1、没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲学生版Page 1 of 5 第十二讲第十二讲牛吃草问题牛吃草问题（一）（一） 知识说明知识说明 英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题 目目，后来人们就把这类题目称为后来人们就把这类题目称为“牛顿问题牛顿问题” ，也就是我们今天要学的牛吃草问题也就是我们今天要学的牛吃草问题。牛吃草问题实际上是牛吃草问题实际上是 在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思
2、想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲在教我们一种分析题的思想，这种题的类型和解题思想是小升初的考试热点，所以我们安排了两讲来讲 解解“牛吃草牛吃草”为的是让大家能把这块知识学透。为的是让大家能把这块知识学透。 “牛顿问题牛顿问题”是这样的是这样的： “有一牧场，已知养牛有一牧场，已知养牛 27 头，头，6 天把草吃尽；养牛天把草吃尽；养牛 23 头，头，9 天把草吃尽。天把草吃尽。 如果养牛如果养牛 21 头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 ”分析本题就给了牛分析本题就给了牛 的头数的头数，和吃草的
3、时间和吃草的时间。设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了设想如果题目给我们操场原有的草量和草的生长速度那么题目就变得简单多了， 所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为所以需要我们通过设每头牛每天的吃草速度为“1”来求这两个量。来求这两个量。 同一片牧场中的牛吃草问题同一片牧场中的牛吃草问题，一般的解法一般的解法可总结为可总结为： 1、草的生长速度草的生长速度（对应牛的头数对应牛的头数较多天数较多天数对应牛的头数对应牛的头数较少天数较少天数）（较多天数较多天数较少天数较少天数） 2、原来的草量原来的草量对应牛的头数对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数草的生长速
4、度吃的天数吃的天数 3、吃的吃的时间时间原来的草量原来的草量（牛的头数草的生长速度）（牛的头数草的生长速度） 4、牛的头数原来的草量牛的头数原来的草量吃的天吃的天数数的生长速度的生长速度 关于关于牛吃草牛吃草这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走这样的题有很多的变例，像抽水问题，超市开口人等待问题，扶梯行走，行程中的追及，行程中的追及 问题问题等等等等，所以，所以不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解不提倡大家生搬这个公来做题，要理解解题的思路和解题的目的，用画图或列表法来解 题。才能做到举一反三。题。才能做到举一反三。 【考考你【
5、考考你】 （实验中学阶段测试）迅速的做下面的题看看谁会的方法最好？（实验中学阶段测试）迅速的做下面的题看看谁会的方法最好？ （1）有一堆割下来的青草可供有一堆割下来的青草可供 4545 头牛吃头牛吃 2020 天，那么可供天，那么可供 3636 头牛吃多少天头牛吃多少天? ? （2）有一堆割下来的青草可供有一堆割下来的青草可供 2020 头牛吃头牛吃 l l 5 5 天，若天，若一一头牛每天的吃草量相当于头牛每天的吃草量相当于 4 4 头羊的吃草量，那么头羊的吃草量，那么 这堆青草可供这堆青草可供 120120 头羊吃多少天头羊吃多少天? ? 想挑战吗？ 有一牧场有一牧场，已知养牛已知养牛 2
6、7 头头，6 天把草吃尽天把草吃尽；养牛养牛 23 头头，9 天把草吃尽天把草吃尽。如如 果养果养牛牛 21 头头， 那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲学生版Page 2 of 5 专题精讲专题精讲 I.有牛的牛吃草问题有牛的牛吃草问题 思路思路：牛吃草关键是要求两个量牛吃草关键是要求两个量： （1）草的生长速度（）草的生长速度（2）原有草量）原有草量 【例【例 1】 牧场上长满牧草牧场上长满牧草，每天牧草都匀
7、速生长每天牧草都匀速生长。这片牧场可供这片牧场可供 10 头牛吃头牛吃 20 天天，可供可供 15 头牛吃头牛吃 10 天天。 供供 25 头牛可吃几天？头牛可吃几天？ 【例【例 2 2】 （三帆中学阶段测试（三帆中学阶段测试）有一块匀速生长的草场有一块匀速生长的草场，可供可供 1212 头牛吃头牛吃 2525 天天，或可供或可供 2424 头牛吃头牛吃 1010 天天. . 那么它可供那么它可供几几头头牛吃牛吃 2020 天天? ? 【例【例 3 3】 （三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生不仅不生长，反而以固定的速度在减
8、长，反而以固定的速度在减 少少. .已知某块草地上的已知某块草地上的草草可可供供 2020 头头牛牛吃吃 5 5 天天， 或或可供可供 1515 头牛吃头牛吃 6 6 天天. .照此计照此计算算， 可以供多少头牛吃可以供多少头牛吃 1010 天天? ? 【例【例 4 4】 （实验中学、三帆中学阶段测试）（实验中学、三帆中学阶段测试）一片草地，可供一片草地，可供 5 5 头牛吃头牛吃 3030 天，或者可供天，或者可供 4 4 头牛吃头牛吃 4040 天，天， 如果如果 4 4 头牛吃头牛吃 3030 天，又增加了天，又增加了 2 2 头牛一起吃，还可以再吃几天头牛一起吃，还可以再吃几天? ?
9、【例【例 5 5】 （实验中学阶段测试（实验中学阶段测试）有一牧场有一牧场，1717 头牛头牛 3030 天可将草吃完天可将草吃完1919 头牛则头牛则 2424 天可以吃完天可以吃完现有若现有若 干头干头牛吃了牛吃了 6 6 天后天后， 卖掉了卖掉了 4 4 头牛头牛， 余下余下牛牛再吃两天便将草吃完再吃两天便将草吃完 问问： 原来有多原来有多少少头牛头牛吃草吃草( (草草均匀均匀生生长长)?)? 【例【例 6 6】 （三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）一块匀速生长的草地，可供一块匀速生长的草地，可供 1616 头牛吃头牛吃 2020 天或天或者者供供 100100 只羊吃只羊吃 121
10、2 天天. .如如 果一头牛一天吃草量等于果一头牛一天吃草量等于 5 5 只羊一天的吃草只羊一天的吃草量量，那那么这块草地可供么这块草地可供 lOlO 头牛和头牛和 7575 只羊只羊一一起起吃多吃多少天少天? ? 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲学生版Page 3 of 5 II. 牛吃草的变例牛吃草的变例 思路思路：关键是找到题中关键是找到题中“牛牛”和和“草草”分别是什么？分别是什么？ 【例【例 7】 画展画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如点开门，但早有人来排队入场
11、，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如 果开果开 3 个入场口个入场口，9 点点 9 分就不再有人排队分就不再有人排队；如果开如果开 5 个入场口个入场口，9 点点 5 分就没有人排队分就没有人排队。求第一个观众求第一个观众 到达的时间？到达的时间？ 【例【例 8】 有一池水有一池水，池底有泉水不断涌出池底有泉水不断涌出，想要把水池水抽干想要把水池水抽干，10 台抽水机需要台抽水机需要 8 小时小时，8 台抽水机需台抽水机需 要要 12 小时，如果要用小时，如果要用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？台抽水机，那么需抽多少小时？ 【例【例 9】 甲甲、乙乙、丙三个仓库丙三个仓库，各存
12、放着数量相同的面粉各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和甲仓库用一台皮带输送机和 12 个工人个工人，5 小小 时可将甲仓库内面粉搬完时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和乙仓库用一台皮带输送机和 28 个工人个工人，3 小时可将仓库内面粉搬完小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库丙仓库 现有现有 2 台皮带输送机，如果要用台皮带输送机，如果要用 2 小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时 工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉）工效相同，每台皮带输送机每小时工
13、效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉） 【例【例 1010】（三帆中学阶段测试（三帆中学阶段测试）经测算经测算，地球上的资源地球上的资源可供可供 100100 亿人亿人生活生活 100100 年年，或可供或可供 8080 亿人生亿人生 话话 300300 年年. .假设地球新生的资源增长的速度是一定的假设地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少地球最多能养活多少 人人? ? 专题展望专题展望 欲知更多欲知更多“牛吃草问题牛吃草问题”的拓展和变例，请关注我们的下一讲牛吃草（二）的拓展和变例，请关注我们的下一讲牛吃草（二） 练
14、习十二练习十二 1.1.有一块草地有一块草地，若放养若放养 15 头牛头牛，60 天刚好将草全部吃完天刚好将草全部吃完，若放养若放养 35 头牛头牛，则则 20 天刚天刚 好将草全部吃完好将草全部吃完。那么若放养那么若放养 45 头牛头牛。多少天刚好将草吃完？多少天刚好将草吃完？（草地上每天生长的草量草地上每天生长的草量 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲学生版Page 4 of 5 相同，每头牛每天吃草量相同）相同，每头牛每天吃草量相同） 2.2.一一片青草，每天生长的速度相同，如果片青草，每天生长的速度相同，如果 242
15、4 头牛头牛 6 6 天可把草吃完，或者天可把草吃完，或者 2020 头牛头牛 1010 天可以把草吃光天可以把草吃光. . 那么多少头牛那么多少头牛 1212 天可以把草吃尽天可以把草吃尽? ? 3.3.（三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生不仅不生长，反而以固定的速度在减少长，反而以固定的速度在减少. . 已知某块草地上的已知某块草地上的草草可可供供 4040 头头牛牛吃吃 5 5 天天，或或可供可供 3030 头牛吃头牛吃 6 6 天天. .照此计照此计算，算，可以供多少头牛吃可以供多少头牛吃 1010 天天? ? 4
16、.4.（三帆中学阶段测试）（三帆中学阶段测试）一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些一艘船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，当发现漏洞时船内已有一些 水，现在要派人将水淘出船外，如果派水，现在要派人将水淘出船外，如果派 1010 个人需要个人需要 4 4 小时淘完；如果派小时淘完；如果派 8 8 个人需要个人需要 6 6 小时淘完小时淘完. .若要求若要求 用用 2 2 小时淘完，需要派多少人小时淘完，需要派多少人? ? 5.（三帆中学阶段测试（三帆中学阶段测试）两只两只蜗牛由于耐不住阳光的照射蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶从井顶逃逃往井底往井底. .白天往白天
17、往下爬下爬，两只蜗牛白两只蜗牛白 天爬行的速天爬行的速度度是不同的是不同的，一只每个白天爬一只每个白天爬 2020 分米分米，另一只爬另一只爬 1515 分米分米. .黑夜里往下滑黑夜里往下滑，两只两只蜗蜗牛滑行的速牛滑行的速 度却是相同的度却是相同的. .结结果果一只一只蜗牛蜗牛恰恰好好用用 5 5 个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用 6 6 个昼夜到达井底个昼夜到达井底. .那么，井那么，井 深多少米深多少米? ? 数学知识数学知识 合理分鱼合理分鱼 一个山清水秀的村子里有三个好朋友一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明小明、小刚和小强小刚和小强，他们常在一起
18、合伙打鱼他们常在一起合伙打鱼。一次一次，他们忙他们忙 碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家 里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也 醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚
19、上哪去了？这么晚了上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去我得回家劈柴去。于是于是，他又把鱼分成三份他又把鱼分成三份，自己拿走一份自己拿走一份。最后还剩下最后还剩下 8 条鱼条鱼。 第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的 8 条鱼给小刚条鱼给小刚 3 条，小条，小 强强 5 条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？ 分析分析：这个问题直接从文字上分析有一定难度这个问题直接从文字上分析有一定难度，为了帮助我们理解题意为了帮助我们理解题意，启发解题思路启发解题思路，可以根
20、据题意可以根据题意， 由于最后剩的由于最后剩的 8 条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是 8 82 24 4 条。那么小刚拿走自己分的条。那么小刚拿走自己分的 一份鱼后剩下的鱼是一份鱼后剩下的鱼是 82 231212 条条，这占小刚分的三份中的两份这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是所以小刚拿走的鱼是 1226 6；同同 样可得知小明拿走的鱼是样可得知小明拿走的鱼是6329 9 条。所以打的鱼一共是条。所以打的鱼一共是 9327（条（条） 。 当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是 8 一条和第二天又拿了一条和第二天又拿了 5 条知道，每人平均拿了条知道，每人平均拿了 825 条，所以打的鱼一共是（条，所以打的鱼一共是（825）327（条（条） 。 小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。 没有一定的目标，智慧就会丧失。蒙田联系电话：62164116 学而思教育07 年秋季五年级提高班第十二讲学生版Page 5 of 5
