（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第二册暑假作业08：导数研究恒成立与能成立问题B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 08导数研究恒成立与能成立问题 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.若函数在 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ） ()= + A.B.C.D. 2 1 1 2 2.若函数在区间上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） () = 1 2 2 (0, A.B.C.D. (,2 (,11, + ) 2 , + ) 3.已知函数，若存在使得，则的取值范围是（ ） ()= 2+ + 0 (0, + )(0) 0 A.B.C.D. (, 1 2)(0, + )(1, + ) ( 1 2, + ) 4.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是( ) () = 2 + ()2 1,3 () + () 0 A.B.C.D. ( 2， 10 3)(,2) (, 10 3) ( 0， 10 3) 二、多选题(共 10 分) 5.已知函数，给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） ()= 2 ()= 2 + 52，( 0) A.若，使得成立，则 1,2() 1 B.若，使得恒成立，则 () 0 0 (2) 6 D.若，使得成立，则 11,220,1(1)= (2) 3 4 6.已知函数，若对于任意实数 ，实数可以使不等式成立，则的值不可能为（ ） () = 1|()| 2| A.0B.C.D. 1 2 1 24 三、填空题(共 10 分) 7.已知 m 为整数，若对任意，不等式恒成立，则 m 的最大值为_. (3, + ) (3) 1 8.已知函数，（e 是自然对数的底数） ，若对，使得成立，则 ()= 2 + 1 ()= + 4 1(0,1)21,3(1) (2) 正整数 k 的最小值为_. 四、解答题(共 36 分) 9.已知函数 () = 2 （1）讨论的单调性； () （2）若关于 的不等式恒成立，求实数 的取值范围 () + 1 0 10.已知函数. ()=()( ) （1）讨论的单调性； () （2）若，当时不等式在上恒成立，求实数 的取值范围. = 2 0 ()+ 2 1 2( 2+ 4) 0, + ) 11.已知函数. () =(2)1 2 2+ （1）当时，求证：； = 0()2+ 2 （2）若不等式在上恒成立，求实数 的取值范围. ()0 1 , 暑假作业 08导数研究恒成立与能成立问题 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.若函数在 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ） ()= + A.B.C.D. 2 1 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 由在 上单调递减，可得：导函数在 R 上恒成立，参变分离后，求最值即可的解. ()= + () = 0 【详解】 由在 上单调递减， ()= + 可得：导函数在 R 上恒成立， () = 0 因为， 0 参变分离可得：， (+ ) + 2 = 2 2 故选：A 【点睛】 本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题. 2.若函数在区间上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） () = 1 2 2 (0, A.B.C.D. (,2 (,11, + ) 2 , + ) 【答案】C 【解析】 【分析】 求出函数导数，由题意知即在上恒成立，利用导数求出函数在上的最大值即可求得 k 的 () 0 + 1 (0, () = + 1 (0, 范围. 【详解】 ，由题意知在上恒成立， () = 1() 0(0, 即在上恒成立，令，则， + 1 (0, () = + 1 () = 2 当时，单调递增；当时，单调递减， (0,1)() 0() (1,() 0 A.B.C.D. (, 1 2)(0, + )(1, + ) ( 1 2, + ) 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可得在有解，令，求导判断的单调性后，求出的最小值即可得解. 2(0, + ) ()= 2 ( 0) ()() 【详解】 存在使得， 0 (0, + )(0) 0 即在有解， 2 2(0, + ) 令，则， ()= 2 ( 0)()= (1 1 ) 2+ 2( + ) 4 = + 21 3 (1)= 0 当时，则，函数单调递减； (0,1) + 21 0 () 0 () 0() 当时， 0 (0, + ) () (1)= 1 . 1 故选：C. 【点睛】 本题考查了利用导数解决能成立问题，考查了转化化归思想，属于中档题. 4.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是( ) () = 2 + ()2 1,3 () + () 0 A.B.C.D. ( 2， 10 3)(,2) (, 10 3) ( 0， 10 3) 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，求出.存在，使得，即存在，使得，可得不等式在 () 1,3 () + () 0 1,3 222 + 2 0 2 + 1 0 上有解.令，只需，即求实数的取值范围. 1,3 ()= + 1 , 1,3 0 1,3 222 + 2 0 即不等式在上有解， 2 + 1 0 1,3 不等式在上有解. + 1 1,3 令，且不恒为 0， ()= + 1 , 1,3 ()= 1 1 2 0 在上单调递增， ()1,3 ， ()= (3)= 10 3 . 0) A.若，使得成立，则 1,2() 1 B.若，使得恒成立，则 () 0 0 (2) 6 D.若，使得成立，则 11,220,1(1)= (2) 3 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对选项 A，在上的最小值小于 即可；对选项 B，的最小值大于 即可；对选项 C，在上的最小值大于 ()1,2()0()1,2 的最大值即可；对选项 D，即可. () 11,220,1() ()() () 【详解】 对选项 A，只需在上的最小值小于 ，在上单调递增， ()1,2()1,2 所以，所以，故正确； ()= (1) = 12 1 = 1 1 对选项 B，只需的最小值大于 ，因为， ()0 2 , 所以，所以，故错误； ()= + 52 = 53 0 0 5 6 对选项 D，只需， () ()() () ，所以， ()= (2) = 22 2 = 1 11,2(1) 1,1 时，所以在上单调递减， 0,1 2 0, 2 ()0,1 ，所以， ()= (1) = 52()= (0) = 5 ()52,5 由题意， ，故正确. 52 1 5 1 3 4 故选：ACD. 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题. 6.已知函数，若对于任意实数 ，实数可以使不等式成立，则的值不可能为（ ） () = 1|()| 2| A.0B.C.D. 1 2 1 24 【答案】AC 【解析】 【分析】 通过特殊值代入，可排除 AC，再证明 B 成立，利用不等式的放缩可得 D 也成立； 【详解】 对 A，当时，取，则不成立，故 A 不可能； = 0 = 01 0 对 B，当时， = 1 2 |()| 1 2 2|11 2 2| 0 令，当时，在恒成立，在单 () = 11 2 2| 0 () = (11 2 2)1 () = (21 2 2) 0 0()(0, + ) 调递减，且，在恒成立， (0) = 0() 0(0, + ) 在单调递减，且，在恒成立；当时，令， ()(0, + )(0) = 0() 0 0 0 () = 11 2 2 ， () = 1+ 1 2 2 () = + (1 2 2+ 21) ，在恒成立，在单调递减，且.在 0 1 1 2 2+ 21 1 () 0 0 恒成立，在单调递增，且， (,0)()(,0)(0) = 0 在恒成立；综上所述：命题成立，故 B 可成立； () 0(,0) 对 C，当时，显然也是不可能的，故 C 不可能； = 1 2 1 2 2| 0 = 1 2 对 D，因为，故 D 可成立； |()| 1 2 2| 42| 故选：AC. 【点睛】 本题考查导数研究不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能 力和运算求解能力. 三、填空题(共 10 分) 7.已知 m 为整数，若对任意，不等式恒成立，则 m 的最大值为_. (3, + ) (3) 1 【答案】1 【解析】 【分析】 构造，然后对求导，结合导数研究函数的单调性，再结合函数的性质可求. ()= (3) () 【详解】 解：令，则， ()= (3) ()= 3(3) 2 令，则， ()= 3(3) ()= 3 (3)2 1 3 0(8) 0() 0() (0, + ) () 0() 0()= + 4, 1,3 ，即， ()= + 4 (1)= 4 ()= 4 所以原题即恒成立， ()= 2 + 1 4, (0,1) ， (42 )(1) = 642 , (0,1) 记， ()= 642 , (0,1) 根据勾型函数性质可得：在单调递增，在单调递减，所以 ()= 642 , (0,1) (0, 2 2) ( 2 2,1) ()= ( 2 2) = 64 2 所以，故正整数 k 的最小值为 1. 64 2 故答案为：1 【点睛】 此题考查根据不等式求参数取值范围，关键在于熟练掌握利用函数单调性求解最值方法，涉及等价转化思想. 四、解答题(共 36 分) 9.已知函数 () = 2 （1）讨论的单调性； () （2）若关于 的不等式恒成立，求实数 的取值范围 () + 1 0 【答案】 （1）的单调减区间为，单调增区间为；（2） () ( 0， ) ( ， + )( ，1 【解析】 【分析】 （1）求导，由求减区间，由 求增区间. () = 2( + 1 2)() 0 （2）恒成立，转化为恒成立，令，用导数法求其最小值即可. () + 1 0 + 1 () = + 1 【详解】 （1）由已知， 0 () = 2( + 1 2) 令得：， () = 0 = 当时，在上单调递减； 0 () () 0 () （ ， + ） 综上，的单调减区间为，单调增区间为 () （0， ） （ ， + ） （2）恒成立，即恒成立， () + 1 02 + 1 0 等价于恒成立 + 1 令，则 () = + 1 () = + 1 1 2 令则在上恒成立 () = + 1 1 2 () = 1 + 2 3 0 （0， + ） 在上单调递增， () = + 1 1 2（0， + ） ， (1) = 0 时，在上单调递减； 0 1() 1() 0()（1， + ） ()= (1) = 1 ()= 1 综上可得， 的取值范围是 （ ，1 【点睛】 本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题. 10.已知函数. ()=()( ) （1）讨论的单调性； () （2）若，当时不等式在上恒成立，求实数 的取值范围. = 2 0 ()+ 2 1 2( 2+ 4) 0, + ) 【答案】 （1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）. ()(,1)(1, + ) 1 2 【解析】 【分析】 （1）求出导函数，利用导数与函数单调性的关系即可求解. ()=( + 1) （2）根据题意设，求出，令，求出函数在 ()=(24)+ (2+ 4)+ 4()=(22)+ 2( + 2)()= () = () 上单调递增，从而可得，讨论的符号确定函数的单调性，利用单调性求出函数 0, + )() (0)= 4242 = () 的最值即可求解. = () 【详解】 （1）因为，所以， ()=()()=( + 1) 当时，； (,1)() 0 故的单调递减区间为，单调递增区间为. ()(,1)(1, + ) （2）设， ()=(24)+ (2+ 4)+ 4 因为， ()=(22)+ 2( + 2) 令， ()= ()=(22)+ 2( + 2) 有， ()= 2+ 2( 0) 因为，有，此时函数在上单调递增， 0 () 0 = ()0, + ) 则， () (0)= 42 （i）若即时，在上单调递增， 42 0 1 2 = ()0, + ) 则恒成立； ()= (0)= 0 （ii）若即时，则在存在， 42 0 0 0 (1,)() 0 所以在上单调递增，在上单调递减， ()( 1 ,1)(1,) 所以由题意得，解得， (1 )0, ()0, 04 3 所以. 0 1 2 当时，若，则，若，则， 2210 (1 ,1)() 0 所以在上单调递减，在上单调递增， ()( 1 ,1)(1,) 所以， ()(1) 所以由题意得，解得，所以. (1)02 22 当时， 1 2 2 （i）当时，若，则，若，则，若，则， 1 2 1 2 1 1 2 0 (1, 1 2)() 0 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ()( 1 ,1) (1, 1 2) ( 1 2,) 所以由题意得所以所以； (1 ) 0， ( 1 2) 0， 4 3, 1 2 3 2, 1 2 0 = 1 2 （iii）当时， 1 2 2 1 1 2 1 易得函数在，上单调递增，在上单调递减， ()( 1 , 1 2)(1,) ( 1 2,1) 所以由题意得所以所以. (1 )0, (1)0, 4 3, 2, 1 2 2 综上，实数 的取值范围为. 0,2 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明及由不等式恒成立求参数的取值范围，考查分析问题、解决问题的能力， 运算求解能力及分类讨论思想，体现逻辑推理、数学运算等核心素养. 求解本题第（2）问的关键是对参数 的分类标准的确定，在确定分类时，头脑一定要清醒，厘清层次，做到不重不漏.