1、10.2 事件的相互独立性事件的相互独立性 知识梳理知识梳理 对任意两个事件 A 与 B，如果)()()(BPAPABP成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称独立 知识典例知识典例 题型一 独立事件 例 1一袋中装有 100 只球，其中有 20 只白球，在有放回地摸球中，记 1 A “第一次摸得白球”， 2 A “第二次摸得 白球”，则事件 1 A与 2 A是（） A相互独立事件B对立事件C互斥事件D无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】 2 A表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件 1 A与 2 A是相互独立事 件 【详解】 由于采用有放回
2、地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响 故事件 1 A与 2 A是相互独立事件. 故选：A 巩固练习巩固练习 袋内有大小相同的 3 个白球和 2 个黑球， 从中不放回地摸球， 用A表示“第一次摸到白球”， 用B表示“第二次摸到白球”， 用C表示“第一次摸到黑球”则下列说法正确的是（） AA与B为互斥事件 BB与C为对立事件 CA与B非相互独立事件 DA与C为相互独立事件 【答案】C 【分析】 根据互斥事件和相互独立事件的概念逐一判断即可. 【详解】 A与B可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件，也非相互独立事件； B与C可以同时发生所以不是对立事件； A与C，第一次摸
3、到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是相互独立事件. 故选：C. 题型二 独立事件的实际应用 例 2生产同一种产品,甲机床的废品率为 0.04,乙机床的废品率为 0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取 1 件,求: (1)至少有 1 件废品的概率; (2)恰有 1 件废品的概率. 【答案】(1)0.088;(2)0.086. 【分析】 （1）用1减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率. （2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】 从甲乙机床生产的产品中各取 1 件是废品分别记为事件 AB,则事件 A,B 相互独立,且( )0.04P A ,( )0.05P B .
4、 (1)设“至少有 1 件废品”为事件 C,则( )1()1( ) ( )1 (1 0.04) (1 0.05)0.088P CP ABP A P B . (2)设“恰有 1 件废品”为事件 D,则()()()0.04 (1 0.05)(1 0.04) 0.050.086P DP ABP AB. 巩固练习巩固练习 各国医疗科研机构都在研制某种病毒疫苗，现有 G，E，F 三个独立的医疗科研机构，它们在一定时期内能研制出疫苗 的概率分别是 1 1 1 , 5 4 3 .求： （1）他们都研制出疫苗的概率； （2）他们都失败的概率； （3）他们能够研制出疫苗的概率. 【答案】（1） 1 60 ；（2
5、） 2 5 ；（3） 3 5 . 【分析】 （1）令事件, ,A B C分别表示 G，E，F 三个独立的医疗科研机构在一定时期内成功研制出该疫苗，这三个事件彼此独 立，按照独立事件同时发生的概率求解； （2）都失败指,A B C同时发生，按照独立事件同时发生的概率求解； （3）与（2）是对立事件，根据对立事件概率公式求解. 【详解】 令事件, ,A B C分别表示 G，E，F 三个独立的医疗科研机构在一定时期内成功研制出该疫苗. 依题意可知，事件, ,A B C相互独立，且 111 , 543 P AP BP C. （1）他们都研制出疫苗，即事件, ,A B C同时发生， 1111 54360
6、 P ABCP A P B P C，即他们都研制 出疫苗的概率为 1 60 . （2）他们都失败，即事件, ,A B C同时发生， 111 111111 543 P ABCP A P B P CP AP BP C 4322 5435 ， 即 他们都失败的概率为 2 5 . （3）“他们能够研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系，可得所求事件的概率 23 11 55 PP ABC ，即他们能研制出疫苗的概率为 3 5 . 巩固提升巩固提升 1、一个口袋中装有3个白球和3个黑球，下列事件中，是独立事件的是（） A第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球 B摸出后放回，第一次
7、摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 C摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球 D一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球 【答案】B 【分析】 根据独立事件的定义逐一判断即可得解. 【详解】 解：对于选项 A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，是随机事件； 对于选项 B，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，是独立事件； 对于选项 C，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不是独立事件； 对于选项 D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，有影响，不
8、是独立事 件， 故选：B. 2、 袋内有 3 个白球和 2 个黑球,从中有放回地摸球,用 A 表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为 B,“第二次摸 得黑球”记为 C,那么事件 A 与 B,A 与 C 间的关系是() AA 与 B,A 与 C 均相互独立BA 与 B 相互独立,A 与 C 互斥 CA 与 B,A 与 C 均互斥DA 与 B 互斥,A 与 C 相互独立 【答案】A 【分析】 根据有放回抽取的知识，结合事件独立性、互斥事件等知识，判断出正确选项. 【详解】 由于摸球是有放回的,故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故 A 与 B,A 与 C 均相互独立.而 A
9、与 B,A 与 C 均能同时发生,从而不互斥. 故选：A 3、一个口袋中有黑球和白球各 5 个，从中连摸两次球，每次摸一个且每次摸出后不放回，用 A 表示第一次摸得白球， B 表示第二次摸得白球，则 A 与 B 是( ) A互斥事件B不相互独立事件 C对立事件D相互独立事件 【答案】B 【解析】 第一次摸得白球和第二次摸得白球有可能同时发生，A、B 不是互斥事件，自然也不是对立事件；第一次摸得白球与 否会影响第二次摸得白球的概率，A、B 是不相互独立事件 答案：B 4、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩， 甲队的主客场安排依次为“
10、主客主” 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 则甲队以2:1获胜的概率是_ 【答案】0.3 【分析】 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公 式能求出甲队以2:1获胜的概率 【详解】 甲队的主客场安排依次为“主客主” 设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜， 则甲队以2:1获胜的概率是：0.6 0.5 0.60.4 0.5 0.60.3P . 故答案为：0.3 5、某自助银行有, ,
11、A B C D四台 ATM，在某一时刻这四台 ATM 被占用的概率分别为 1 1 1 2 , 3 2 2 5 . （1）若某客户只能使用四台 ATM 中的A或B，则该客户需要等待的概率为_； （2）某客户使用 ATM 取款时，恰好有两台 ATM 被占用的概率为_. 【答案】 1 6 11 30 【分析】 （1）如果某客户只能使用 A 或 B 型号的 ATM 机，求该客户需要等待即为事 A,B 同时发生，且 A,B 相互独立，代入概 率公式 P ABP A P B可求. （2）恰有两台 ATM 机被占用，考虑是那两台 ATM 机被占用，代入相互独立事件的概率公式可求 【详解】 （1）该客户需要等
12、待意味着A与B同时被占用，故所求概率为 1 111 326 P . （2）依题意，该客户使用 ATM 取款时恰好有两台 ATM 被占用的概率为 2 11131113 32253225 P 111221132112211211 322532253225322530 . 故答案为：(1). 1 6 (2). 11 30 6、一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个小球，其中 3 个黑球，2 个白球.如果不放回地依次取出 2 个球，回答下 列问题： （1）第一次取出的是黑球的概率； （2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率. 【答案】（1） 3 5 （2） 3 10 【分析】 （1）利
13、用古典概率的求解方法进行求解； （2）利用独立事件同时发生的概率公式求解. 【详解】 依题意，设事件A表示“第一次取出的是黑球”，事件B表示“第二次取出的是白球”. （1）黑球有 3 个，球的总数为 5 个，所以 3 5 P A . （2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为 3 23 5 410 P AB . 7、计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计 算机考试“合格”， 并颁发合格证书甲、 乙、 丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 4 5 ，3 4 ，2 3 ， 在实际操作考试中“合 格”的概率依次为 1
14、2 ， 2 3 ， 5 6 ，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2） 11 30 【分析】 （1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证 书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】 （1）设“甲获得合格证书”为事件 A，“乙获得合格证书”为事件 B，“丙获得合格证书”为事件 C，则 412 ( ) 525 P A ， 321 ( ) 432 P B ， 255 ( ) 369 P C . 因为( )( )( )P CP BP A，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件 D，则 21421531511 ()()()() 52952952930 P DP ABCP ABCP ABC.
