1、1 主主题题 函数的奇偶性与单调性 教学内容教学内容 1. 掌握函数奇偶性和单调性的关系； 2. 能应用函数的奇偶性和单调性解决综合题目。 我们在研究函数奇偶性的时候，分析过以下两组函数图像 （一）（二） 通过函数图像，你发现他们对称区间上的单调性是怎样的？试着证明你的结论。 我们发现偶函数在对称区间上，它们的单调性相反，奇函数在对称区间上，它们的单调性相同。 证明：假设一个偶函数在(0,)上单调递增， 任取 12 0 xx，则 21 0 xx ，由单调性可得： 12 ()()fxfx，由偶函数可得： 1122 ()(),()()fxf xfxf x 所以 12 ()()f xf x，所以当(
2、,0)x 时( )f x是减函数 2 （采用教师引导，学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 如果函数 f(x)在 R 上为奇函数，在1，0)上是增函数，试比较 f( 3 1 ),f( 3 2 ),f(1)的大小关系. 由题意，函数在区间0,1上是增函数，于是 12 ( )( )(1) 33 fff 试一试：定义在 R 上的奇函数( )f x在（0，+）上是增函数，又( 3)0f ，则不等式( )0 xf x 的解集为（A） A （3，0）（0，3）B （，3）（3，+） C （3，0）（3，+）D （，3）（0，3） 例 2. 已知函数 53 8f xxaxbx且
3、210f ，求 2f的值 解：令 53 g xxaxbx，则 8f xg x22810218fgg g x为奇函数， 2218218ggg 22818 826fg 试一试：若)(x， ( )g x都是奇函数，( )( )( )2f xaxbg x 在（0，）上有最大值 5，则 ( )f x在（ ，0）上有（） A最小值5B最大值5C最小值1D最大值3 答案：C 例 3.已知定义在 R 上的函数 ( )f x对任意实数x、y， 恒有( )( )()f xf yf xy ， 且当0 x 时，( ) 0f x ， （1）求证： ( )f x 为奇函数； （2）求证： ( )f x 在 R 上是减函数
4、； 证明： （1）证明：令 0 xy ，可得 (0)(0)(00)(0)ffff ，从而，f(0) = 0 令y x ，可得 ( )()()(0)0f xfxf xxf ，即 ()( )fxf x ，故 ( )f x 为奇函数 （2）证明：设 12 ,xxR，且 12 xx，则 12 0 xx，于是 12 ()0f xx从而 121222122212 ()()()()()()()()0f xf xfxxxf xf xxf xf xf xx 所以， ( )f x 为减函数 这里学生首次接触抽象函数，教师可以简单总结一下抽象函数的解题方法，通过赋值求出特殊点（一般是 0, 或 1） ，再通过构造的
5、形式证明单调性或奇偶性. 试一试：已知函数 f(x)对一切 x、yR，都有 f(x+y)= f(x)+ f(y)， (1)判断函数 f(x)的奇偶性； (2)若 f(-3)=a，用 a 表示 f(12) 解答： 3 1( ) ()( )( ), 0(0)2 (0),(0)0. ,(0)( )(), ()( ),( ) f xR xyf xyf xf y xyfff yxff xfx fxf xf x 显然的定义域是 ，关于原点对称。 又函数对一切 、 都有 令，得 再令得 为奇函数。 (2)( 3)( ),(3)( 3) ()( )( ), , (12)(66)(6)(6)2 (6)2 (33
6、)4 (3)4 faf xffa f xyf xf y x yR fffffffa 且为奇函数 又 例 4. 已知 f(x)是定义在(2，2)上的减函数，并且 f(m1)f(12m)0，求实数 m 的取值范围 解析： f(x)在(2，2)上是减函数 由 f(m1)f(12m)0，得 f(m1)f(12m) 3 2 2 3 2 1 31 211 , 2212 212 m m m mm m m 即解得 3 2 2 1 m，m 的取值范围是( 3 2 , 2 1 ) 试一试：f(x)是定义在( 0，)上的增函数，且 f( y x ) = f(x)f(y) （1）求 f(1)的值 （2）若 f(6)=
7、 1，解不等式 f( x3 )f( x 1 ) 2 解析：在等式中0 yx令，则 f(1)=0 在等式中令 x=36，y=6 则 . 2) 6(2)36(),6()36() 6 36 (fffff 故原不等式为：),36() 1 ()3(f x fxf即 fx(x3)f(36)， 又 f(x)在(0，)上为增函数， 故不等式等价于： 30 133 17 00. 2 0(3)36 x x x x x （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. f(x)是定义在6,6上的偶函数，且 f(3)f(1)，则下列各式一定成立的是()C 4 Af(0)f(2) Cf(1)f(0) 2. 已知
8、函数 753 4f xaxbxcxdx且39f ，求 3f的值 答案：1 3. 若奇函数 ( )f x是定义在（ 1，1）上的增函数，试解关于a的不等式： 2 (2)(4)0f af a 解：由已知得 2 (2)(4)f af a 因 f(x)是奇函数，故 22 (4)(4)f afa，于是 2 (2)(4)f afa 又 ( )f x是定义在（1，1）上的增函数，从而 2 2 3224 1211332 141 5335 aaa aaa a aa 或 即不等式的解集是( 3, 2) 4. 设( )f x是定义在(0,)上的增函数，(2)1f，且()( )( )f xyf xf y，求满足不等式
9、 ( )(3)2f xf x的x的取值范围. 解:由题意可知: 2 ( )(3)(3 )f xf xf xx 又22 (2)(2)(2)(4)ffff， 于是不等式( )(3)2f xf x可化为 2 (3 )(4)f xxf 因为函数在(0,)上为增函数,所以不等式可转化为： ,解得：34x 所以x的取值范围是(3,4. 本节课主要知识点： 在对称区间上，函数单调性与奇偶性的关系，抽象函数的解题方法 【巩固练习】 1. 设定义在2，2上的偶函数 f（x）在区间0，2上单调递减，若 f（1m）f（m） ，求实数 m 的取 值范围 5 答案： 2 1 m 2. 已知函数 2 1 ( )( ,) ax f xa b cZ bxc 是奇函数，又， (1)2f ， (2)3f ，求a、b、c的值. 解：由 ()( )fxf x 得 ()bxcbxc c=0. 又 (1)2f ，得12ab ， 而 (2)3f ，得 41 3 1 a a ，解得12a . 又aZ，0a 或1a . 若0a ，则 b= 1 2 Z，应舍去； 若1a ，则 b=1Z. 1,1,0abc. 【预习思考】 求 2 23yxx在xR上的值域？在 2,1x 上的值域？
