第42讲 空间几何体的结构及其表面积、体积.docx

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1、第四十二讲:空间几何体的结构及其表面积、体积第四十二讲:空间几何体的结构及其表面积、体积 【学习目标学习目标】 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征; 2. 能画出简单空间图形的三视图,能识别三视图会用斜二测画法画出他们的直观图; 3. 了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积的计算公式。 【重点、难点重点、难点】 重点:认知空间几何体的结构特征; 难点:了解球、棱柱、棱锥、台体的表面积和体积计算公式。 【知识梳理知识梳理】 1 1、简单多面体的结构特征、简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都,上下底面是的多边形; (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个的三角形; (3)棱台可

2、由的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形. 2 2、旋转体的形成、旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形所在的直线 圆锥直角三角形所在的直线 圆台直角梯形所在的直线 球半圆所在的直线 3 3、直观图、直观图 斜二测画法: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中 x 轴、 y 轴的夹角为 o 45(或 o 135) , z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面. (2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍,平行于x轴和z轴 的线段在直观图中保持原长度,平行于y轴的线段在直观图中长度为. 4 4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆

3、柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式 =2Srl 圆柱侧 =Srl 圆锥侧 =+ )Sr r l 圆台侧 ( 5 5、柱体、椎体、台体和球的表面积和体积、柱体、椎体、台体和球的表面积和体积 几何体表面积体积 柱体 (棱柱和圆柱) 底侧表面积 SSS2 V 椎体 (棱锥和圆锥) 底侧表面积 SSS V 台体 (棱台和圆台)下上侧表面积 SSSS hSSSSV)( 3 1 下上下上 球 S 3 3 4 RV 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1:空间几何体的结构特征:空间几何体的结构特征 例 1 给出下列命题: (1)棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; (2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,

4、则其三个侧面也两两垂直; (3)在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; (4)存在每个面都是直角三角形的四面体; (5)棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的个数为() A. 2B. 3C. 4D. 5 【方法规律】【方法规律】 (1)定义法:根据几何体定义进行判断。 (2)反例法 . 【题组练习】 1、给出下列命题: 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; 棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等。 其中正确命题

5、的个数是() A、0B、1C、2D、3 2、如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后 水槽中的水形成的几何体是() A棱柱B棱台C棱柱与棱锥的组合体D不能确定 题型题型 2 2:空间几何体的直观图、侧面展开图:空间几何体的直观图、侧面展开图 例 2 (1)已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的平面直观图CBA的面积为() A. 2 4 3 aB. 2 8 3 aC. 2 8 6 aD. 2 16 6 a (2)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其三视图如图.圆柱表 面上的点M在正视图上对应点为A,圆柱表面上的点N在左 视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N

6、的路径 中,最短路径的长度为() A.172B.52C. 3D.2 【方法规律】【方法规律】 1.直观图的面积问题常常有两种解法:一是利用斜二测画法求解;二是直接 套用等量关系 原图形直观图 SS 4 2 ;2.解决空间几何体面积上两点距离的最短问题,常借助其 侧面展开图。 【题组练习】 1、 如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45,腰和上底长均为 1 的等 腰梯形,那么这个平面图形的面积是() 212 .1.12.22. 222 ABCD 2、如图,矩形OABC 是水平放置的一个平面图形的直观 图,其中6OAcm ,2OCcm ,则原图形是() A正方形B矩形 C菱形D一般

7、的平行四边形 3、如图是某圆锥的三视图,A,B 为圆锥表面上两点在正视图中的 位置,其中 B 为所在边中点,则在该圆锥侧面上 A,B 两点最短的 路径长度为() A5B6C3D3 4、如图,底面半径为 1,高为 2 的圆柱,在A点有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A 点爬到B点,问蚂蚁爬行的最短距离是多少? 题型题型 3 3:空间几何体的表面积:空间几何体的表面积 例 3 (1)如图,直角梯形ABCD中,DCAD ,BCAD/, 222ADCDBC,若将该直角梯形绕BC边旋转一周,则所得的几何体 的表面积为. (2)若正四棱锥的底面边长和高都为 2,其表面积为. (3) 圆台的上、 下底面半

8、径分别是 10cm和 20cm, 它的侧面展开图的扇环的圆心角是 o 180, 那么圆台的表面积为 2 cm(结果中保留) 【方法规律【方法规律】(1)旋转体的表面积分割为圆锥的侧面积与圆柱的侧面积及底面积之和; (2) 多面体侧面积的问题关键是找到其特征几何图形; (3)圆台的侧面积问题,采用了还原成圆 锥的思想. 【题组练习】 1、若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的全面积是() A3B3 3C6D9 2、已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 7 8 ,SA与圆锥底面所成角为 45, 若SAB的面积为5 15,则该圆锥的侧面积为_ 3、(多选题) 已知四棱

9、台1111 ABCDABC D 的上下底面均为正方形, 其中 2 2AB , 11 2AB , 111 2AABBCC ,则下述正确的是() A该四棱台的高为3B 11 AACC C该四棱台的表面积为 26 D该四棱台外接球的表面积为16 题型题型 4 4:空间几何体的体积:空间几何体的体积 例 4 (1)如图所示,正三棱柱 111 CBAABC的底面边长为 2,侧棱长为3,D为BC中点, 则三棱锥 11DC BA的体积为() A. 3B. 2 3 C. 1D. 2 3 (2)如图所示,已知多面体ABCDEFG中,AB,AC,AD两两互相 垂 直 , 平 面/ABC平 面DEFG, 平 面/B

10、EF平 面ADGC, 2DGADAB,1 EFAC,则该多面体的体积为 【方法规律】【方法规律】 处理体积问题的思路: (1) “转” :指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将 原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高; (2) “拆” :指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算; (3) “拼” :指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱, 将一个三棱柱复原成一个三棱柱,这些都是拼补的方法。 【题组练习】 1、 如图长方体 1111 DCBAABCD的体积是 120,E是 1 CC的中点, 则三棱锥BCDE 的体积是

11、. 2、一个几何体的三视图如图,其正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半 圆,则该几何体的体积是() A 4 3 3 B 1 2 C 3 3 D 3 6 2、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为() A. 2 3 B C 4 3 D 5 3 题型题型 5 5:与球有关的切、接问题:与球有关的切、接问题 例 4 (1)已知一个圆锥底面半径为 1,母线长为 3,则该圆锥内切球的表面积为() A.B. 2 3 C.2D.3 (2)已知三棱锥ABCP的三条侧棱两两互相垂直,且5AB,7BC,2AC,则 此三棱锥的外接球的体积为() A. 3 8 B. 3 28 C. 3 1

12、6 D. 3 32 (3)已知直三棱柱 111 CBAABC的各顶点都在以O为球心的球面上,且 4 3 BAC, 2 1 BCAA,则球O的体积为() A.34B.8C.12D.20 【方法规律】【方法规律】 与球有关的切、接问题的解法: (1)旋转体的外接球:常用的解题方法是过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平 面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)多面体的外接球:常用的解题方法是将多面体还原到正方体和长方体中再去求解. 若球面上四点CBAP,中PCPBPA,两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长 方体或正方体,利用 222 2cbaR求R

13、. 一条侧棱垂直底面的三棱锥问题:可补形成直三棱锥.先借助几何体的几何特征确定球心 位置,然后把半径放在直角三角形中求解. 【题组练习】 1、三棱锥PABC中,15ABBC,6AC ,PC 平面ABC,2PC ,则该三棱锥 的外接球表面积为_ 2、(多选题) 己知正三棱锥P ABC的底面边长为 1, 点P到底面ABC的距离为 2, 则 ( ) A该三棱锥的内切球半径为 2 6 B该三棱锥外接球半径为 7 2 12 C该三棱锥体积为 2 12 DAB与PC所成的角为 2 3、如图,在四棱锥ABCDP中,底面ABCD是边长为m的正方形,PD底面ABCD,且 mPD ,mPCPA2,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是.

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