1、1 1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1992 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设商品的需求函数为1005QP,其中,Q P分别表示为需求量和价格,如果商品需 求弹性的绝对值大于 1,则商品价格的取值范围是_. (1)【答案】(10,20 【解析】根据( )10050Q PP,得价格20P ,又由1005QP得( )5Q P , 按照经济学需求弹性的定义,有 ( )5 ( )1005 Q PP P Q PP , 令 55 1 1
2、0051005 PP PP ,解得10P . 所以商品价格的取值范围是(10,20. (2) 级数 2 1 (2) 4 n n n x n 的收敛域为_. (2)【答案】(0,4) 【解析】因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性. 首先当20 x即2x 时级数收敛. 当2x 时,后项比前项取绝对值求极限有 2(1)22 12 (2)4(2)(2) limlim, (1)4(2)414 nn nn nn xnxnx nxn 当 2 (2) 1 4 x ,即当02202xx或24x时级数绝对收敛. 又当0 x 和4x 时得正项级数 1 1 n n ,由p级数： 1 1 p n
3、 n 当1p 时收敛； 当1p 时发散. 所以正项级数 1 1 n n 是发散的. 综合可得级数的收敛域是(0,4). 注：注：本题也可作换元 2 (2)xt后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幂级数 1 4 n n n t n 的收 2 敛性. 【相关知识点】收敛半径的求法：如果 1 n lim n n a a ,其中 1 , nn a a 是幂级数 0 n n n a x 的相邻 两项的系数,则这幂级数的收敛半径 1 , 0, , 0, 0, . R (3) 交换积分次序 2 12 0 ( , ) y y dyf x y dx _. (3)【答案】 22 122 0010 ( , )( ,
4、) xx dxf x y dydxf x y dy 【解析】 这是一个二重积分的累次积分,改换积分次序时,先表成： 原式( , ). D f x y dxdy 由累次积分的内外层积分限确定积分区域D： 2 ( , ) 01,2Dx yyyxy, 即D中最低点的纵坐标0y ,最高点的纵坐标 1y ,D的左边界的方程是xy,即 2 yx的右支,D的右边界的方程是 2 2xy即 22 2xy的右半圆, 从而画出D的图形如图中的阴影部分,从图形可见 12 DDD,且 2 1 2 2 ( , ) 01,0, ( , )12,02. Dx yxyx Dx yxyx 所以 222 12122 00010 (
5、 , )( , )( , ). yxx y dyf x y dxdxf x y dydxf x y dy (4) 设A为m阶方阵,B为n阶方阵,且 0 , 0 A Aa Bb C B ,则C _. (4)【答案】( 1)mnab 【解析】由拉普拉斯展开式, 0 ( 1)( 1) 0 mnmn A CA Bab B . 【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵,B是n阶矩阵,则 x y D 12O 3 * , * AOA AB BOB * 1 * mn OAA AB BBO . (5) 将, ,C C E E I N S等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词 SCIENC
6、E 的 概率为_. (5)【答案】 1 1260 【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可. 设所求概率为( )P A,易见,这是一个古典型概率的计算问题,将给出的七个字母任意排 成一行,其全部的等可能排法为 7!种,即基本事件总数为7!n ,而有利于事件A的样本点 数为2! 2!,即有利事件的基本事件数为 4,根据古典概型公式 2! 2!1 ( ) 7!1260 P A . 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1) 设 2 ( )( ) x a x F xf t dt xa ,其中(
7、 )f x为连续函数,则lim( ) xa F x 等于() (A) 2 a(B) 2 ( )a f a (C) 0(D) 不存在 (1)【答案】(B) 【解析】方法 1:方法 1:lim( ) xa F x 为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在, 所以可应用洛必达法则. 2 2 ( ) lim( )lim( )lim x x a axaxaxa f t dt x F xf t dta xaxa 2 2 ( ) lim( ) 1 xa a f x a f a . 故应选(B). 方法 2:方法 2: 特殊值法. 取( )2f x ,则 2 2 lim( )lim22 x
8、 axaxa x F xdta xa . 显然(A),(C),(D)均不正确,故选(B). 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式： 若 ( ) ( ) ( )( ) t t F tf x dx ,( ) t,( ) t均一阶可导,则 ( )( )( )( )( )F ttfttft . 4 (2) 当0 x 时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?() (A) 2 x(B)1 cosx (C) 2 11x(D)tanxx (2)【答案】(D) 【解析】由于0 x 时, 222 11 1 cos, 11 22 xxxx,故 22 ,1 cos , 11xxx 是同阶无穷小
9、,可见应选(D). (3) 设A为m n矩阵,齐次线性方程组0Ax 仅有零解的充分条件是() (A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关 (C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关 (3)【答案】(A) 【解析】齐次方程组0Ax 只有零解( )r An. 由于( )r AA的行秩 A的列秩,现A是m n矩阵,( )r An,即A的列向量线性无 关.故应选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax ,有定理如下: 对矩阵A按列分块,有 12n A, ,则0Ax 的向量形式为 1122 0 nn xxx. 那么,0Ax 有非零解 12n , 线性相关 12n r,n r An. (
10、4) 设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,则() (A)( )( )( ) 1P CP AP B(B)( )( )( ) 1P CP AP B (C)( )()P CP AB(D)( )()P CP AB (4)【答案】(B) 【解析】依题意：由“当事件A与B同时发生时,事件C必发生”得出ABC,故 ()( )P ABP C；由概率的广义加法公式()( )( )()P ABP AP BP AB推出 ()( )( )()P ABP AP BP AB；又由概率的性质()1P AB ,我们得出 ( )()( )( )()( )( ) 1P CP ABP AP BP ABP AP B, 因此应选(
11、B). 5 (5) 设n个随机变量 12 , n XXX独立同分布, 2 1 1 1 (), n i i D XXX n 22 1 1 () 1 n i i SXX n ,则() (A)S是的无偏估计量(B)S是的最大似然估计量 (C)S是的相合估计量(即一致估计量)(D)S与X相互独立 (5)【答案】(C) 【解析】根据简单随机样本的性质,可以将 12 , n XXX视为取自方差为 2 的某总体 X的简单随机样本,X与 2 S是样本均值与样本方差. 由于样本方差 2 S是总体方差的无偏估计量,因此 22, ESES,否则若ES, 则 22 ()ES, 22 ()0DSESES.故不能选(A)
12、. 对于正态总体,S与X相互独立,由于总体X的分布未知,不能选(D).同样因总体分 布未知,也不能选(B).综上分析,应选(C).进一步分析,由于样本方差 2 S是 2 的一致估计量, 其连续函数 2 SS一定也是的一致估计量. 三、(本题满分 5 分)三、(本题满分 5 分) 设函数 lncos(1) ,1, 1 sin( ) 2 1,1. x x xf x x 问函数( )f x在1x 处是否连续?若不连续,修 改函数在1x 处的定义使之连续. 【解析】函数( )f x在 0 xx处连续,则要求 0 0 lim( )() xx f xf x . 方法 1:方法 1:利用洛必达法则求极限 1
13、 lim( ) x f x ,因为 1 lim( ) x f x 为“ 0 0 ”型的极限未定式,又分子分 母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有 1111 sin(1) lncos(1)2tan(1)cos(1) lim( )limlimlim 1 sincoscos 2222 xxxx x xxx f x xxx 6 2 2 1 1 24cos (1) lim ( sin) 22 x x x . 而(1)1f,故 1 lim( )1 x f x ,所以( )f x在1x 处不连续. 若令 2 4 (1)f ,则函数( )f x在1x 处连续. 方法 2:方法 2:利用变量代换
14、与等价无穷小代换,0 x 时, 2 1 cos1 2 xx；ln(1) xx. 求极限 1 lim( ) x f x ,令1xt ,则有 1100 lncos(1)lncosln1 (cos1) lim( )limlimlim 1 sin1 cos1 cos 222 xxtt xtt f x xtt 2 222 00 22 1 cos14 2 limlim 1 248 tt t t tt . 以下同方法 1. 四、(本题满分 5 分)四、(本题满分 5 分) 计算 arccot . x x e Idx e 【解析】用分部积分法: 2 arccotarccot 1 x xxxxx x e Ie
15、deeeedx e 2 2 arccot(1) 1 x xx x e eedx e 2 1 arccotln(1) 2 xxx eexeC ,其中C为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计 算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. 【相关知识点】分部积分公式：假定( )uu x与( )vv x均具有连续的导函数,则 ,uv dxuvu vdx 或者.udvuvvdu 五、(本题满分 5 分)五、(本题满分 5 分) 设sin()( ,) x zxyx y ,求 2z x y ,其中( , )u v有二阶偏导数. 7 【
16、解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何复 合的. 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求 z x ,再求() z yx . 由复合函数求导法,首先求 x z ,由题设 12 1 cos() x zyxy y , 再对y求偏导数,即得 122 2 11 cos()sin()()() xyyy zxyxyxy yy 12222 2 11 cos()sin() yy xx xyxyxy yyyy 12222 232 1 cos()sin() xx xyxyxy yyy . 【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数( , ),( , )ux
17、 y vx y都在点( , )x y具 有对x及对y的偏导数,函数( , )zf u v在对应点( , )u v具有连续偏导数,则复合函数 ( ( , ),( , )zfx yx y在点( , )x y的两个偏导数存在,且有 12 zzuzvuv ff xuxv xxx ； 12 zzuzvuv ff yuyv yyy . 六、(本题满分 5 分)六、(本题满分 5 分) 求连续函数( )f x,使它满足 2 0 ( )2( ) x f xf t dtx . 【解析】两端对x求导,得( )2 ( )2fxf xx.记( )2,( )2P xQ xx,有通解 ( )( ) 222 1 ( )(
18、)( 2) 2 P x dxP x dx xxx f xeQ x edxCexe dxCCex , 其中C为任意常数. 由原方程易见(0)0f,代入求得参数 1 2 C .从而所求函数 2 11 ( ) 22 x f xex . 【相关知识点】一阶线性非齐次方程( )( )yP x yQ x 的通解为 8 ( )( ) ( ) P x dxP x dx yeQ x edxC ,其中C为任意常数. 七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分) 求证:当1x 时, 2 12 arctanarccos 214 x x x . 【解析】方法 1：方法 1：令 2 12 ( )arctanarcco
19、s 214 x f xx x ,则 22 2222 12(1)(1) ( )0(1) 12 (1)(1) xx fxx xxx . 因为( )f x在1,)连续,所以( )f x在1,)上为常数,因为常数的导数恒为 0. 故( )(1)0f xf,即 2 12 arctanarccos 214 x x x . 方法 2：方法 2：令 2 12 ( )arctanarccos 214 x f xx x ,则( )f x在1, x上连续,在(1, )x内可导, 由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(1, ) x,使得 ( )(1)( )(1).f xffx 由复合函数求导法则,得 22 2222 1
20、2(1)(1) ( )0(1) 12 (1)(1) xx fxx xxx , 所以( )(1)f xf.由(1)0f可得,当1x 时, 2 12 arctanarccos 214 x x x . 【相关知识点】复合函数求导法则: 如果( )ug x在点x可导,而( )yf x在点( )ug x可导,则复合函数( )yf g x 在点x可导,且其导数为 ( )( ) dy f ug x dx 或 dydy du dxdu dx . 八、(本题满分 9 分)八、(本题满分 9 分) 设曲线方程(0) x yex . (1) 把曲线 x ye,x轴,y轴和直线(0)x 所围成平面图形绕x轴旋转一周,
21、 得一旋转体,求此旋转体体积( )V;求满足 1 ( )lim( ) 2 V aV 的a. (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求 出该面积. 【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求( )V,并求出极限lim( )V .问题 9 (2)是导数在求最值中的应用,首先建立目标函数,即面积函数,然后求最大值. (1)将曲线表成y是x的函数,套用旋转体体积公式 2222 00 ( )(1), ( )(1), 22 xa Vy dxedxeV ae 2 lim( )lim(1) 22 Ve . 由题设知 2 (1) 24 a e ,得 1 ln2
22、2 a . (2) 过曲线上已知点 00 (,)xy的切线方程为 00 ()yyk xx,其中当 0 ()y x存在时, 0 ()ky x. 设切点为( ,) a a e,则切线方程为() aa yeexa . 令0 x ,得(1) a yea ,令0y ,得1xa . 由三角形面积计算公式,有切线与两个坐标轴夹的面积为 2 1 (1) 2 a Sa e. 因 22 11 (1)(1)(1), 22 aaa Sa ea ea e 令0,S 得 12 1,1aa (舍去). 由于当1a 时,0S ； 当1a 时,0S.故当1a 时,面积S有极大值,此问题中即为最 大值. 故所求切点是 1 (1,
23、)e,最大面积为 211 1 22 2 See . 【相关知识点】由连续曲线( )yf x、直线,xa xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋 转一周所得的旋转体体积为： 2( ) b a Vfx dx . 九、(本题满分 7 分)九、(本题满分 7 分) 设矩阵A与B相似,其中 200100 22 ,020 31100 AxB y . (1) 求x和y的值. (2) 求可逆矩阵P,使得 1 P APB . 【解析】因为AB,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数x和y的值.若 1 P AP ,则是A的特征向量.求可逆矩阵P就是求A的特征向量. (1) 因为AB,故其特征多项式相同,即,EAEB
24、即 10 2 (2)(1)(2)(1)(2)()xxy. 由于是的多项式,由的任意性, 令0,得2(2)2xy.令1,得3 ( 2)2(1) y . 由上两式解出2y 与0 x . (2) 由(1)知 200100 202020 311002 . 因为B恰好是对角阵,所以马上可得出矩阵A的特征值,矩阵A的特征值是 123 1,2,2 . 当 1 1 时,由()0EA x, 100100 212012 312000 , 得到属于特征值1 的特征向量 1 (0, 2,1)T. 当 2 2时,由(2)0EA x, 400100 222011 311000 , 得到属于特征值2的特征向量 2 (0,1
25、,1)T. 当 3 2 时,由( 2)0EA x, 000111 222010 313000 . 得到属于特征值2 的特征向量 3 (1,0, 1)T. 那么令 123 001 (,)210 111 P ,有 1 P APB . 十、(本题满分 6 分)十、(本题满分 6 分) 已知三阶矩阵0B ,且B的每一个列向量都是以下方程组的解: 123 123 123 220, 20, 30. xxx xxx xxx (1) 求的值;(2) 证明0B . 11 【解析】对于条件0AB 应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组0Ax 的解；另 一个是秩的信息即( )( )r Ar Bn.要有这两种思考
26、问题的意识. (1) 方法 1：方法 1： 令 122 21 311 A ,对 3 阶矩阵A,由0AB ,0B 知必有0A ,否则A 可逆,从而 11 ()00BAABA ,这与0B 矛盾. 故 122 210 311 A , 用行列式的等价变换,将第三列加到第二列上,再按第二列展开,有 102 215(1)0 301 A . 解出1. 方法 2：方法 2：因为0B ,故B中至少有一个非零列向量.依题意,所给齐次方程组0Ax 有非零 解,得系数矩阵的列向量组线性相关,于是 122 210 311 A , 以下同方法一. (2) 反证法：对于0AB ,若0B ,则B可逆,那么 11 00AAB
27、BB .与已知条 件0A 矛盾.故假设不成立,0B . 【相关知识点】对齐次线性方程组0Ax ,有定理如下: 对矩阵A按列分块,有 12n A, ,则0Ax 的向量形式为 1122 0 nn xxx. 那么,0Ax 有非零解 12n , 线性相关 12n r,n r An. 对矩阵B按列分块,记 123 (,)B ,那么 123123 (,)(,)(0,0,0)ABAAAA . 因而0 i A(1,2,3)i ,即 i 是0Ax 的解. 12 十一、(本题满分 6 分)十一、(本题满分 6 分) 设AB、分别为mn、阶正定矩阵,试判定分块矩阵 0 0 A C B 是否是正定矩阵. 【解析】在证
28、明一个矩阵是正定矩阵时,不要忘记验证该矩阵是对称的. 方法 1：方法 1：定义法. 因为AB、均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故, TT AA BB,那么 000 000 T T T T AAA CC BBB ,即C是对称矩阵. 设mn维列向量(,) TTT ZXY,其中 1212 ( ,),(,) TT mn Xx xxYy yy, 若0Z ,则,X Y不同时为 0,不妨设0X ,因为A是正定矩阵,所以0 T X AX . 又因为B是正定矩阵,故对任意的n维向量Y,恒有0 T Y AY .于是 0 (,)0 0 TTTTT AX Z CZXYX AXY AY BY , 即 T Z CZ是正定
29、二次型,因此C是正定矩阵. 方法 2：方法 2：用正定的充分必要条件是特征值大于 0,这是证明正定时很常用的一种方法. 因为AB、均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故, TT AA BB, 那么 000 000 T T T T AAA CC BBB ,即C是对称矩阵. 设A的特征值是 12 , m B的特征值是 12 ,. n 由,A B均正定,知 0,0 ij (1,2,1,2, )im jn.因为 0 0 m mn n EA ECEAEB EB 11 , mm 于是,矩阵C的特征值为 12 , m 12 ,. n 因为C的特征值全大于 0,所以矩阵C正定. 十二、(本题满分 7 分)十二、(
30、本题满分 7 分) 假设测量的随机误差 2 (0,10 )XN,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差 13 的绝对值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数 字). 附表 1234567 e 0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001 【解析】设事件A “每次测量中测量误差的绝对值大于 19.6”,因为 2 (0,10 )XN,即 22 0,10EXDX.根据正态分布的性质则有： 19.6 ( )19.6 X pP AP XP |0|19.60| 1.96 101010 XX PP 11.961.961(1.96)( 1.9
31、6) 10 X P 1 (1.96)(1(1.96)22 (1.96) 2(1(1.96)0.05. 设Y为 100 次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为100,0.05np 的二项分布.根据二项分布的定义,(1)(0,1,2) kkn k n P YkC ppk ,则至少有三 次测量误差的绝对值大于 19.6 的概率为： 3131012P YP YP YP YP Y 0010011100 122100 2 100100100 10.05 (1 0.05)0.05 (1 0.05)0.05 (1 0.05)CCC 10099982 100 99 1 0.95100 0.950.05
32、0.950.05 2 . 根据泊松定理,对于成功率为p的n重伯努利试验,只要独立重复试验的次数n充分大, 而p相当小(一般要求100,0.1np),则其成功次数可以认为近似服从参数为的泊松分 布,具体应用模式为若( , )YB n p,则当n充分大,p相当小时当Y近似服从参数为np 的泊松分布,即 () (1)(0,1,2) ! k kkn knp n np P YkC ppek k . 设Y为 100 次独立重复测量中事件A出现的次数,则Y服从参数为100,0.05np的 14 二项分布.故 3131012P YP YP YP YP Y 0122 ( )( )( ) 11 0!1!2!2 e
33、eeeee 2 5 5 1(1 5)0.87 2 e . 十三、(本题满分 5 分)十三、(本题满分 5 分) 一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和 0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望 EX和方差DX. 【解析】令随机变量 1, 0, i i X i 第 个部件需调整 第 个部件不需调整 ， ， 1,2,3i . 依题意 123 ,XXX相互独立,且 123 ,XXX分别服从参数为 0.1,0.2,0.3 的0 1分布,即 1 X 01 p 0.90.1 2 X 01 p 0.80.2 3 X 0
34、1 p 0.70.3 由题意知 123 XXXX,显然X的所有可能取值为 0,1,2,3,又 123 ,XXX相互独立, 所以 (1) 123123 000,0,0P XP XXXP XXX 123 0 0 00.9 0.8 0.70.504P XP XP X, 123 123 123123 123 12312 11 1,0,0 0,1,00,0,1 1 0 0 0 1 00 0 P XP XXX P XXX P XXXP XXX P XP XP X P XP XP XP XP X 3 1 0.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.9 0.8 0.30.398, P X 123123 3
35、31,1,1P XP XXXP XXX 15 123 1 1 10.1 0.2 0.30.006P XP XP X. 由01231P XP XP XP X得出 21013 1 0.5040.3980.0060.092. P XP XP XP X 因此X的概率分布为 X0123 p 0.5040.3980.0920.006 (2)令 1122 10.1,10.2,pP XpP X 33 10.3,pP X因 i X均服从0 1 分布,故,(1) iiiii EXp DXpp所以 123 ()0.1()0.2()0.3E XE XE X, 123 ()0.1 0.90.09,()0.2 0.80.
36、16,()0.3 0.70.21D XD XD X 123 XXXX.因 i X服从0 1分布, 且 123 ,XXX相互独立,故由数学期望与方差的 性质 123123 ()0.6EXE XXXEXEXEX. 123123 ()0.46DXD XXXDXDXDX. 注：X的期望与方差也可以直接用期望与方差的公式来计算： ()00 112233 0 0.504 1 0.3982 0.0923 0.0060.6, E XP XP XP XP X 2222 2222 ()00 112233 00.504 10.39820.09230.0060.46. D XP XP XP XP X 十四、(本题满分
37、 4 分)十四、(本题满分 4 分) 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 ,0, ( , ) 0, y exy f x y 其他, (1) 求随机变量X的密度( ) X fx;(2) 求概率1P XY. 【解析】(1)已知联合概率密度可以直接利用求边缘密度的公式( )( , ) X fxf x y dy 求出 边缘概率密度. 当0 x 时,( )00 X fxdy ; 16 当0 x 时,( )( , )0 x yyx X xx fxf x y dydye dyee . 因此X的密度为 ,0, ( ) 0,0. x X ex fx x (2) 概率1P XY实际上是计算一个二重积分,根据概率的计算公式： 1 1( , ) x y P XYf x y dxdy , 再由二重积分的计算,化为累计积分求得概率 1P XY. 1 1 2 0 1 1( , ) x y x x y P XYf x y dxdydxe dy 1111 (1)11 2222 000 1 2. xxxx eedxedxe dxee 1 2 1 1xy yx y x O 1
