1、专题专题 6.1 解三角形大题（面积问题解三角形大题（面积问题 1） 1已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，224ABBCCD （1）若 2 3 ADC，3AC ，求cosCAD； （2）若AECE，2 2BE ，求ABC的面积 解： （1）在ACD中， 2 3 ADC ，3AC ，2CD ， 可得 sinsin ACCD ADCCAD ， 即有 3 2 sin3 2 sin 33 CDADC CAD AC ， 可得 16 cos1 33 CAD； （2）在ABC中，4AB ，2BC ，2 2BE ， 设AEBEx，AEB，CEB， 由余弦定理可得 22 81684 cos 22 222
2、 2 xx xx ， 解得2x ， 3 cos 4 ， 97 sin1 164 ， 所以ABC的面积为 17 22 2sin22 27 24 x 2如图，在平面四边形ABCD中，1AD ，7BD ， 2 3 BAD （）求边AB的长； （）若 3 CBD ，BCBD，求ABC的面积 解： （）在ABD中，1AD ，7BD ， 2 3 BAD ， 由余弦定理 222 2cosBDADABAD ABBAD，可得 2 1 712 1() 2 ABAB ，整理可得 2 60ABAB， 解得2AB ， （负值舍去） （）因为 3 CBD ，BCBD， 所以在ABD中，由正弦定理 sinsin BDAD
3、BADABD ，所以 1321 sinsin 2147 AD ABDBAD BD ， 因为(0,) 3 ABD ， 所以 2 215 7 cos11 19614 ABDsinABD， 所以 2115 733 21 sinsin()sincoscossin 3314214214 ABCABDDBCABDABD ， 所以 113 213 3 sin27 22142 ABC SAB BCABC 3 如图， 在平面五边形ABCDE中，12AE ，4 3CE ，3 3CD ，60ABC，120AED， 2 sin 3 CDE （1）求AC的值； （2）求ABC面积的最大值 解： （1）在CDE中，由正弦
4、定理可得 sinsin CECD CDECED ， 所以 2 3 3 sin1 3 sin 24 3 CDCDE CED CE ， 因为CDCE， 所以CED为锐角，所以30CED， 所以1203090AECAEDCED ， 所以 2222 12(4 3)8 3ACAECE （2）在ABC中，由余弦定理可得 222 2cos60ACABBCAB BC， 即 22 1922ABBCAB BCAB BCAB BCAB BC，当且仅当8 3ABBC时等号成立， 所以192AB BC， 所以 113 sin6019248 3 222 ABC SAB BC ，ABC面积的最大值是8 3 4如图，在ABC
5、中，ABAC，2ABAC，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且 点E在点F的右下方，在运动的过程中，始终保持 4 EAF 不变，设EAB弧度 （1）写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式； （2）求EAF面积S的最小值 解： （1）由ABAC，点E，F是线段BC（含端点）上的动点， 且点E在点F的右下方， 4 EAF 不变，可知0, 4 在ABE中，由正弦定理可得 3 sinsin() 44 AEAB ， 2 3 sin() 4 AE ， 在ABF中，由正弦定理可得 sinsin() 42 AFAB ， 2 cos AF ， （2）由（1）可得， 1222 |sin 3 2
6、44cos sin() 4 AEF SAEAF 22 1cos2sin2 12sin(2) 4 ，0, 4 ， 2 sin(2),1 42 ， 三角形AEF的面积的最小值为2( 21)，此时 8 5 如图， 设矩形()ABCD ABBC的周长为m， 把ABC沿AC翻折到AB C，AB交DC于点P， 设ABx （1）若2CPPD，求x的值； （2）求ADP面积的最大值 解： （1）设CABCAP ， 则2 2 PAD ，2APD， 设BCy，tan y x ，tan23tan 3 y x ， 则 2 2tan 3tan 1tan ， 解得 3 tan 3 ，即 3 3 yx， 所以 3 2()
7、3 xxm， 解得 (33) 4 m x （2）设CABCAP ， 则2APD，且tan(0,1)， 则(tan) 2xxm， 可得 2(tan1) m x ，即 tan 2(tan1) ADBCm ， 所以 2 tan11tan tan22(tan1)2tan4 ADtan PDmm 22 2 1tan1tantan 2 2(tan1)416tan1 APD mtan Sm ， 设tan1(1,2)t ， 则 222222 2 1(1)32232 2 ()3(32 2) 1616161616 APD mttttmmm Stm ttt ， 当且仅当 2t 时成立 6已知ABC的角A，B，C所对
8、的边分别是a，b，c，且满足 sinsin2coscos sincos BCBC AA （1）证明：b，a，c成等差数列； （2）如图，若bc，点O是ABC外一点，设(0)AOB，22OAOB，求平面四边 形OACB面积的最大值 （1）证明：由 sinsin2coscos sincos BCBC AA 可得：sincossincos2sinsincoscossinBACAAABCA 即sincossincossincoscossin2sinABBACACAA sin()sin()2sinABACA ABC sinsin2sinCBA 由正弦定理：2bca， 故得b，a，c成等差数列； （2）解：由（1）可知2bca，bc，则abc ABC是等边三角形 由题意(0)AOB，22OAOB， 则 1 1 2sin 2 AOB S 余弦定理可得： 2 2cos54coscAOOBAO BO 则 2 1333 (54cos ) 2244 ABC Sccc 故四边形OACB面积 5 35 3 sin3cos2sin() 434 S 0， 2 333 ， 当 32 时，S取得最大值为 5 385 3 2 44 故平面四边形OACB面积的最大值为 85 3 4
