1、第一章第一章函数的概念与性质函数的概念与性质 基础卷基础卷 一、单选题一、单选题(本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的) 1已知已知 f(x)3x2，则，则 f(2x1)等于等于(B) A3x2B6x1 C2x1D6x5 【答案】【答案】B 【解析【解析】在在 f(x)3x2 中中，用用 2x1 替换替换 x，可得可得 f(2x1)3(2x1)26x326x 1. 2 （2020浙江高一期中）浙江高一期中）函数函数 1 ( )1f xx x 的定义域是的
2、定义域是( () ) ARB 1,) C(,0)(0,)D 1,0)(0,) 【答案】【答案】D 【解析】【解析】由题意可得：由题意可得：10 x ，且，且0 x ，得到，得到1x ，且，且0 x ，故选：，故选：D 3 （2020浙江高一课时练习）浙江高一课时练习）已知已知 2 1, 1,0), ( ) 1,0,1, xx f x xx 则函数则函数()yfx的图象是（的图象是（） ABCD 【答案】【答案】A 【解析】【解析】当当0 x 时，依函数表达式知时，依函数表达式知 2 ( 0)(0)011ff ，可排除，可排除 B；当；当1x 时，时， ( 1)( 1)10f ，可排除，可排除
3、C、D故选故选 A A 4已知函数已知函数 y 2 1,0 2 ,0 xx x x ，则使函数值为，则使函数值为5的的x的值是（的值是（） A2或或2B2或或 5 2 C2D2或或2或或 5 2 【答案】【答案】C 【解析】【解析】当当0 x 时，令时，令5y ，得，得 2 15x ，解得，解得2x ； 当当0 x 时，令时，令5y ，得，得25x，解得，解得 5 2 x ，不合乎题意，舍去，不合乎题意，舍去. 综上所述，综上所述，2x ，故选故选 C. 5 （2020浙江高一课时练习浙江高一课时练习）某学校要召开学生代表大会某学校要召开学生代表大会，规定各班每规定各班每 10 人推选一名代表
4、人推选一名代表 ，当各当各 班人数除以班人数除以 10 的余数大于的余数大于 6 时再增选一名代表时再增选一名代表， 那么那么， 各班可推选代表人数各班可推选代表人数 y 与该班人数与该班人数 x 之间的之间的 函数关系用取整函数函数关系用取整函数 y=x(x表示不大于表示不大于 x 的最大整数的最大整数)可以表示为可以表示为 （）（） Ay 10 x B 3 y 10 x C 4 y 10 x D 5 y 10 x 【答案】【答案】B 【解析】根据规定每【解析】根据规定每10人推选一名代表，当各班人数除以人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于的余数大于6时增加一名代表，即余时增加一名代
5、表，即余 数分别为数分别为7,8,9时可以增选一名代表，也就是时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加要进一位，所以最小应该加3，因此利用取整函数，因此利用取整函数 可表示为可表示为 3 10 x y ，也可以用特殊取值法，若，也可以用特殊取值法，若56,5xy，排除，排除 C，D，若，若57,6xy，排，排 除除 A，故选，故选 B 6设函数设函数 f(x)(xR)为奇函数，为奇函数，f(1)2 1 ，f(x2)f(x)f(2)，则，则 f(5)等于等于(C) A0B1C2 5 D5 【答案】【答案】C 【解析【解析】令令 x1，得得 f(1)f(1)f(2)f(x)为奇函数为奇
6、函数，f(1)f(1)，f(1)f(1)f(2)， 2 1 2 1 f(2)，f(2)1.令令 x1，得，得 f(3)f(1)f(2)2 1 12 3 .令令 x3，得，得 f(5)f(2)f(3) 2 5 7 （2020甘肃城关兰州一中高三二模（文甘肃城关兰州一中高三二模（文） ） ）已知函数已知函数 ( )f x是定义在 是定义在R上的偶函数上的偶函数,当当0 x 时时, 2 ( )4f xxx,则不等式则不等式 (2)5f x的解集为（的解集为（） A( 3,7)B()4,5C( 7,3)D()2,6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】当当0 x 时时, 2 ( )45f xxx的解为
7、的解为05x； 当当0 x 时，根据偶函数图像的对称性知不等式时，根据偶函数图像的对称性知不等式( )5f x 的解为的解为5x0 ， 所以不等式所以不等式( )5f x 的解集为的解集为55xx ， 所以不等式所以不等式(2)5f x的解集为的解集为 52573xxxx .故选：故选：C 8 已知定义已知定义在在R上的奇函上的奇函数数f(x)满满足足f(x4)f(x)， 且在区间且在区间0,2上是增函数上是增函数， 若方若方程程f(x)m(m0) 在区间在区间8,8上有四个不同的根上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则，则 x1x2x3x4等于等于(C) A6B6 C8D8 【答案】【
8、答案】C 【解析】【解析】f(x)在在 R 上是奇函数，所以上是奇函数，所以 f(x4)f(x)f(x)，故，故 f(x)关于关于 x2 对称，对称，f(x)m 的的 根关于根关于 x2 对称，对称，x1x2x3x44(2)8. 二、多选题二、多选题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要求，全部选对的得合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分) 9下列各组函数表示的是同一个函数的是下列各组函数表示的是同一
9、个函数的是(BD) Af(x) 3 2x 与与 g(x)x x2 Bf(x)|x|与与 g(x) x2 Cf(x)x1 与与 g(x)xx0 Df(x)x x 与与 g(x)x0 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】对于对于 A，f(x) 3 2x 与与 g(x)x x2 的对应关系不同，故的对应关系不同，故 f(x)与与 g(x)表示的不是同一表示的不是同一 个函数；个函数； 对于对于 B，f(x)|x|与与 g(x) x2的定义域和对应关系均相同，故的定义域和对应关系均相同，故 f(x)与与 g(x)表示的是同一个函数；表示的是同一个函数； 对于对于 C，f(x)的定义域为的定义域为 R
10、，g(x)的定义域为的定义域为x|x0，故，故 f(x)与与 g(x)表示的不是同一个函数；表示的不是同一个函数； 对于对于 D，f(x)x x 与与 g(x)x0的对应关系和定义域均相同，故的对应关系和定义域均相同，故 f(x)与与 g(x)表示的是同一个函数表示的是同一个函数 10下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是(BD) Af(x)x 1 Bf(x)x3 Cf(x)x|x|Df(x) 3 x 【答案】【答案】BD 【解析】【解析】Af(x)x 1 在定义域在定义域(，0)(0，)上是奇函数，且在每一个区间上是减函数，不上是奇函数，且在每一
11、个区间上是减函数，不 能说函数在定义域上是减函数，能说函数在定义域上是减函数，不满足题意；对于不满足题意；对于 B，f(x)x3在定义域在定义域 R 上是奇函数，且是上是奇函数，且是 减函数，减函数，满足题意，对于满足题意，对于 C，f(x)x|x| 0, 0, 2 2 xx xx ，在定义域在定义域 R 上是奇函数，且是增函数，上是奇函数，且是增函数， 不满足题意不满足题意；对于对于 D，f(x) 3 x 在定义域在定义域 R 上是奇函数上是奇函数，且是减函数且是减函数，满足题意满足题意故选故选 BD 11已知函数已知函数 f(x) 31xx ，则，则(ABD) Af(x)的定义域为的定义域
12、为3,1Bf(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数 Cf(x)的最大值为的最大值为 8Df(x)的最小值为的最小值为 2 【答案】【答案】ABD 【解析【解析】由题设可得函数的定义域为由题设可得函数的定义域为3,1，f 2(x) 42 32 2 xx 42 2 ) 1(4 x ， 而而 0 2 ) 1(4 x 2，即，即 4f 2(x) 8，f(x)0，2f(x)2 2 ，f(x)的最大值为的最大值为 2 2 ， 最小值为最小值为 2，故选，故选 ABD 12下列说法正确的是下列说法正确的是() A若方程若方程 x2(a3)xa0 有一个正实根，一个负实根，则有一个正实根，一个负实根，则 a0 B
13、函数函数 f(x) 22 11xx 是偶函数，但不是奇函数是偶函数，但不是奇函数 C若函数若函数 f(x)的值域是的值域是2,2，则函数，则函数 f(x1)的值域为的值域为3,1 D曲线曲线 y|3x2|和直线和直线 ya(aR)的公共点个数是的公共点个数是 m，则，则 m 的值不可能是的值不可能是 1 【答案】【答案】AD 【解析】【解析】设方程设方程 x2(a3)xa0 的两根分别为的两根分别为 x1，x2，则，则 x1x2a0，故，故 A 正确；函数正确；函数 f(x) 22 11xx 的定义域为的定义域为 01 01 2 2 x x ，则则 x1，f(x)0，所以函数所以函数 f(x)
14、既是奇函数又是偶函既是奇函数又是偶函 数，故数，故 B 不正确；函数不正确；函数 f(x1)的值域与函数的值域与函数 f(x)的值域相同，故的值域相同，故 C 不正确；曲线不正确；曲线 y|3x2|的图像的图像 如图，由图知曲线如图，由图知曲线 y|3x2|和直线和直线 ya 的公共点个数可能是的公共点个数可能是 2,3 或或 4，故，故 D 正确正确 三、填空题三、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在题中横线上分将答案填在题中横线上) 132020全国高一课时练习全国高一课时练习）若函数若函数 (31)4 ,1 ,1 axa x f x
15、 ax x ，是定义在是定义在R上的减函数上的减函数，则则 a 的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 1 1 , 8 3 【解析】【解析】因为函数因为函数 f x是定义在是定义在R上的减函数，所以上的减函数，所以 310 0 314 a a aaa ，解得，解得 11 83 a. . 14函数函数 f(x) x x 1 1 的定义域为的定义域为_，单调递减区间为，单调递减区间为_. 【答案】【答案】(，1)(1，)，(，1) 【解析【解析】函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(，1)(1，)任取任取 x1，x2(1，)且且 x1x2，则则 f(x1) f(x2) )1)(1 ( )2 21
16、 21 xx xx （ 0，即即 f(x1)f(x2)，故故 f(x)在在(1，)上为减函数上为减函数；同理同理，可得可得 f(x)在在( ，1)上也为减函数上也为减函数 15函数函数 yf(x)是是 R 上的增函数，且上的增函数，且 yf(x)的图像经过点的图像经过点 A(2，3)和和 B(1,3)，则不等式，则不等式|f(2x 1)|3 的解集为的解集为_. 【答案】【答案】 1 (,1) 2 【解析【解析】因为因为 yf(x)的图像经过点的图像经过点 A(2，3)和和 B(1,3)，所以所以 f(2)3，f(1)3.又又|f(2x1)|3， 所以所以3f(2x1)3， 即即 f(2)f(
17、2x1)f(1) 因为函数因为函数 yf(x)是是 R 上的增函数上的增函数， 所以所以22x11， 即即 112 212 x x ，即即 1 2 1 x x ，所以所以2 1 x0，所以所以 方程有两根，相应地，函数方程有两根，相应地，函数 f(x)x2ax1(a(4,5)有有 2 个不动点个不动点 四、解答题四、解答题(本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(10 分分)已知幂函数已知幂函数 39* () m yxmN 的图象关于的图象关于y轴对称且在轴对称且在0,上单调递减，求满足上单调递减，
18、求满足 33 132 mm aa 的的a的取值范围的取值范围. 【解析】【解析】因为函数因为函数 39* () m yxmN 在在0,上单调递减，所以上单调递减，所以390m， 解得解得3m.又因为又因为 * mN ，所以，所以1m ，2； 因为函数的图象关于因为函数的图象关于y轴对称，轴对称， 所以所以39m为偶数，故为偶数，故1m . 则原不等式可化为则原不等式可化为 11 33 132aa ， 因为因为 1 3 yx 在在,0，0,上单调递减，上单调递减， 所以所以1320aa 或或3210aa 或或1032aa ， 解得解得 23 32 a或或1a . 故故a的取值范围是的取值范围是1
19、a 或或 23 32 a. 18(10 分分)（2019陕西高一期中）陕西高一期中）已知函数已知函数 21 ( ) 1 x f x x （1）试判断函数在（）试判断函数在（-1，+）上的单调性，并给予证明；）上的单调性，并给予证明； （2）试判断函数在）试判断函数在3,5x的最大值和最小值的最大值和最小值 【解析【解析】 （1） 213 2 11 x yf x xx ， 函数函数 f x在在1，上是增函数，上是增函数， 证明：任取证明：任取 1 x， 2 1x ，且，且 12 xx， 则则 12 1221 3333 22 1111 f xf x xxxx 12 12 3 11 xx xx ，
20、12 1xx ， 12 0 xx， 12 110 xx， 12 0f xf x，即，即 12 f xf x， f x在在1，上是增函数上是增函数. （2） f x在在1，上是增函数，上是增函数， f x在在3 5，上单调递增，上单调递增， 它的最大值是它的最大值是 2 5 13 5 5 12 f ， 最小值是最小值是 2 3 15 3 3 14 f 19(12 分分)设函数设函数 f(x)ax2(b8)xaab 的两个零点分别是的两个零点分别是3 和和 2. (1)求函数求函数 f(x)； (2)当函数当函数 f(x)的定义域是的定义域是0,1时，求函数时，求函数 f(x)的值域的值域 【解析
21、】【解析】(1)f(x)的两个零点是的两个零点是3 和和 2，3 和和 2 是方程是方程 ax2(b8)xaab0 的两根，的两根， 有有 9a3(b8)aab0，4a2(b8)aab0.得得 ba8. 将将代入代入得得 4a2aaa(a8)0，即，即 a23a0.a0，a3，ba85，f(x) 3x23x18. (2)由由(1)得得 f(x)3x23x183(x2 1 )24 3 18.图像的对称轴是直线图像的对称轴是直线 x2 1 . 0 x1，f(x)minf(1)12，f(x)maxf(0)18，此时函数此时函数 f(x)的值域是的值域是12,18 20(12 分分)已知函数已知函数
22、3 1 1 ax f xa a . （1）若）若0a ，求，求 f x的定义域；的定义域； （2）若）若 f x在区间在区间0,1上是减函数，求实数上是减函数，求实数a的取值范围的取值范围. 【解析】【解析】(1)(1)当当0a 且且1a 时，由时，由30ax得得 3 x a ，即函数，即函数 f x的定义域是的定义域是 3 , a . (2)(2)当当10a 即即1a 时，令时，令3tax 要使要使 f x在在0,1上是减函数，则函数上是减函数，则函数3tax在在0,1上为减函数，即上为减函数，即0a，并且且，并且且 310a ，解得，解得13a； 当当10a 即即1a 时时 ，令，令3ta
23、x 要使要使 f x在在0,1上是减函数，则函数上是减函数，则函数3tax在在0,1为增函数，即为增函数，即0a 并且并且310a ，解得，解得0a 综上可知，所求实数综上可知，所求实数a的取值范围是的取值范围是,01,3U. 21(12 分分)已知函数已知函数 f（x）x m x ，且此函数图象过点（，且此函数图象过点（1，2） （1）求实数）求实数 m 的值；的值； （2）判断函数）判断函数 f（x）的奇偶性并证明；）的奇偶性并证明； （3）讨论函数）讨论函数 f（x）在（）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论）上的单调性，并证明你的结论 【解析【解析】 （1）函数函数 f（x）x m
24、x ，且此函数图象过点（，且此函数图象过点（1，2） ， 21+m， m1； （2）f（x）x 1 x ，定义域为：，定义域为：00， 又又 f（x）x 1 x f（x） ， 函数函数 f（x）是奇函数；）是奇函数； （3）函数函数 f（x）在（）在（0，1）上单调递减，）上单调递减， 设设 0 x1x21， 则则 2112 12121212 121212 111xxx x fxfxxxxxxx xxxxxx ， 0 x1x21， x1x20，0 x1x21，x1x210， 12 1212 12 1 0 x x fxfxxx x x ， 即即 f（x1）f（x2） ， f（x）在（）在（0，1
25、）上的单调递减）上的单调递减 22.(12 分分)某厂生产某种零件某厂生产某种零件，每个零件的成本为每个零件的成本为 40 元元，出厂单价定为出厂单价定为 60 元元该厂为了鼓励销售商该厂为了鼓励销售商 订购，决定每一次订购量超过订购，决定每一次订购量超过 100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降 0.02 元元， 但实际出厂单价不能低于但实际出厂单价不能低于 51 元元 (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好为 51 元？元？ (2)当销售商一次订购当销售商一次订购
26、x 个零件时，该厂获得的利润为个零件时，该厂获得的利润为 P 元，写出元，写出 Pf(x)的表达式的表达式 【解析】【解析】(1)设每个零件的实际出厂价格恰好为设每个零件的实际出厂价格恰好为 51 元时，一次订购量为元时，一次订购量为 x0个，则个，则 600.02(x0100) 51，解得，解得 x0550，所以当一次订购量为，所以当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价恰好为个时，每个零件的实际出厂价恰好为 51 元元 (2)设一次订量为设一次订量为 x 个时，零件的实际出厂单价为个时，零件的实际出厂单价为 W，工厂获得利润为，工厂获得利润为 P，由题意，由题意 P(W40)x， 当当 0 x100 时，时，W60； 当当 100 x550 时，时，W600.02(x100)6250 x ； 当当 x550 时，时，W51. 当当 0 x100 时，时， f(x)(6040)x20 x； 当当 100 x550 时，时， f(x)(2250 x )x22x50 1 x2； 当当 x550 时，时， f(x)(5140)x11x. 故故 f(x) ),550( ,11 ),550100( 50 22 ),1000(20 2 Nxxx Nxx x x Nxxx
