1、立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 第五章 三角函数 立德树人 和谐发展 1.掌握周期函数的定义和性质，会求正弦，余弦函掌握周期函数的定义和性质，会求正弦，余弦函 数的周期；数的周期； 2.会判断函数的奇偶性。会判断函数的奇偶性。 学习目标学习目标 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 单调性 【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如 讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域. 如图可以看到：当 由 增大到 时，曲线逐渐上升， 的值由1减小 到-1. 的值变化情况如图所示： 这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减. 立德树人
2、和谐发展立德树人 和谐发展 单调性 正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增 大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1. 由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道： 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 单调性 余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1； 在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1. 同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道： 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 函 数 名 递增区间递减区间 y=sinx y=cosx 2,2 22 kk 3 2,2 22 kk (21) ,2kk2,(21) ()kkkz 三、三、 正弦、
3、余弦函数的单调性正弦、余弦函数的单调性 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 正弦函数正弦函数y=sinx,xR 2 当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数时，正弦函数 取得最大值取得最大值1； 2 当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函时，正弦函 数取得最小值数取得最小值1 4. 4.最大值与最小值最大值与最小值 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 (2)值域值域:因为正弦线的长度小于或等于单位圆因为正弦线的长度小于或等于单位圆 的半径的长度的半径的长度;从正弦曲线可以看出，正弦曲从正弦曲线可以看出，正弦曲 线分布在两条平行线线分布在两条平行线y=1和和y=1之间，所以之间，所以 |
4、sinx|1,即即1sinx1, 也就是说，正弦函数的值域是也就是说，正弦函数的值域是1,1. 同理余弦函数的值域是同理余弦函数的值域是1,1 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 余弦函数余弦函数y=cosx,xR 当且仅当当且仅当x2k，kZ时，余弦函数取得最时，余弦函数取得最 大值大值1； 当且仅当当且仅当x2k+，kZ时，余弦函数取时，余弦函数取 得最小值得最小值1 2 o 46246x y - - - - - - - - - 1 -1 2 o 46246x y - - - - - - - - - 1 -1 立德树人 和谐发展 应用探究 例 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合
5、，并求出最大值、最小值. (2) y=cos x+1，xR；(1) y=- -3sin 2x，xR； 解： (1)令z=2x，使函数y=- -3sin z取得最大值z的集合，就是使y=sin z取得最 小值的z的集合| ，z zkk2Z 2 由 ，得 .所以，使函数y=- -3sin 2x取得最大值的x 的集合是 22 2 xzk 4 xk | Z 4 ，x xkk 同理，使函数y=- -3sin 2x取得最小值x的集合是 | Z 4 ，x xkk 函数y=- -3sin 2x的最大值是3，最小值是- -3. 立德树人 和谐发展 （1） ；（2） sin()sin() 1810 与 2317
6、cos()cos() 54 与 解：（1）因为 ， 0 21810 正弦函数ysinx在区间 上单调递增， 0 2 ， 所以 sin()sin() 1810 新知探究 例2不通过求值，比较下列各数的大小： 立德树人 和谐发展 解：（2） ， 23233 cos()coscos 555 1717 cos()coscos 444 ， 且余弦函数在区间0，上单调递减， 所以 32317 coscoscos()cos() 4554 ， 新知探究 （1） ；（2） sin()sin() 1810 与 2317 cos()cos() 54 与 例2不通过求值，比较下列各数的大小： 立德树人 和谐发展 1
7、sin2 2 23 yxx， 解：令 ，则 1 2 2 23 zxx， 2 4 33 z， 因为 的单调递增区间是 ， 2 4 sin 33 yzz， 2 2 z， 且由 得 ， 1 2232 x 5 33 x 所以，函数 的 1 sin2 2 23 yxx， 5 33 ， 单调递增区间是 新知探究 例3求函数 的单调递增区间 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展当堂达标当堂达标 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 立德树人 和谐发展立德树人
8、 和谐发展 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 奇偶性奇偶性 单调性（单调区间）单调性（单调区间） 奇函数奇函数 偶函数偶函数 +2k , +2k ,k Z 2 2 单调递增单调递增 +2k , +2k ,k Z 2 2 3 单调递减单调递减 +2k , 2k ,k Z 单调递增单调递增 2k , 2k + , k Z单调递减单调递减 函数函数 余弦函数余弦函数 正弦函数正弦函数 求函数的单调区间：求函数的单调区间： 1. 直接利用相关性质直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间利用图象寻找单调区间 课堂小结课堂小结 立德树人 和谐发展立德树人 和谐发展 定义域 值域 最大值 最小值 奇偶性 周期性 y=sinxy=cosx 函数 性质 RR -1，1 -1，1 仅当 时取得最大值1 Zkkx,2 2 仅当 时取得最大值1 Zkkx,2 仅当 时取得最小值-1 Zkkx,2 2 仅当 时取得最小值-1 Zkkx,) 12( 奇函数偶函数 22 课堂小结课堂小结 立德树人 和谐发展 作业布置 作业作业B 1课本课本P213 习题习题5.4 第第4,5,6题题 课后作业课后作业 2. 金版金版P135- P136
