1、专题专题 4.20导数大题（与三角函数相结合的问题导数大题（与三角函数相结合的问题 2） 1已知函数( )sin x f xaex，其中aR，e为自然对数的底数 （1）当1a 时，对0 x ，)， 证明：( ) 1f x ； 若( )2cos2fxxbx 恒成立，求实数b的范围； （2）若函数( )f x在(0,) 2 上存在极值，求实数a的取值范围 解： （1）证明：当1a 时，( )sin x f xex，则( )cos x fxex，( )sin x fxex， 由于当0 x时，1 x e ，1 sin1x ，故( )0fx， ( )fx 在0，)上为增函数， 又 0 (0)cos00f
2、e， 当0 x时，( ) 0fx， ( )f x在0，)上为增函数， ( )(0)1f xf，即得证； 依题意，cos20 x exbx在0，)上恒成立， 设( )cos2(0) x g xexbx x，则( )sin x g xexb，由可知，sin1 x ex ( ) i当1b时，( ) 0g x，此时( )g x在0，)上单调递增，故 0 ( )(0)cos020g xge，符合 题意； ( )ii当1b 时，由知，( )sin x g xexb在0，)上为增函数，则必存在 0 0 x ，)，使 得 0 ()0g x， 且当0 x， 0 x时，( )0g x，当 0 (xx，)时，( )
3、0g x， ( )g x在0， 0 x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 0 ( )()(0)0 min g xg xg，不符合题意 综上，实数b的取值范围为(，1； （2）( )cos x fxaex，则依题意有， cos x x a e 在(0,) 2 上有解， 令 cos ( ),(0,) 2 x x h xx e ，则 (sincos ) ( )0 x xx h x e 在(0,) 2 上恒成立， ( )h x在(0,) 2 上单调递减， 又0 x 时，( )1h x ， 2 x 时，( )0h x ， ( )(0h x，1)，故实数a的取值范围为(0,1) 2已知函数，( )2
4、 x g xex （1） （）证明：( ) 0f x ； （）证明：( )0g x （2）当0 x时，( )(sin1)cos1f xxxx ax恒成立，求实数a的取值范围 解： （1） （）证明：由( )1 x f xex，可知( )1 x fxe 当(,0)x 时，( )0fx，函数( )f x单调递减； 当(0,)x时，( )0fx，函数( )f x单调递增， 当0 x 时，函数( )f x有最小值(0)f，又(0)0f， 故( ) 0f x （）证明：由( )2 x g xex，可知( )2 x g xe 当(,2)xln 时，( )0g x，函数( )g x单调递减； 当(2,)xl
5、n时，( )0g x，函数( )g x单调递增， 当0 x 时，函数( )g x有最小值(2)g ln， 又(2)22220 2 e g lnlnln， 故( )0g x （2）当0 x时，( )(sin1)cos1f xxxx ax恒成立， 等价于当0 x时，sincos2 0 x exxxax 恒成立 设函数( )sincos2(0) x F xexxxaxx，则( )cos x F xexxa， 设( )cos(0) x h xexxa x，则( )sincos x h xexxx 当0 x时，cos1x，sin1x，sinxxx， 结合（1） （）问结论( ) 0f x 知，( )si
6、ncos1 0 xx h xexxx ex， 故函数( )h x在0，)上单调递增 若1a，则当0 x时，( )(0)10h xha ，( ) 0F x， 函数( )F x在在0，)上单调递增，又(0)0F， 故( ) 0F x ，满足题意 若1a ，因为cos1a，cosaaa， 结合（1） （）问结论( )0g x 可知，h（a）cos20 aaa eaaa eaaea， 又(0)10ha ，函数( )h x在0，)上单调递增， 故存在 0 (0, )xa，使得 0 ()0h x， 当 0 (0,)xx时，( )0h x ，( )0F x， 函数( )F x在 0 (0,)x上单调递减，此
7、时( )(0)F xF， 又(0)0F，即当 0 (0,)xx时，( )0F x ，不符题意 故a的取值范围是(，1 3设函数( )cos x f xexax，aR（其中( )fx是( )f x的导函数） （）当1a 时，判断函数( )f x在(0,)上的单调性； （）若( )( )1F xfxaxa，证明：当1a，2)时，函数( )F x有 2 个零点 解：（） 当1a 时，( )cos x f xexx，( )sin1 x fxex， 令( )( )H xfx， 则( )cos x H xex， (0,)x， 1 x e，1 cos1x ， ( )0H x， ( )H x在(0,)单调递增
8、， 0 ( )(0)10H xHe ， ( )f x在(0,)单调递增； （）证明：( )( )1sin1sin1 xx F xfxaxaexaaxaexax ， 当0 x 时，由于 0 (0)sin00 10Fe ，故0 x 是( )F x的一个零点； 令( )( )cos x M xF xexa，则( )sin x M xex， 12a ， 当(0,)x时，1 x e ，故( )1sin0M xx ， ( )M x在(0,)单调递增， ( )(0)20M xMa， ( )F x在(0,)上单调递增， ( )(0)0F xF，此时( )F x在(0,)无零点； 当(x ，时，ax， ( )s
9、in1sin10 xx F xexaxex ， ( )F x在(，无零点； 当(,0)x 时，sin0 x ， ( )sin0 x M xex， ( )M x在(,0)单调递增， ()cos()0Mea ， 0 (0)10Mea ， 由零点存在性定理可知，存在 0 (,0)x ，使得 0 ()0M x， 且 0 (,)xx 时，( )( )0M xF x，( )F x单调递减， 0 (xx，0)时，( )( )0M xF x，( )F x单 调递增， 又()sin()()10Fea ， 0 ()(0)0F xF， ( )F x在(,0)有一个零点， 综上，当1a，2)时，函数( )F x有 2
10、 个零点 4已知函数 2 ( )cosf xxax，且曲线( )yf x在 6 x 处的切线方程为 6 yxb （1）求实数a，b的值； （2）若对任意(0,)x，都有2 ( )0f xm恒成立，求m的取值范围 解： （1）对于函数 2 ( )cosf xxax，当 6 x 时， 2 3 ( )() 62 f xa ， 此时，切线的斜率为 123 ()2 6626 a fa ， 故此处的切线方程为 2 323 ()() 6266 a yax ，即 2 2323 () 66662 aa yxa 再根据曲线( )yf x在 6 x 处的切线方程为 6 yxb ， 可得 23 66 a ，且 2 2
11、3 () 6662 a ba ， a，且 2 3 182 b （2）对任意(0,)x，都有2 ( )0f xm恒成立， 当0 x 时， 2 ( )cos 2 m f xxx恒成立 ( )2sin0fxxx，则( )2cosfxx，由于(0)2f，()2 2 f ，而( )fx是(0,) 2 上的增函数， 故存在实数(0,) 2 n ，使( )0fx，故( )fx在(0, )n上小于零，在( ,) 2 n 上大于零， 故( )fx在(0, )n上递减，在( ,) 2 n 上递增， 故( )fx的最小值为( )fn 而(0)()0 2 ff ，故在(0,) 2 上，( )0fx恒成立，即( )f
12、x在(0,) 2 上单调递减 当 2 x 时，( )2sin0fxxx，故( )f x在(0,) 2 上单调递增，故( )f x的最小值为 2 () 24 f ， 2 42 m ，故m的范围为(， 2 2 5已知函数 2 1 ( )cos 2 f xxx，( )fx为( )f x的导函数 （1）求函数( )f x的极值； （2）设函数 2 3 sincos1 ( )()(sin) 226 x xxx g xxeaxxx ，aR，讨论( )g x的单调性； （3）当0 x时，( )1 x fxebx，求实数b的取值范围 解： （1）( )sinfxxx， 因为(sin )1cos0 xxx ，
13、所以( )fx在(,) 单调递增，又(0)0f ， 所以当(,0)x 时，( )0fx，( )f x单调递减， 当(0,)x时，( )0fx，( )f x单调递增， 所以当0 x 时，( )f x的极小值(0)1f，无极大值 （2） 2 ( )(cos1)() 2 x x g xxea， 由（1）知，( )(0)f xf，即 2 cos1 0 2 x x ， 当0a时，0 x ea，( ) 0g x，( )g x在(,) 上单调递增， 当0a 时，令0 x ea，得xlna， 于是当(,)xlna ，0 x ea，( ) 0g x，( )g x单调递减， 当(,)xlna，0 x ea，( )
14、 0g x，( )g x单调递增， 综上，当0a时，( )g x在(,) 单调递增， 当0a 时，( )g x在(,)lna上单调递减，在(,)lna 单调递增 （3）令( )( )1 x h xfxebx， 则( )(1)sin1 x h xeb xx ，0 x，)， ( )cos1 x h xexb ， ( )h x的导函数( )sin x hxex ， 因为0 x，)，所以( )1sin0hxx ， ( )sin x h xex 在0，)上单调递减， 当1b时，对任意0 x时，( )(0)10h xhb ， 所以( )h x在0，)上单调递减， 所以对任意0 x时，( )(0)0h xh， 当1b 时，因为( )h x在0，)上单调递减，(0)10hb ， 当x 时，( )h x ， 故 0 (0,)x，使 0 ()0h x，且 0 (0,)xx时，( )0h x，( )h x单调递增， 所以 0 ()(0)0h xh，与任意0 x，( ) 0h x 矛盾， 所以实数b的取值范围为 1，)
