1、第四十六讲：空间向量的运算及应用第四十六讲：空间向量的运算及应用 【学习目标学习目标】 1. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及 其坐标表示； 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直； 4. 理解直线的方向向量及平面的法向量； 5. 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系； 6. 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理。 【重点、难点重点、难点】 重点：利用空间向量的解决立体几何中的一些简单问题； 难点：立体几何中空间向量的应用。 【知识梳理
2、知识梳理】 1 1、空间向量的有关概念、空间向量的有关概念 名称定义 空间向量在空间中，具有和的量. 相等向量方向且模的向量. 相反向量方向且模的向量. 共线向量 （或平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线互相的向量. 共面向量平行于的向量. 2 2、空间向量的有关定理、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量ba,（0b ） ，ba /的充要条件是存在实数， 使得. （2）共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，那么向量p 与向量ba,共面的充要条件是存 在的有序实数对),(yx，使p . （3）空间向量基本定理：如果三个向量cba ,不共面，那么对空间任一向量p ，
3、存在有序实 数组,zyx，使得p ，其中,cba 叫做空间的一个基底。 3 3、两个向量的数量积、两个向量的数量积 （1）非零向量ba,的数量积bababa ,cos|. （2）空间向量数量积的运算律： 结合律：)()(baba ；交换律：abba ；分配律：cabacba )( 4 4、空间向量的坐标表示及其应用、空间向量的坐标表示及其应用 设),( 321 aaaa ，),( 321 bbbb 向量表示坐标表示 数量积 ba 共线 ba （Rb, 0 ） 垂直 0ba （0, 0 ba） 模 |a 夹角 ba , ba , cos 5 5、空间位置关系的向量表示、空间位置关系的向量表示 位
4、置关系向量表示 直线 21,l l的方向向量分别为 21,n n 21/l l 2121/ nnnn 21 ll 21 nn 直线l的方向向量为n ， 平面的法向量为m /l mn l mnmn/ 平面,的法向量分别为mn, / mnmn/ mn 【常用结论常用结论】 1、对空间任一点O，若OByOAxOP（1 yx） ，则BAP,三点共线. 2、对空间任一点O，若OCzOByOAxOP（1zyx） ，则CBAP,四点共面. 3、平面的法向量的确定：设ba,是平面内两不共线向量，n 为平面的法向量，则求法向 量的方程组为 0 0 bn an . 【典题分析典题分析】 题型题型 1 1：空间向量
5、的线性运算：空间向量的线性运算 例 1 如图所示，已知空间四边形OABC,其对角线为ACOB,， NM,分别为BCOA,的中点， 点G在线段MN上， 且GNMG2， 若OCzOByOAxOG，则zyx. 【方法规律】【方法规律】 空间向量的线性运算类似于平面向量的线性运算 . 【题组练习】 1、在平行六面体 1111 DCBAABCD中，M为 11C A与 11D B的交 点，若aAB ，bAD ，cAA 1 ，则下列向量中与BM相 等的向量是（） A.cba 2 1 2 1 B.cba 2 1 2 1 C.cba 2 1 2 1 D.cba 2 1 2 1 2、如图,在四面体OABC中,D是
6、BC的中点,G是AD的中点,则 OG 等于（） A 111 333 OAOBOC B 111 234 OAOBOC C 111 244 OAOBOC D 111 446 OAOBOC 题型题型 2 2：共线（共面）向量定理的应用：共线（共面）向量定理的应用 例 2 （1）已知)2 , 0 , 1( a，)2 , 12 , 6(b，若ba/，则与的值可以是（） A. 2 1 , 2B. 2 1 , 3 1 C.2 , 3D.2 , 2 （2）已知) 3 , 1, 2( a，)2, 4 , 1(b，), 5 , 7(c，若cba,三向量共面，则实数. 【方法规律】【方法规律】 共线共面定理的应用.
7、 【题组练习】 1、如果三点 1,5, 2A ，2,4,1B，,3,2C ab在同一条直线上，则() A 3,2abB6,1ab C 3,3ab D2,1ab 2、O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且 31 48 OPOAOBtOC ，若 P，A，B， C 四点共面，则实数 t_ 3、 在空间直角坐标系中，)2, 1 , 1 (A,)3, 2 , 1 (B,)0 , 3 , 1(C,),(zyxD，（Rzyx,） ， 若DCBA, 四点共面，则zyx2. 题型题型 3 3：空间向量数量积的应用：空间向量数量积的应用 例 3 如图，已知直三棱柱 111 CBAABC，在底面ABC中，
8、1CBCA， o BCA90，棱 2 1 AA，NM,分别是 111 ,AABA的中点. （1）求BN的模； （2）求 11, cosCBBA的值； （3）求证：MCBA 11 . 【方法规律】【方法规律】 对于不方便建立空间直角坐标系的题目，常常借助基向量及数量积的定义求 解；倘若建系方便，则通过坐标法求解。 【题组练习】 1、如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111 ABCDABC D ，底面ABCD是正方形， 1 3CC ， 2CD ，且 11 60C CBC CD . （1）设CD a ，CB b ， 1 CCc ，试用a 、b 、c 表示 1 AC ； （2） 已知O为四棱柱 111
9、1 ABCDABC D 的中心 （体对角线中点） ， 求OC 的长. 2、在正方体 1111 DCBAABCD中，NM,分别为棱 1 AA和 1 BB的中点，则NDCM 1 ,sin的值 为. 3、如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于 1，点GFE,分别是 CDADAB,的中点，计算： （1）BAEF； （2）BDEG. 题型题型 4 4：利用向量证明平行与垂直：利用向量证明平行与垂直 例 4 如图所示，在四棱锥ABCDP中，PC平面ABCD，2PC，在四边形ABCD中， o CB90，4AB，1CD，点M在PB上，PMPB4，PB与平面ABCD成 o 30角. 求证： （
10、1）/CM平面PAD； （2）平面PAB平面PAD. 【方法规律】【方法规律】 利用空间向量解决有关平行垂直问题. 【题组练习】 1、如图所示，四棱锥ABCDS 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，点P 为侧棱SD上的点. （1）求证：SDAC ； （2）若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得/BE平面PAC，若存在， 求ECSE:的值；若不存在，试说明理由. 2、 如图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，/AB CD， 且 2CD ，1AB ， 2 2BC ， 1PA ，ABBC，N为PD的中点 （1）求证：/AN平面PBC； （2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为 26 26 ，若 存在，求出 DM DP 的值；若不存在，说明理由
