（2021新教材）人教A版高中数学选择性必修第三册暑假作业13：二项分布与超几何分布B卷（原卷+解析）.zip

暑假作业 13二项分布与超几何分布 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财 富小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣收集了如下 9 枚纹样微章，其中 4 枚凤纹徽章，5 枚龙纹微章小楠从 9 枚徽章中任 取 3 枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ） A.B.C.D. 3 4 37 42 21 37 5 42 2.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有 的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三 2 3 人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A.B.C.D. 13 20 9 20 1 5 1 20 3.一只袋内装有个白球，个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取 出了 个白球，则下列概率等于的是（ ） （)2 3 A.B.C.D. ( = 3)( 2)( 3)( = 2) 4.某次考试共有 12 个选择题，每个选择题的分值为 5 分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的， 学生对 12 个选择题 中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 分， 学生对 12 个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选 项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 分，则的值为( ) () () A.B.C.D. 125 12 35 12 27 4 23 4 二、多选题(共 10 分) 5.如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出 5 个家庭，则下列结论 成立的是( ) A.这 5 个家庭均有小汽车的概率为 243 1024 B.这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 27 64 C.这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D.这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 81 128 6.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论：从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 ；从中有放回的取球 3 5 6 次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二 80 243 次再次取到红球的概率为 ；从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 . 则其中正确命题的序 2 5 26 27 号是（ ） A.B.C.D. 三、填空题(共 10 分) 7.从由 1,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的六位数中任取 5 个不同的数,其中满足 1,3 都不与 5 相邻的六位偶 数的个数为随机变量 X,则 P(X=2)=_.(结果用式子表示即可) 8.2019 年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 ， 11 14 从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是 ，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 .记观众 1 3 2 5 甲第 n 次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则 M 的最小值为_. 2 四、解答题(共 36 分) 9. 某景点上山共有级台阶，寓意长长久久甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶 999 的概率为 ，每步上两个台阶的概率为 为了简便描述问题，我们约定，甲从 级台阶开始向上走，一步走一个台阶记 分，一步 1 3 2 301 走两个台阶记 分，记甲登上第 个台阶的概率为，其中，且 2 998 （1）若甲走 步时所得分数为 ，求 的分布列和数学期望； 3 （2）证明：数列是等比数列； + 1 （3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率 99 10.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下 表： 直径 mm 5859616263646566676869707173合计 件数11356193318442121100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值. = 65 = 2.2 （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根据以下不等式进 行评判（ 表示相应事件的概率） ； ( + ) 0.6827( 2 + 2) 0.9545 . ( 3 + 3) 0.9973 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙； 若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品. 2 + 2 （）从设备的生产流水线上随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 的数学期望； () （）从样本中随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 的数学期望. () 11.某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常 生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布 直方图. （1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户. 若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？ 3,4) 若抽取的 5 户中购买量在（单位：）的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在 3,6 （单位：）的户数为 ，求 的分布列和期望； 3,6 （2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户” 0.5 ，若从小区随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求 k 的值. 暑假作业 13二项分布与超几何分布 B 卷 一、单选题(共 20 分) 1.纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财 富小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣收集了如下 9 枚纹样微章，其中 4 枚凤纹徽章，5 枚龙纹微章小楠从 9 枚徽章中任 取 3 枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ） A.B.C.D. 3 4 37 42 21 37 5 42 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先可以确定所有可能事件的数量为，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，最后根据“至 3 9 3 5 少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”即可得出结果. 【详解】 从 9 枚纹样微章中选择 3 枚，所有可能事件的数量为， 3 9 满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为， 3 5 因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有” ， 所以， = 1 3 5 3 9 = 15 4 3 9 8 7 = 37 42 故选：B. 【点睛】 本题考查超几何分布的相关概率计算，考查对立事件的灵活应用，考查推理能力，体现了基础性和综合性，是简单题. 2.已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有 的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三 2 3 人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A.B.C.D. 13 20 9 20 1 5 1 20 【答案】C 【解析】 【分析】 记“三人中至少有两人解答正确”为事件 ；“甲解答不正确”为事件 ，利用二项分布的知识计算出，再计算出，结 ()() 合条件概率公式求得结果. 【详解】 记“三人中至少有两人解答正确”为事件 ；“甲解答不正确”为事件 则； ()= 2 3( 2 3) 2(1 3) + 3 3( 2 3) 3=20 27 ()= 1 3 2 3 2 3 = 4 27 ( ? |)= () () = 1 5 本题正确选项： 【点睛】 本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题. 3.一只袋内装有个白球，个黑球，所有的球除颜色外完全相同，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取 出了 个白球，则下列概率等于的是（ ） （)2 3 A.B.C.D. ( = 3)( 2)( 3)( = 2) 【答案】D 【解析】 【分析】 当时，前 2 个拿出白球的取法有种，再任意拿出 1 个黑球即可，有种取法，在这 3 次拿球中可以认为按顺序排列， = 2 2 1 由此能求出结果 【详解】 当时，即前 2 个拿出的是白球，第 3 个是黑球， = 2 前 2 个拿出白球，有种取法，再任意拿出 1 个黑球即可，有种取法， 2 1 而在这 3 次拿球中可以认为按顺序排列， 此排列顺序即可认为是依次拿出的球的顺序，即， 3 ( = 2) = 2 1 3 = ()2 3 故选：D 【点睛】 本题考查超几何分布概率模型，考查运算求解能力，属于基础题. 4.某次考试共有 12 个选择题，每个选择题的分值为 5 分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的， 学生对 12 个选择题 中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为 分， 学生对 12 个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选 项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为 分，则的值为( ) () () A.B.C.D. 125 12 35 12 27 4 23 4 【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可知 同学正确数量满足二项分布， 同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得 (12,1 4) (12,1 3) 两者的方差，相减得出正确结论. 【详解】 设 学生答对题的个数为，则得分（分） ，所以，同理设 学生 = 5 (12,1 4) () = 12 1 4 3 4 = 9 4 () = 25 9 4 = 225 4 答对题的个数为 ，可知,，所以，所以.故选 A. (12,1 3) () = 12 1 3 2 3 = 8 3 () = 8 3 25 = 200 3 () () = 200 3 225 4 = 125 12 【点睛】 本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量 分布列的 方差为，则分布列的方差为. + 2 二、多选题(共 10 分) 5.如城镇小汽车的普及率为 75%，即平均每 100 个家庭有 75 个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出 5 个家庭，则下列结论 成立的是( ) A.这 5 个家庭均有小汽车的概率为 243 1024 B.这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为 27 64 C.这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车 D.这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为 81 128 【答案】ACD 【解析】 【分析】 利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率研究每一个选项判断得解. 【详解】 由题得小汽车的普及率为 ， 3 4 A. 这 5 个家庭均有小汽车的概率为 ，所以该命题是真命题； (3 4) 5= 243 1024 B. 这 5 个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题； 3 5( 3 4) 3(1 4) 2=135 512 C. 这 5 个家庭平均有 3.75 个家庭拥有小汽车，是真命题； D. 这 5 个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题. 4 5( 3 4) 4(1 4) + ( 3 4) 5 81 128 故选：ACD. 【点睛】 本题主要考查独立重复试验的概率和互斥事件的概率，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球，给出下列结论：从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是 ；从中有放回的取球 3 5 6 次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二 80 243 次再次取到红球的概率为 ；从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 . 则其中正确命题的序 2 5 26 27 号是（ ） A.B.C.D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 利用古典概型的概率求解判断.利用独立重复实验的概率求解判断.利用古典概型概率求解判断.利用独立重复实验的概率 求解判断. 【详解】 一袋中有大小相同的 4 个红球和 2 个白球， 从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是故正确； = 2 4 1 2 3 6 = 3 5 从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故 = 2 6 = 1 3 = 2 6( 2 3) 4(1 3) 2= 80 243 正确； 现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1 球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误； 1 4 1 3 1 4 1 5 = 3 5 从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为， = 4 6 = 2 3 = 10 3( 1 3) 3=26 27 故正确. 故选：ABD. 【点睛】 本题主要考查概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、填空题(共 10 分) 7.从由 1,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的六位数中任取 5 个不同的数,其中满足 1,3 都不与 5 相邻的六位偶 数的个数为随机变量 X,则 P(X=2)=_.(结果用式子表示即可) 【答案】 2 108 3 612 5 720 【解析】 【分析】 先计算得“由 1,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的六位数”的方法数，然后计算出其中“1,3 都不与 5 相邻的六位偶数”的方法 数，再用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率. 【详解】 “由 1,2,3,4,5,6 组成的没有重复数字的六位数”的方法数有种.如果都不相邻的 位偶数有种，即先排好 6 6= 7201,3,56 3 3 3 3= 36 个偶数，然后奇数在前面的 个空位中任排.如果相邻，与 不相邻，即捆绑起来，方法数有种，即先将捆 331,351,3 2 2 3 3 2 3= 721,3 绑起来，然后排好 个偶数，接着将与 插空到前面 个空位中.由此求得“1,3 都不与 5 相邻的六位偶数”的方法数有 31,353 种，其它情况有种.根据超几何分布概率计算公式有. 36 + 72 = 108720108 = 612 ( = 2)= 2 108 2 612 5 720 【点睛】 本小题主要考查超几何分布的识别，考查排列数的计算，考查分类加法计数原理，考查捆绑法以及插空法，综合性较强，属于中 档题.解决不相邻的问题往往考虑用插空法来解决，即是现将没有限制条件的元素排好，然后将需要不相邻的元素插入到空位中 去，然后利用分步计算原理来计算方法数. 8.2019 年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 ， 11 14 从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这次来此景区的概率是 ，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 .记观众 1 3 2 5 甲第 n 次看到广告后不来此景区的概率为，若当时，恒成立，则 M 的最小值为_. 2 【答案】 137 210 【解析】 【分析】 设为观众甲第 次看到广告后不来此景区的概率，根据题意可得是首项为，公比为 的等比数列，求出的通 9 14 1 9 14 1 15 项公式，再判断其单调性，即可得答案. 【详解】 根据题意，为观众甲第 次看到广告后不来此景区的概率， 则， = 1 2 3 +(11) 3 5 = 1 151 + 3 5 所以， 9 14 = 1 15(1 9 14) 所以是首项为，公比为 的等比数列， 9 14 1 9 14 1 15 所以， 即， 9 14 =(1 9 14)( 1 15) 1=1 7( 1 15) 1 = 9 14 + 1 7( 1 15) 1 显然数列单调递减， 所以当时， 2 2= 9 14 + 1 7 1 15 = 137 210 所以，所以的最小值为. 137 210 137 210 【点睛】 本题考查概率与数列的综合题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意寻找递 推关系是解题的关键. 四、解答题(共 36 分) 9. 某景点上山共有级台阶，寓意长长久久甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶 999 的概率为 ，每步上两个台阶的概率为 为了简便描述问题，我们约定，甲从 级台阶开始向上走，一步走一个台阶记 分，一步 1 3 2 301 走两个台阶记 分，记甲登上第 个台阶的概率为，其中，且 2 998 （1）若甲走 步时所得分数为 ，求 的分布列和数学期望； 3 （2）证明：数列是等比数列； + 1 （3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率 99 【答案】见解析 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由题可得 的所有可能取值为 ， ， ， ， 3456 且， ( = 3) = (1 3) 3= 1 27 ( = 4) = 1 3 2 3 (1 3) 2=2 9 ， ( = 5) = 2 3 ( 2 3) 21 3 = 4 9 ( = 6) = (2 3) 3= 8 27 所以 的分布列为 3456 1 27 2 9 4 9 8 27 所以 的数学期望 () = 3 1 27 + 4 2 9 + 5 4 9 + 6 8 27 = 5 （2）由题可得，所以， + 2= 1 3 + 1 + 2 3 + 2 + 1= 2 3( + 1) 又，所以， 1= 1 3 2= 2 3 + (1 3) 2=7 9 21= 4 9 0 所以是以 为首项，为公比的等比数列 + 1 4 9 2 3 （3）由（2）可得99 = (9998) + (9897) + + (21) + 1 = 4 9 1( 2 3) 98 1 + 2 3 + 1 3 = 3 5 4 15 (2 3) 98 10.为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下 表： 直径 mm 5859616263646566676869707173合计 件数11356193318442121100 经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值. = 65 = 2.2 （1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为 ，并根据以下不等式进 行评判（ 表示相应事件的概率） ； ( + ) 0.6827( 2 + 2) 0.9545 . ( 3 + 3) 0.9973 评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙； 若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级. （2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品. 2 + 2 （）从设备的生产流水线上随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 的数学期望； () （）从样本中随意抽取 2 件零件，计算其中次品个数 的数学期望. () 【答案】(1)见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据 3 原则，分别求得其对应的概率，进而判断出 M 的性能级别 （2）通过题意可知，样本中共有 6 件次品，可知 M 生产的次品率为 0.06通过二项分布的概率分布即可求得次品的数学期望 【详解】 （1）由题意知道： ，所以由图表知道： = 62.8 + = 67.2 2 = 60.6 + 2 = 69.4 3 = 58.4 + 3 = 71.6 ( 0.6826 ( 2 0.9544 ( 3 + 3) = 98 100 = 0.98 0.9974 所以该设备的性能为丙级别. （2）由图表知道：直径小于或等于的零件有 2 件，大于的零件有 4 件，共计 6 件 2 + 2 （i）从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为， 6 100 = 3 50 依题意， (2, 3 50) 故 () = 2 3 50 = 3 25 （ii）从 100 件样品中任意抽取 2 件，次品数 的可能取值为 0，1，2 ， ( = 0) = 0 6 2 94 2 100 = 1457 1650 ( = 1) = 1 6 1 94 2 100 188 1650 ( = 2) = 2 6 0 94 2 100 = 5 1650 故() = 0 1457 1650 + 1 188 1650 + 2 5 1650 = 198 1650 = 3 25 【点睛】 本题考查了正态分布中 3 原则及其简单应用，概率分布及其分布列、数学期望的简单计算，属于中档题 11.某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常 生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布 直方图. （1）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户. 若将频率视为概率，求至少有两户购买量在（单位：）的概率是多少？ 3,4) 若抽取的 5 户中购买量在（单位：）的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生活情况调查，记 3 户中需求量在 3,6 （单位：）的户数为 ，求 的分布列和期望； 3,6 （2）将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于时，则称该居民户称为“迫切需求户” 0.5 ，若从小区随机抽取 10 户，且抽到 k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求 k 的值. 【答案】 （1）；详见解析；（2）. 47 128 = 3 【解析】 【分析】 （1）事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在，”发生的概率为 34) = 1 4 记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在，”为 ，利用独立重复实验的概率 34) 求解即可 随机变量 所有可能的取值为 0，1，2求出概率得到分布列，然后求解期望 （2）每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为，判断 = 0.35 ，通过若 户的可能性最大，列出不等式组，求解 即可 (10,0.35) 【详解】 （1）由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取 1 户，购买量在”发生的概率为. 3,4) = 1 4 记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在”为 A，则 3,4) . ()= 11 5 1 4(1 1 4) 4(11 4) 5= 47 128 随机变量 所有可能的取值为 0，1，2.则 ， ( = 0)= 3 3 3 5 = 1 10 ( = 1)= 2 3 1 2 3 5 = 3 5 ( = 2)= 1 3 2 2 3 5 = 3 10 012 () 1 10 3 5 3 10 所以() = 1 3 5 + 2 3 10 = 6 5 （2）每天对甲类生活物资的需求平均值为 （） 1.5 0.10 + 2.5 0.30 + 3.5 0.25 + 4.5 0.20 + 5.5 0.15 = 3.5 则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为， 4,6 = 0.35 若从小区随机抽取 10 户，且抽到 X 户为“迫切需求户” ， (10,0.35) 若 k 户的可能性最大，则， ( = )= 10 (1)10 = 0,1, ,10 ，得， ( = ) ( = 1) ( = ) ( = + 1) 10(0.35) (0.65)10 1 10(0.35) 1(0.65)11 10(0.35) (0.65)10 + 1 10(0.35) + 1(0.65)9 解得，由于，故. 2.85 3.85 = 3 【点睛】 本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以 及随机变量期望的概率的计算与应用，考查学生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力.