1、1 主主题题 函数的最值与值域 教学内容教学内容 1. 掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法， 2. 能够利用单调性，基本不等式求值域（最大值最小值） 。 求 2 23yxx在xR上的值域？在 2,1x 上的值域？ 2 (1)2yx，由二次函数的图像知在xR时，值域为2,)；对于x有范围的形式，怎么求解值 域呢？借助函数图像求出来，值域为2,4（这里提问学生，大部分学生都是画图像的，没做出来的也鼓励（这里提问学生，大部分学生都是画图像的，没做出来的也鼓励 他画函数图像，在后面的例题中会进一步讲解借助单调性求解）他画函数图像，在后面的例题中会进一步讲解借助单调性求解） （采用教师引导，
2、学生轮流回答的形式）（采用教师引导，学生轮流回答的形式） 例 1. 求下列二次函数 2 231, 1,0yxxx 的最大值或最小值. 如果每题都画图求解，显得麻烦，下面我们试着用单调性来分析一下如果每题都画图求解，显得麻烦，下面我们试着用单调性来分析一下 解：解： 2 2 31 2312 48 yxxx ， 3 4 x 为函数的对称轴，开口方向向上， 故函数在区间 1,0上单调递减。 当0 x 时，函数取得最小值，最小值为1y 。 当1x 时，函数取得最大值，最大值为6y 。 试一试：求下列二次函数 2 23,0,3yxxx 的最大值或最小值. 解： 2 2 2314yxxx ，1x 为函数的
3、对称轴，开口方向向下， 2 故函数在区间0,1上单调递增，在区间1,3上单调递减。 当1x 时，函数取得最大值，最大值为4y 。 当3x 时，函数取得最小值，最小值为0y 。 老师可以总结一下， 二次函数在闭区间上的最大最小值的求解方法， 对称轴在区间内， 顶点纵坐标取最大 （最 小）值，远离顶点的端点取最小（最大） ；对称轴不在区间内，两个端点一个最大一个最小。 例 2.求下列函数的值域： （1） 3 1 x y x ；（2） 3 21 x y x . 分析： （1） 144 1 11 x y xx ，由反比例函数的图像知 4 0 1x ，所以1y ，故该函数的值域为 (,1)(1,). （
4、2）同上 11 (, )( ,) 22 y . 试一试：求下列函数的值域： （1） 35 1 x y x ；（2） 4 31 x y x . （1）(,3)(3,)y ； （2） 11 (, )( ,) 33 y . 【分子分母同为一次函数的函数的值域问题转化为反比例函数进行解答，关键在于会化比例函数的图像，当 让根据以上方法我们可以得出结论：在x没有特别的条件限制的时候，(0) axb yc cxd 的值域为 (,)(,) aa cc .】 例 3. 将上述例目改为求解 3 1 x y x 在(2,3)x上的值域呢？ 分析：化简 144 1 11 x y xx ，画函数的图像可知在(2,3)
5、x上为减函数，此时(3,5)y. 【注意在x有范围时必须进行分离化简，得出函数图像，从函数的图像得出结果.】 试一试：求函数 1 2 x y x 在( 3, 2)x 上的最大值和最小值. 分析分析： 1233 1 222 xx y xxx ，画图可知该函数在( 3, 2)x 上为增函数，值域为(4,). 3 例 4. 求( )1 2f xxx的值域. 分析分析： 令1 2tx， 则 2 1 ,0,) 2 t xt ， 原式转化为 22 11 222 tt ytt ， 则 1 ,) 2 y . 【本题主要利用换元的思想将题目转化成熟悉的一元二次函数的形式进行求解值域， 在函数的解析式形式中 如果
6、出现一个根号的形式就可以考虑换元法求值域.】 试一试：求函数2313 4yxx=- -=- -的定义域与值域 分析：令134tx，得 2 13 ,0,) 4 t xt ，原式转化为 2 7 22 t yt ，则 7 (, 2 y （学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解） 1. 当22x 时，求函数 2 23yxx的最大值和最小值 答案：当1x 时， min 4y ，当2x 时， max 5y 2. 已知函数 2 ( )23f xxx在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为_ 分析：分析：f(x)(x1)22，对称轴 x10，m，故 m1.又 f(0)3，由对称性
7、知 m2.1m2 3. 设函数32)( 2 xxxf，若)(xf在 1 ,mx上的最小值为 1，求实数m的值 解：解： 由题意得， 22 ( )23=(1)4f xxxx ， 对称轴方程为1x ， ,1xm，对称轴在区间 ,1m的右边， （做草图） ( )f x在 ,1xm上单调递增， 2 min ( )( )231f xf mmm ， 解得13m 1,13mm Q 4. 已知函数 2557 ( ),(, ,) 322 x f xx x ，求函数的值域。 4 解：解： 252(3) 1157 ( )=2,(, ,) 33322 xx f xx xxx 。 （做草图） ( )f x在 5 (,
8、2 和 7 ,) 2 上单调递减， 5 ( )0 2 f， 7 ( )4 2 f 故 函数( )f x在 57 (, ,) 22 上的值域为0,2)(2,4 。 5. 求函数 22 ( )4422f xxaxaa在0, 2上的最值 f(x)4xa 2 22a2.(1)当a 20，即 a0 时，f(x)在上递增 f(x) maxf(2)a210a18.f(x)minf(0)a22a 2.(2)当a 22，即 a4 时，f(x)在上递减 f(x) maxf(0)a22a2.f(x)minf(2)a210a18.(3)当 0a 22 时， 即 0a4 时， f(x)minf a 2 2a2.当 0a
9、 21 时， 即 0a2 时， f(x) maxf(2)a210a18； 当 1a 22 时，即 2a4 时，f(x)maxa22a2. 本节课主要知识点：二次函数求值域的方法，分子分母是一次式的函数求值域的方法。 【巩固练习】 1. 设函数 2 203f xxxax 的最大值为m，最小值为n，其中0 ,aaR求mn、的 值（用a表示） ； 解：解：由题得 2 11f xxa . 对称轴为1x ，03x。 故对称轴在区间中间。 （做草图） 所以， 11,33mfanfa . 5 2. 求函数 2 ( ),2,1)0,) 1 x f xx x U的值域； 解：解： 2(1)33 ( )=1, 2, 1)0,) 111 xx f xx xxx 。 （做草图） ( )f x在 2, 1)和0,)上单调递减，( 2)4f ，(0)2f 故 函数( )f x在 2, 1)0,)上的值域为(, 4( 1,2 。 【预习思考】 问题：已知二次函数6 2 xxy 求0y时x的值. 作出函数的简图，并观察方程06 2 xx的根与函数图象与x轴交点之间的关系.
