零自然数 k 的最大值； （3）已知项数为 2k 的数列log3an（n1，2，3，2k）是差分增数列，且所有项的 和等于 k，证明：akak+13 【解答】（1）解：数列 1，2，4，x，16，24 的差分数列为 1，2，x4，16x，8， 由题意可得，解得 8x10， 故实数 x 的取值范围是（8，10） （2）解：由题意，a10，anN， 因为数列an为差分增数列，所以对任意的 nN*，都有an+1an， 所以a2a10，a21，同理，a3
26、2，akk1，kN*， 所以当 k2 时，aka1+a1+a2+ak11+1+2+（k2）1+， 所以 20211+， 解得 k65， 所以非零自然数 k 的最大值为 65 （3）证明：假设 akak+13， 由题意知 an0（n1，2，3，2k）， 因为项数为 2k 的数列log3an所有项的和等于 k， 所以 log3a1+log3a2+log3a3+log3a2kk， 即 log3a1a2a3a2kk， 所以 a1a2a3a2k3k， 因为数列log3an（n1，2，3，2k）是差分增数列， 所以 log3an+1log3anlog3an+2log3an+1， 所以，因此， 所以对任意的 mk1，mN*，都有，即 am+1a2kmama2k+1m， 所以 a1a2ka2a2k1a3a2k2akak+13， 所以 a1a2a3a2k3k与 a1a2a3a2k3k矛盾， 故假设不成立，所以 akak+13
