1、第十六讲：函数与方程（共 2 课时） 【学习目标学习目标】 1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性与根的个数； 2. 了解函数的零点与方程的根的联系； 3. 掌握求方程近似解的方法。 【重点、难点重点、难点】 重点：掌握函数零点的概念； 难点：判断零点个数与零点所在区间。 【知识梳理知识梳理】 1 1、函数的零点、函数的零点 （1）对于函数( )yf x，把使( )0f x 的实数x叫做函数( )yf x的 零点。 （2）函数( )yf x的零点就是方程( )0f x 的实数根，亦即函数( )yf x的图象与x轴交点 的 2 2、零点的存在定理、零点的存在定理 如果函数( )yf
2、 x在区间 , a b上是一条的曲线，并且有( )( )f af b0，那么函数 ( )yf x在区间( , )a b内至少 有。 3 3、用二分法求方程的近似解、用二分法求方程的近似解 对于区间 , a b上连续不断且( )( )0f af b 的函数( )yf x， 通过不断地把函数( )f x的零 点所在区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法。 【课前小测】 1、函数 3 ( )31f xxx在以下哪个区间内一定有零点（） A、( 1,0)B、(0,1)C、(1,2)D、(2,3) 2、函数 2 ( )56f xxx的零点是（） 方程0)(xf有实数根函数)
3、(xf的图象与x轴有交点 函数)(xf有零点 A、2,3B、2,3C、6, 1D、6,1 3、若函数 2 ( )21f xaxx在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是（） A、1a B、1a C、11a D、01a 4、某函数( )yf x的图象是连续不断的，,( )x f x的对应值如下表： x 12345 ( )f x34856 则函数( )yf x在区间(1,5)内至少有个零点。 5、已知函数 2 ( )f xxbxc的零点为0, 1，则函数的表达式为 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：确定函数零点的个数：确定函数零点的个数 例 1 （1）函数xxxf2sinsin2)(在2
4、 , 0的零点的个数为（） A、2B、3C、4D、5 （2）设函数)(xf是定义在R上的奇函数，当0 x时，3)(xexf x ，则)(xf的零点个数 为（） A、1B、2C、3D、4 点评：判断方程的根的个数，函数的零点个数等问题，常用方法有：利用函数零点定理； 利用函数图象，将方程的解转化为两个函数图象交点的横坐标；解方程得出方程的解。 【变式迁移】 1、函数 2 2,0 ( ) 1ln ,0 xxx f x x x 的零点个数为（ ） A、3B、2C、7D、0 题型题型 2 2：求零点所在的区间：求零点所在的区间 例 2 设 0 x是方程ln4xx的解，则 0 x属于区间（） A、(0,
5、1)B、(1,2)C、(2,3)D、(3,4) 点评：判断零点所在的范围，常利用零点定理。为了减少利用零点验证的次数，有时也可借 助函数图象进行估计，再用零点定理作出判断。 【变式迁移】 2、在下列区间中，函数34)(xexf x 的零点所在的区间为（） A、)0 , 4 1 (B、) 4 1 , 0(C、) 2 1 , 4 1 (D、) 4 3 , 2 1 ( 题型题型 3 3：函数零点的应用：函数零点的应用 例 3 已知函数|3|)( 2 xxxf，Rx，若方程0| 1|)(xaxf恰有 4 个互异的实数根，则 实数a的取值范围是. 点评：已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个
6、函数图象的交点个数，这时 图形一定要准确，这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题。 【变式迁移】 3、函数a x xf x 2 2)(的一个零点在区间)2 , 1 (内，则实数a的取值范围是（） A、)3 , 1 (B、)2 , 1 (C、)3 , 0(D、)2 , 0( 【课堂小结课堂小结】本节课你收获什么？ 【课后作业课后作业】 1、函数( )3 x f xex的零点个数是（） A、0B、1C、2D、3 2、函数( )2 x f xex的零点所在的一个区间是（） A、( 2, 1)B、( 1,0)C、(0,1)D、(1,2) 3、若函数( )f xaxb有一个零点是2，那么函数 2 ( )g xbxax的零点是 4、函数( )26(2.718) x f xexe的零点属于区间( ,1)()n nnZ，则n 5、利用二分法求方程 3 250 xx在区间2,3内的实数根，取区间中点 0 2.5x ，那么下一 个有根的区间是 6、已知 axx axx xf , , )( 2 3 ，若存在实数b，使函数bxfxg)()(有两个零点，则a的取值范 围是
