（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业08：导数研究恒成立与能成立问题A卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 08导数研究恒成立与能成立问题 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知函数，若恒成立，则实数 的取值范围是 ()= + () 0 A.B.C.D. (1, + )(,1)1, + )(,1 2.已知不等式对任意恒成立，则整数 的最小值为( ) + 0, ? A.2B.1C.0D.-1 3.已知函数，若恒成立，则 的取值范围为（ ） () = + () 2 3 A.B.C.D. 3, + )(0,3(,33,0) 4.若都有成立，则 的最大值为（ ） 0 1 2 2112 12 A.B.1C.D. 1 22 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数，则下列判断正确的是（ ） ()= + 2 A.存在，使得B.函数的递减区间是 (0, + )() 0 122 1(1) = (2)1+ 2 4 6.对于函数，下列说法正确的是（ ） ()= 2 A.在处取得极大值B.有两个不同的零点 () = 1 2 () C.D.若在上恒成立，则 (2) () (3) () 2 三、填空题(共 10 分) 7.已知函数，若x1，x2（0，+） ，f（x1）g（x2）恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()= ，()= 2+ 2 + _ 8.已知函数，是函数的导数，且，若在上恒成立，则实数 () = 32+ 2 + 1()() (2 + ) = (2 3)1,() 1 的取值范围为_. 四、解答题(共 34 分) 9.已知函数. ()= 22 + 1 （1）若函数（，）的定义域为 ，求实数 a 的取值范围； ()= ()+ 0 1 （2）当时，恒有不等式成立，求实数 a 的取值范围. 0 () 10.已知函数 ()= 2+ （1）当时，求函数的单调区间和极值； = 2 () （2）若在上是单调增函数，求实数 的取值范围 ()= ()+ 2 1, + ) 11.已知函数在点处的切线方程为. ()= + (,() = + 2 （1）求实数 的值； （2）若存在，满足，求实数 的取值范围. 0,2 (0) 1 4 + 暑假作业 08导数研究恒成立与能成立问题 A 卷 一、单选题(共 20 分) 1.已知函数，若恒成立，则实数 的取值范围是 ()= + () 0 A.B.C.D. (1, + )(,1)1, + )(,1 【答案】A 【解析】 ， () = 1 令，解得：， () 0 0 令，解得：， () 0 0 则，解得， 1 + 0： 1 故选 A. 点睛：不等式的恒成立问题，常用的方法有两个： 一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可； 二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，结合单 调性处理. 2.已知不等式对任意恒成立，则整数 的最小值为( ) + 0, ? A.2B.1C.0D.-1 【答案】A 【解析】 【分析】 引入函数，利用导数求得函数的最大值，从而得到 的范围 【详解】 设，则， () = + () = + = 当时，递增，当时，递减， 0 0() 2 () 0() 时，取得极大值也是最大值 = 2() ( 2) = 2 不等式对任意恒成立，则，其中最小的整数是 2. + 0, ? 2 故选：A. 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，解题关键是引入函数，用导数研究函数的单调性得最大值 3.已知函数，若恒成立，则 的取值范围为（ ） () = + () 2 3 A.B.C.D. 3, + )(0,3(,33,0) 【答案】C 【解析】 【分析】 先对函数求导，根据恒成立，得到恒成立；配方法求出的最小值即可. () 2 3 2 2 32 2 3 【详解】 因为，所以， () = + ()= 由恒成立，可得：恒成立，即恒成立； () 2 3 2 3 2 2 3 又， 2 2 3=(3)2 3 3 所以只需，即可使恒成立. 3() 2 3 故选 C 【点睛】 本题主要考查根据不等式恒成立求参数的问题，一般用分离参数的方法求解，属于常考题型. 4.若都有成立，则 的最大值为（ ） 0 1 2 2112 12 A.B.1C.D. 1 22 【答案】B 【解析】 【分析】 将题目所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 1 + 1 1 1 + 2 2 ()= 1 + () 【详解】 原不等式可转化为，构造函数，故函数在上导数大于零，单调递增，在上导 1 + 1 1 1 + 2 2 ()= 1 + ()= 2(0,1)(1, + ) 数小于零，单调递减.由于且，故在区间上，故 的最大值为 ，所以选 B. 1 2(1) (2)1,2 (0,1)1 【点睛】 本小题主要考查利用导数求解不等式恒成问题，考查了化归与转化的数学思想方法.属于中档题. 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数，则下列判断正确的是（ ） ()= + 2 A.存在，使得B.函数的递减区间是 (0, + )() 0 122 1(1) = (2)1+ 2 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】 求出原函数的导函数，得到单调性与极值，即可判断 ABC，构造函数，利用导数证明 【详解】 解：因为，定义域为， ()= + 2 (0, + ) ()= 1 2 2 = 2 2 令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在 () 0 0 0 2 ()= + 2 上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，所以对任意 (2, + ) ()= + 2 = 2 ()= (2)= 2 + 1 0 ，故 正确、 错误；令，则， (0, + ) (0,2)2 (0,2)2 + 2 令， () = (2 + )(2) = 2 2 + + (2 + ) 2 2(2) = 4 24 + 2 + 2 则 () = 4(24)82 (24)2 + 2 2 + 2 + 2 + (2)2 = 4216 (24)2 + 4 42 = 82 (24)2 0 在上为减函数，则， ()(0,2)() 2 + 则，当时显然成立 1+ 2 2 + 2 + = 4241+ 2 4 对任意两个正实数、，且，若，则正确，故 正确 122 1(1) = (2)1+ 2 4 故选：BCD 【点睛】 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于难题 6.对于函数，下列说法正确的是（ ） ()= 2 A.在处取得极大值B.有两个不同的零点 () = 1 2 () C.D.若在上恒成立，则 (2) () (3) () 2 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对于选项 A、C，只需研究的单调性即可；对于选项 B，令解方程即可；对于选项 D，采用分离常数，转化为函数的 () ()= 0 最值即可. 【详解】 由已知，令得，令得，故 ()= 12 3() 0 0 () () 在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为， (0, )( , + )() ()= 1 2 A 正确； 又令得，即，当只有 1 个零点，B 不正确； ()= 0 = 0 = 1 + ,()0, () ，所以，故 C 正确； 2 3 (2) () (3) 若在上恒成立，即在上恒成立，设， () 1 2(0, + ) ()+ 1 2 00 1 2 () 1 2 () 在上单调递增，在单调递减，所以， (0, 1 2) ( 1 2, + )()= ( 1 2) = 2 2 故 D 正确. 故选：ACD 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的极值、零点、不等式恒成立等问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题. 三、填空题(共 10 分) 7.已知函数，若x1，x2（0，+） ，f（x1）g（x2）恒成立，则实数 a 的取值范围为 ()= ，()= 2+ 2 + _ 【答案】 1 1 【解析】 【分析】 求导后即可求得，根据二次函数的性质可得，再由恒成立问题的解决方法可得 () (1)= 1() (1)= 1 + ，即可得解. 1 + 1 【详解】 求导得， ()= + 1 则当时，函数单调递减； (0,1)() 0()() (1)= 1 函数为开口向下，对称轴为的二次函数， ()= 2+ 2 + = 1 所以当时，； (0, + )() (1)= 1 + 由题意可知即. 1 + 1 11 故答案为：. 11 【点睛】 本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题. 8.已知函数，是函数的导数，且，若在上恒成立，则实数 () = 32+ 2 + 1()() (2 + ) = (2 3)1,() 1 的取值范围为_. 【答案】 1 2, + ) 【解析】 【分析】 先求出，由得到的图像关于对称，解得， () (2 + ) = (2 3)() = 2 3 = 2 所以可转化为，令，由在上单调递减，求出的最大值，即可求得 的取值 () 1 1 2( 22) () = 1 2( 22) ()1,() 范围. 【详解】 依题意可得，又， () = 322 + 2 (2 + ) = (2 3) 所以函数的图象关于直线对称，即， () = 2 3 2 6 = 2 3 解得，所以， = 2() = 322+ 2 + 1 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 1,() 1 1 2( 22) 1, 令， () = 1 2( 22) 1, 因为函数在上单调递减， () = 1 2( 22) 1, 所以函数在上的最大值为， ()1, (1) = 1 2 (12) = 1 2 所以，故实数 的取值范围为. 1 2 1 2, + ) 故答案为： 1 2, + ) 【点睛】 本题主要考查利用函数的单调性解决不等式恒成立问题，注意构造函数的应用，考查了函数对称性的应用，考查学生的分析转化 能力，属于中档题. 四、解答题(共 34 分) 9.已知函数. ()= 22 + 1 （1）若函数（，）的定义域为 ，求实数 a 的取值范围； ()= ()+ 0 1 （2）当时，恒有不等式成立，求实数 a 的取值范围. 0 () 【答案】 （1），且；（2） 0 1 +5 2 1 0 （2）整理不等式得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可. + 1 2 ()= + 1 【详解】 （1）由题意可知，在 上恒成立， 22 + 1 + 0 = 4244 0 ，且； 0 + 1 2 ()= + 1 ， ()= 1 2 1 + 1 令，解得， ()= 1 2 1 + 1 = 0 = 5 + 1 2 当时，递增；当时，递减； ( 5 + 1 2 , + ) () 0() (0, 5 + 1 2 )() 0() ，. () ( 5 + 1 2 )= 5 5 + 1 2 1 2( 5 5 + 1 2 ) 【点睛】 考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换.难点是利用导函数求出构造函数的最小值，考查计算能力，属于中等题. 10.已知函数 ()= 2+ （1）当时，求函数的单调区间和极值； = 2 () （2）若在上是单调增函数，求实数 的取值范围 ()= ()+ 2 1, + ) 【答案】 （1）单调递减区间是、单调递增区间是，极小值是 1没有极大值.（2） (0,1)(1, + )0, + ) 【解析】 【分析】 （1）函数的定义域为， ()(0, + ) 当时，由此利用导数性质能求出函数的单调区间和极值 = 2 ()= 22 = 2( + 1)(1) () （2）由得，令，则，由此利用导数性质能求出 的取值范围 ()= 2+ + 2 ()= 2 + 2 2 ()= 2 2 2 ()= 2 24 【详解】 解：（1）易知，函数的定义域为， ()(0, + ) 当时， = 2 ()= 22 = 2( + 1)(1) 当 变化时，和的值的变化情况如下表： ()() (0,1) 1 (1, + ) () 0 () 递减极小值递增 由上表可知， 函数的单调递减区间是、单调递增区间是，极小值是,没有极大值. ()(0,1)(1, + )(1)= 1 （2）由，得 ()= 2+ + 2 ()= 2 + 2 2 若函数在上的单调增函数，则在上恒成立， ()1, + )() 01, + ) 即不等式在上恒成立 2 2 2 + 0 1, + 也即在上恒成立 2 2 2 1, + ) 令，则 ()= 2 2 2 ()= 2 24 当时，在上为减函数， 1, + ) ()= 2 24 0 ()= 2 2 2 1, + ) ()= (1)= 0 所以， 0 的取值范围为 0, + ) 【点睛】 考点：1利用导数研究函数的极值；2利用导数研究函数的单调性中档题. 11.已知函数在点处的切线方程为. ()= + (,() = + 2 （1）求实数 的值； （2）若存在，满足，求实数 的取值范围. 0,2 (0) 1 4 + 【答案】(1) 实数 的值为 . (2). 1 2 1 42, + ) 【解析】 分析：（1）根据导数的几何意义求得曲线在点处的切线方程，与对照后可得 （2）问题可转化为 = ()(,() = + 2 = 在上有解，令，结合导数可得，故得实数 的取值范围为 1 1 4,2 ()= 1 1 4 ,2 ()= (2)= 1 2 1 42 1 2 1 42, + ) 详解：（1）函数的定义域为， ()(0,1)(1, + ) ， ()= + . ()= 1 2 ， ()= 又, ()= + 所求切线方程为， ( + ) = ( ) 即. = + + 又函数在点处的切线方程为， ()(,() = + 2 . = 所以实数 的值为 . （2）由题意得， (0)= 0 0 0+ 1 4 + 所以问题转化为在上有解. 1 1 4,2 令， ()= 1 1 4 ,2 则 . ()= 1 42 1 2 = 2 4 422 = ( + 2 )( 2 ) 422 令， ()= 2 则当时，有. ,2 ()= 1 1 = 1 0 所以函数在区间上单调递减， (),2 所以. () ()= 2 0 所以， () () () () () 题时特别要注意不等式中的等号能否成立