1、 前面前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基 本定理，把向量的运算化归为实数的运算本定理，把向量的运算化归为实数的运算. . 本节我们将学习运用本节我们将学习运用 向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和 实际问题中的作用实际问题中的作用. .同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边 长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题. . 由于向量的线性运算和
2、数量积运算具有鲜明的几何背景，平由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平 面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由 向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题 都可用向量运算的方法加以解决都可用向量运算的方法加以解决. .下面通过两个具体实例，说明向下面通过两个具体实例，说明向 量方法在平面几何中的应用量方法在平面几何中的应用. . 有了运算，向量的有了运算，向量的 力量无限；没有运算，力量无限；没有运算， 向量就只是一个路标向量就只是一个路
3、标. . 解解： 例例1 1 如如右图右图，DEDE是是ABCABC的中位线，用向量方法证明：的中位线，用向量方法证明： DEBCDEBC，DE= BC.DE= BC. 2 2 1 1 如右图作向量如右图作向量. . C CB B A A D DE E 因为因为DEDE是是ABCABC的中位线的中位线 A AC C 2 2 1 1 A AE E ， A AB B 2 2 1 1 A AD D 所以所以 D DE E从而从而 A AD DA AE E A AB B 2 2 1 1 A AC C 2 2 1 1 ) )A AB BA AC C( ( 2 2 1 1 A AB B- -A AC CB
4、 BC C 又又 ，B BC C 2 2 1 1 D DE E 所以所以 于是于是DEBCDEBC，DE= BC.DE= BC. 2 2 1 1 平面几何平面几何经常涉及距离经常涉及距离( (线段长度线段长度) )和角度问题和角度问题, ,而平面向量的而平面向量的 运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角, ,因此因此 我们可以用向量方法解决某些几何问题我们可以用向量方法解决某些几何问题. .用向量方法解决几何问题用向量方法解决几何问题 时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹
5、角等几何元素，然后 通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系, ,最后再把运算最后再把运算 结果结果“翻译翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论成几何关系，便得到几何问题的结论. . 用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三部曲三部曲”： (1)(1)建立平面几何与向量的联系建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几，用向量表示问题中涉及的几 何元素，将平面几何问题转化为向量问题；何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角，
6、如距离、夹角 等问题；等问题； (3)(3)把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系. . 解解： 例例2 2 如右图，已知平行四边形如右图，已知平行四边形ABCD,ABCD,你能发现对角线你能发现对角线ACAC和和BDBD的长度的长度 与两邻边与两邻边ABAB和和ADAD的长度之间的关系吗？的长度之间的关系吗？ 设设 ，则，则b bA AD D，a aA AB B b b- -a aD DB B，b ba aA AC C 所以所以 2 2 2 2 ) )b ba a( (ACAC 因此因此ACAC2 2+BD+BD2 2=2(AB=2(AB2 2+AD+AD2 2) ). . A A B B C C D D 如右图作向量如右图作向量. . 2 22 2 b bb ba a2 2a a 2 2 2 2 ) )b ba a( (DBDB 2 22 2 b bb ba a2 2a a 两式相加得两式相加得 2 22 2 DBDBACAC ) )b ba a2(2( 2 22 2 课堂练习课堂练习: : 第第3939页练习第页练习第1 1、2 2、3 3题题 课堂作业课堂作业: : 第第5252页页习题习题6.46.4第第1 1、2 2、3 3题题
