1、8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理知识梳理 1、平面的概念 （1）平面的定义 几何里所说的“平面”是从课桌面、黑板面、海洋这样一些物体中抽象出来的但是，几何里的平面是无限延展 的 平面的两个特点：平；无限延展性 点评：平面和点、直线的概念类似，是一个不加定义的原始概念，只能通过描述加以理解正像点的特征是没有 形状、大小、质量一样，直线也没有粗细、长短，可以无限延伸；平面也是无边界、无厚度、不可度量的 （2）平面的画法 水平放置的平面通常画成一个平行四边形； 它的锐角通常画成 45； 横边长等于其邻边长的 2 倍 如果一个平面被另一个平面遮住，为增
2、强立体感，把挡住的部分用虚线画出来(如图所示) （3）平面的表示 下图所示的平面可表示为： 平面 ABCD；平面 AC；平面. 2、空间点、直线、平面的位置关系及三种语言的转化 文字语言表达数学符号语言图形表示 点 A 在直线 l 上Al 点 A 在直线 l 外Al 点 A 在平面内A 点 A 在平面外A 直线 l 在平面内l 直线 l 在平面外l 直线 l，m 相交于点 AlmA 平面，相交于直线 ll 3、平面的基本性质 公理内容图形符号 公理 1 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直 线在此平面内 Al， Bl， 且A， Bl 公理 2 过不在一条直线上的三 点，有且只有一个平
3、面 A，B，C 三点不共 线存在唯一的平 面，使 A，B，C 公理 3 如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有 且只有一条过该点的公共 直线 P且 P l 且 Pl 4、空间两条直线的位置关系： 从是否有公共点的角度来分： 从是否共面的角度来分： 5、异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 （2）画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托) 6、平行公理(公理 4) 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行这一性质叫做空间平行的传递性 符号表述： ab bc ac. 7、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 如图，A
4、BA1B1，BCB1C1，对于ABC 与A1B1C1两个角的方向相同，这两个角相等；对于ABC 与E1B1C1 两个角的方向不同，这两个角互补，即ABCE1B1C1180. 8、直线和平面的位置关系 位置 关系 直线 a 在平面内 直线 a 在平面外 直线 a 与平面相交直线 a 与平面平行 公共点有无数个公共点有且只有一个公共点无公共点 符号 表示 aaa 图形 表示 9、两个平面的位置关系 位置关系图示表示法公共点个数 两平面平行0 个 两平面相交 有无数个 (在一条直线上) 知识典例知识典例 题型一 平面 例 1如图，四棱锥PABCD，ACBDO，M是PC的中点，直线AM交平面PBD于点
5、N，则下列结 论正确的是（） A, ,O N P M四点不共面B,O N M D四点共面 C,O N M三点共线D,P N O三点共线 【答案】D 【分析】 根据公理一、二、三逐一排除即可 【详解】 直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点 O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC 内，点NAM故N面PAC，故ONPM， ， ，四点共面，所以 A 错 点D若与M,N共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故 B 错 O,M为中点，所以OM/ /PA，ONPAP，故ONOMO，故 C 错 故选 D 巩固练习巩固练习 下列说法正确的是_. 平面的厚度是5cm； 经过一
6、条直线和一个点确定一个平面； 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面； 经过三点确定一个平面. 【答案】 【分析】 根据欧式几何四个公理，对四个说法逐一判断是否正确. 【详解】 对于，由于平面是可以无限延伸的，故说法错误.对于，这个必须在直线外，故判断错误.对于，由于三个 交点各不相同，根据公理 2 可知，说法正确.对于，这三个点必须不在同一条直线上，故判断错误.故本小题答 案为：. 题型二 异面直线 例 2若 a，b 是异面直线，b，c 是异面直线，则 a，c 的位置关系为() A相交、平行或异面B相交或平行 C异面D平行或异面 【答案】A 【分析】 根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关
7、系可能相交，可能平行，可能是异面直线 【详解】 因为a，b是异面直线，b，c是异面直线， 则a，c的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线 如下图所示，满足题意的条件，图中a，c相交，图中a，c平行，图中a，c是异面直线. 故选：A 巩固练习巩固练习 在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 BD与 1 BC是（） A相交直线B平行直线 C异面直线D相交且垂直的直线 【答案】C 【分析】 根据异面直线的概念可判断出 1 BD与 1 BC是异面直线. 【详解】 由图形可知， 1 BD与 1 BC不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 故选：C. 题型三 三点共线 例 3如下图，E
8、，F，G，H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 上的点，且直线 EH 与直线 FG 交于 点 O.求证：B，D，O 三点共线 证明：要证三点共线，只需确定一点在另两点确定的直线上即可 EAB，HAD， E平面 ABD，H平面 ABD， EH平面 ABD， EHFGO， O平面 ABD. 同理 O平面 BCD，即 O平面 ABD平面 BCD. 又平面 ABD平面 BCDBD， OBD，即 B，D，O 三点共线 巩固练习巩固练习 在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点， 且 1 2 CFCG BFDG 求 证： （1）四边形E
9、FGH是梯形； （2）AC，EF，GH三条直线相交于同一点 【答案】（1）见证明；（2）见证明 【分析】 （1）连结BD，推导出EHFG且EHFG，由此能证明四边形EFGH是梯形 （2）设EFHGK，则K平面ABC，K平面ACD，由平面ABC 平面ACDAC，得KAC，由此 能证明AC，EF，GH三条直线相交于同一点 【详解】 证明：（1）连结BD， E，H分别是边AB，AD的中点， EHBD，且 1 2 EHBD， 又 1 3 CFCG CBCD ， FGBD，且 1 3 FGBD， 因此EHFG且EHFG， 故四边形EFGH是梯形 （2）由（1）知EF，HG相交，设EFHGK， KEF，E
10、F 平面ABC，K平面ABC， 同理K平面ACD，又平面ABC 平面ACDAC， KAC， 故EF和GH的交点在直线AC上 所以AC，EF，GH三条直线相交于同一点 题型四 点线面位置关系 例 4已知直线 l，m 与平面，l，m，则下列命题中正确的是（） A若 lm，则必有B若 lm，则必有 C若 l，则必有D若，则必有 m 【答案】C 【分析】 对各选项举出反例或者根据判定定理进行判断即可 【详解】 解：对于选项 A，平面和平面还有可能相交，所以选项 A 错误； 对于选项 B，平面和平面还有可能相交或平行，所以选项 B 错误； 对于选项 C，因为 l，l，符合面面垂直的判定定理，所以，所以选
11、项 C 正确； 对于选项 D，直线 m 可能和平面不垂直，所以选项 D 错误 故选：C 巩固练习巩固练习 下列四个命题中正确的是（） 如果一条直线不在某个平面内，那么这条直线就与这个平面平行； 过直线外一点有无数个平面与这条直线平行； 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； 过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行 ABCD 【答案】B 【分析】 可由空间中直线与平面的位置关系判断； 可由直线与平面平行的性质判断；可用排查法判断 【详解】 空间中直线与平面的位置关系有相交，平行与直线在平面内 错误，直线还可能与平面相交 正确 正确 因为过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，且这无数条直
12、线都在与这个平面平行的平面内 不一定正确 ,当点在其中一条直线上时，不存在平面与两条异面直线都平行. 故选 B. 巩固提升巩固提升 1、已知，是两个相交平面，其中 l，则（） A内一定能找到与 l 平行的直线 B内一定能找到与 l 垂直的直线 C若内有一条直线与 l 平行，则该直线与平行 D若内有无数条直线与 l 垂直，则与垂直 【答案】B 【分析】 当 l 与，的交线相交时，内不能找到与 l 平行的直线；由直线与平面的位置关系知内一定能找到与 l 垂直的直线； 内有一条直线与 l 平行，则该直线与平行或该直线在内；内有无数条直线与 l 垂直，则与不一定垂直. 【详解】 由，是两个相交平面，其
13、中 l，知： 在 A 中，当 l 与，的交线相交时，内不能找到与 l 平行的直线，故 A 错误； 在 B 中，由直线与平面的位置关系知内一定能找到与 l 垂直的直线，故 B 正确； 在 C 中，内有一条直线与 l 平行，则该直线与平行或该直线在内，故 C 错误； 在 D 中，内有无数条直线与 l 垂直，则与不一定垂直，故 D 错误 故选：B 2、下列说法中正确的是() A过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行 D过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 【答案】D 【分析】 根据空间点、线、面间的位置关系进行判断
14、，即可得出结论. 【详解】 解：对于 A，当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故 A 错； 对于 B，由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故 B 错； 对于 C，过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条， 如过正方体的上底面的中心任意作一条直线（此直线在上底面内），此直线均与下底面平行，故 C 错； 对于 D，过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故 D 对. 故选：D. 3、若直线a不平行于平面且a，则下列结论成立的是() A平面内的所有直线与a异面 B平面内不存在与a平行的直线 C平面内存在唯一的直线与a平行 D平面内的直线与a
15、都相交 【答案】B 【分析】 由题意知直线a与平面相交，依次判断选项即可. 【详解】 解:由条件知直线a与平面相交， 则平面内的直线与a可能相交，也可能异面.不可能平行 故选:B. 4、如图在三棱柱 111 ABCABC中，下列直线与 1 AA成异面直线的是（） A 1 BBB 1 CCC 11 BCDAB 【答案】C 【分析】 根据空间中直线与直线的位置关系判断出各选项中的直线与直线 1 AA的位置关系，可得出结论. 【详解】 由在三棱柱 111 ABCABC中， 11 /BBAA， 11 /CCAA， 11 BC与 1 AA异面， 1 AAABA. 故选：C. 5、经过平面外一点和平面内一
16、点与平面垂直的平面有() A1 个B2 个C无数个D1 个或无数个 【答案】D 【分析】 讨论平面外一点和平面内一点连线，与平面垂直和不垂直两种情况. 【详解】 （1）设平面ABCD为平面，点 1 A为平面外一点，点A为平面内一点， 此时，直线 1 AA垂直底面，过直线 1 AA的平面有无数多个与底面垂直； （2）设平面ABCD为平面，点 1 B为平面外一点，点A为平面内一点， 此时，直线 1 AB与底面不垂直，过直线 1 AB的平面，只有平面 11 ABB A垂直底面.综上，过平面外一点和平面内一 点与平面垂直的平面有 1 个或无数个，故选 D. 6、若平面和直线a，b满足aA，b，则a与b
17、的位置关系一定是（） A相交B平行C异面D相交或异面 【答案】D 【分析】 当Ab时a与b相交，当Ab时a与b异面. 【详解】 当Ab时a与b相交，当Ab时a与b异面. 故答案为 D 7、下列说法正确的是（） A不共面的四点中，其中任意三点不共线 B若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】A 【分析】 利用反证法可知A正确； 直线DE与直线AC异面时，, ,A B C D E不共面， 排除B；C中, b c可为异面直线， 排除C； D中四条线段可构成空间四边形，排除D.
18、 【详解】 A选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A正 确； B选项：若, ,A B C三点共线，直线DE与直线AC异面，此时, ,A B C D E不共面，B错误； C选项：, a b共面， , a c共面，此时, b c可为异面直线，C错误； D选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，D错误. 本题正确选项：A 8、已知 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A若,m,n，则 mnB若，m,则 m C若,m,n,则 mnD若，m，则 m 【答案】D 【分析】 在A中，m与n平行或异面；在B中，
19、m与相交、平行或m；在C中，m与n相交、平行或异面；在D中， 由线面平行的性质定理得/ /m 【详解】 由m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，知： 在A中，若/ /，m，n，则m与n平行或异面，故A错误； 在B中，若，m，则m与相交、平行或m，故B错误； 在C中，若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故C错误； 在D中，若/ /，m，则由线面平行的性质定理得/ /m，故D正确 故选D 9、设 a，b 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题： 如果/ /a，/ /b，那么/ /ab； 如果/ /，a，b，那么/ /ab； 如果a，a，那么/ /； 如果，a，那么a 其中正确命
20、题的序号是（） ABC D 【答案】C 【分析】 根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断. 【详解】 如果/ /a，/ /b，则, a b可以相交、平行或异面，故错误； 如果/ /，a，b，则, a b没有公共点，所以, a b可以平行或异面，故错误； 如果a，a，则/ /，故正确； 如果，不妨设l，又a，则当al时，a，则当a不垂直于l时，a与不垂直，故错误， 故选：C. 10、若点M是两条异面直线, a b外的一点，则过点M且与, a b都平行的平面有_个. 【答案】0 或 1 【分析】 利用线面平行的判断定理，可得结论. 【详解】 解：点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内
21、时，没有满足条件的平面； 当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有 1 个. 故答案为：0 或 1. 11、如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，,E F G分别是棱 11 ,AA AB CC的中点.试判断以下各对线段所在的直线的 位置关系： （1）AB与 1 DD：_. （2） 1 D E与BC：_. （3） 1 D E与BG：_. （4） 1 D E与CF：_. 【答案】异面异面平行相交 【分析】 根据平行直线、异面直线、相交直线的判定方法，即得解. 【详解】 （1）因为 1 D 平面ABCD，D平面ABCD，AB平面ABCD，DAB，所以AB所在直线与 1 DD所在直线 是异面直线. （2） 1 D E的延长线与DA的延长线相交，交点不在BC所在直线上，所以 1 D E与BC异面.（3）取 1 DD的中点M， 连接,MA MG，可证四边形MABG为平行四边形，所以MAGB.又因为 1 D EMA，所以由基本事实 4 知， 1 D EBG. （4）延长 1 ,D E CF，与DA的延长线交于同一点，所以 1 D E与CF相交.
