1、备战 2020 高考黄金 15 题系列之数学压轴题【天津专版】 专题五立体几何 1.【2020 届天津市南开中学高三第一学期数学统练八试题】 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中/AD BC，ABAD， 1 2 2 ABADBC，4PA ，E为棱BC上的点，且 1 4 BEBC （1）求证：DE 平面PAC； （2）求二面角APCD的余弦值； （3）设Q为棱CP上的点（不与C，P重合） ，且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为 5 5 ，求 CQ CP 的 值 2.【天津市七校（静海一中、宝坻一中、杨村一中等)2020 高三数学试题】 如图，在四棱锥PAB
2、CD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD， 1 1 2 PAADAB，点E、 M分别在线段AB、PC上，且 AEPM ABPC ，其中01，连接CE，延长CE与DA的延长线交 于点F，连接,PE PF ME （）求证：ME 平面PFD； （）若 1 2 时，求二面角A PEF的正弦值； （）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为 5 5 时，求值 3 【2015 年天津卷】 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 侧棱 1 A A 底面ABCD，ABAC，1AB ， 1 2ACAA，5ADCD，且点M和N分别为 1 BC和 1 DD的中点. （1）求证：/ /MN平面ABCD；
3、 （2）求二面角 11 DACB的正弦值； （3）设E为棱 11 AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为 1 3 ，求线段 1 AE的长. 4.【2020 届广东省茂名市高三第一次综合测试数学】 如图，在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC，D是AB的中点，BCAC， 22 2ABDC ， 1 4AA . （）求证： 1/ BC平面 1 ACD； （）求平面 11 BCC B与平面 1 ACD所成锐二面角的平面角的余弦值. 5.【2020 届山西省运城市高三调研测试（第一次模拟)试题】 如图 1，ADC与ABC是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形， 30AC
4、BACD 90ABCADC ，2AB ， 连接是,BD E边BC上一点， 过E作/ / EFBD， 交CD于点F，沿EF将CEF向上翻折，得到如图 2 所示的六面体,PABEFD （1）求证：;BDAP （2） 设),(BEECR 若平面PEF 底面ABEFD， 若平面PAB与平面PDF所成角的余弦值为 5 5 ， 求的值； （3）若平面PEF 底面ABEFD，求六面体PABEFD的体积的最大值. 6.【2020 届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学试题】 如图，在直角梯形ABCD中，/AB DC，90ABC，22ABDCBC，E为AB的中点，沿DE将 ADE折起，使得点A到点P位置，且
5、PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动点（与点B，C不 重合）. （）证明：平面EMN 平面PBC垂直； （）是否存在点N，使得二面角BENM的余弦值 6 6 ？若存在，确定N点位置；若不存在，说明 理由. 7.【2020 届吉林省通化市梅河口市第五中学高三数学试题】 设三棱锥PABC的每个顶点都在球O的球面上，PAB是面积为3 3的等边三角形，ACBC， ACBC，且平面PAB 平面ABC. （1）确定O的位置（需要说明理由） ，并证明：平面POC 平面ABC. （2）与侧面PAB平行的平面与棱AC，BC，PC分别交于D，E，F，求四面体ODEF的体积的 最大值. 8.【2020 届宁夏银
6、川一中高三第六次月考数学试题】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，60DAB，PD 平面ABCD，2PDAD， 点 E，F 分别为AB和PD的中点. （1）求证：直线/AF平面PEC； （2）求点 F 到平面PEC的距离. 9.【2020 届浙江省绍兴市嵊州市崇仁中学高三下学期 3 月模拟考试数学试题】 如图，四棱锥PABCD中，22ABADBC，/BC AD，ABAD，PBD为正三角形.若 2 3PA ，且PA与底面ABCD所成角的正切值为 2 2 . （1）证明：平面PAB 平面PBC； （2）E是线段CD上一点，记(01) DE DC ，是否存在实数，使二面角PAEC的余弦
7、值为 6 6 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 10.【2020 届福建省莆田市高三（线上)毕业班教学质量检测试卷数学试题】 如图，四棱锥PABCD的底面是菱形，2ABAC， 2 3PA ， PBPD. （1）证明：平面PAC 平面ABCD； （2）若PAAC，点M在棱PC上，且BMMD，求二面角BAMC的余弦值. 11.【2020 届河南省实验中学高三下学期二测数学试题】 如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 2 的正方形，点 P 是圆弧 CD 上的一动点（不与 C，D 重合） ，点 Q 是 圆弧 AB 的中点，且点 P，Q 在平面 ABCD 的两侧 （1）证明：平面 PAD平面
8、 PBC； （2）设点 P 在平面 ABQ 上的射影为点 O，点 E，F 分别是PQB 和POA 的重心，当三棱锥 PABC 体积 最大时，回答下列问题 （i）证明：EF平面 PAQ； （ii）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的正弦值 12.【2020 届湖北省襄阳市优质高中高三联考数学试题】 如图所示， 四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，2PAAB，60ABC， E 为棱BC的中点，F 为棱PC上的动点. （1）求证：AE平面PAD； （2）若锐二面角EAFC的正弦值为 10 5 ，求点 F 的位置. 13.【2020 届河南省天一大联考高三上学期期末数学
9、试题】 如图，五面体ABCDEF中， 2AEEF ，平面DAE 平面ABFE，平面CBF 平面 ABFE.45DAEDEACFBEABFBA ，AB EF，点 P 是线段AB上靠近 A 的三 等分点. （）求证：DP 平面CBF； （）求直线DP与平面ACF所成角的正弦值. 14.【2020 届山东省济宁市高三数学试题】 如图,在平行四边形 ABCD 中,1,2,120ABBCBAD ,四边形 ACEF 为正方形,且平面ABCD 平面 ACEF. (1)证明:ABCF; (2)求平面 BEF 与平面 BCF 所成锐二面角的余弦值. 15.【2020 届宁夏六盘山高级中学高三数学试题】 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，2AD，60ADC，E， F 分别为AD，PC的中点. （1）求证：/ /EF平面PAB； （2）点 G 是线段PD上一动点，若CG与平面PAD所成最大角的正切值为 6，求二面角G ECF的 余弦值.
