1、7.3*复数的三角表示复数的三角表示 7.3.2复数的复数的乘、除运算的乘、除运算的 三角表示三角表示及其几何意义及其几何意义 讲课人：邢启强 2 r zabi 一一般般地地，任任何何一一个个复复数数 (cossin )ri 都都可可以以表表示示成成的的形形式式 复数的代数表示式复数的代数表示式 复数的三角表示式复数的三角表示式 代代数数形形式式 三三角角形形式式 r x以以 轴轴的的非非负负半半轴轴为为始始边边， .z复复数数 的的模模 OZ.射射线线为为终终边边的的角角 复数的复数的辐角辐角 复习引入复习引入 22 rab cos a r sin b r tan() b a 注注意意象象限
2、限 讲课人：邢启强 3 （1 1）任任意意一一个个不不为为0 0的的复复数数的的辐辐角角有有无无限限多多个个值值， 且且这这些些值值相相差差2 2 的的整整数数倍倍. . 0.（2 2）复复数数 的的辐辐角角是是任任意意的的 02（3 3）规规定定：范范围围内内的的辐辐角角 的的值值为为 辐角主值辐角主值arg , z记记作作0arg2 .z 即即 复习引入复习引入 两个非零复数相等两个非零复数相等当且仅当当且仅当它们的它们的模模与与辐辐角角的的主值主值分别相等分别相等 讲课人：邢启强 4 ( ,)zabi a bR 复数复数z=a+biz=a+bi复平面内的点（复平面内的点（a,ba,b）
3、一一对应一一对应 平面向量平面向量OZ=(a,b)OZ=(a,b) 一一对应一一对应 借借助助复复数数的的几几何何意意义义， 复复数数能能不不能能用用其其他他形形式式来来表表示示呢呢? ? 复数 复习引入复习引入 00 00 0 0 ba ba b b ，非纯虚数 ，纯虚数 虚数 实数 00 00 0 0 ba ba b b ，非纯虚数 ，纯虚数 虚数 实数 CR 讲课人：邢启强 5 ( ,)zabi a bR 复习引入复习引入 实部,虚部均为实数 设设 是任意两个复数，是任意两个复数， 复数的加减法按照以下的法则进行：复数的加减法按照以下的法则进行： diczbiaz 21 , (a+bi
4、i )(c+di i) = (ac) + (bd)i i 复数的代数形式乘法法则：复数的代数形式乘法法则： )()acbdbcad i（()()abi cdi 复数复数 z= =a+ +bi 的共轭复数记作的共轭复数记作 , zzabi即即 讲课人：邢启强 6 学习新知学习新知 12 11112222 1 2 , (cossin),(cossin), z z zrizri z z 如如果果把把复复数数分分别别写写成成三三角角形形式式 你你能能计计算算并并将将结结果果表表示示成成三三角角形形式式吗吗？ 1 2111222 (cossin)(cossin)z zriri 1 21122 (coss
5、in)(cossin)r rii 1 21212 1212 (coscossinsin) (sincoscossin) r r i 1 21212 cos+sin()r ri（） 111222 (cossin)(cossin)riri 即即 1 21212 cos+sin()r ri（） 讲课人：邢启强 7 学习新知学习新知 两个复数相乘，积的模等于各复数模的积， 积的辐角等于各复数辐角的和. 复数乘法法则 111222 (cossin)(cossin)riri 即即 1 21212 cos+sin()r ri（） 探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？探究：由复数乘法
6、运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 讲课人：邢启强 8 探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？探究：由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 1 21 21212 cos+sin()z zr ri（） O x y 1111 (cossin),riz z 2222 (cossin),riz z 1 Z 2 Z Z 12 zz乘乘以以 的的几几何何意意义义： 112 OZz 对对应应的的向向量量逆逆时时针针旋旋转转角角， 2 r再再把把它它的的模模变变为为原原来来的的 倍倍， 1 2 OZ.z z 得得到到的的向向量量对对应应的的复复数数就就是是
7、积积 你能解释你能解释i i2 2=-1=-1和和（-1-1）2 2=1=1 的几何意义吗？的几何意义吗？ 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 9 12 3 (cossin),2(cossin), 26633 zizi 已已知知 1 2, z z求求请请把把结结果果化化为为代代数数形形式式，并并作作出出几几何何解解释释. . 解：解： 1 2 3 (cossin)2(cossin), 26633 z zii 3 2cos+sin+ 26363 i （）（） =3 cossin 22 i （） =3 . i O x y 1 Z 2 Z Z 6 3 1 212 OZ OZz z 首首先先做做出出与与
8、对对应应的的向向量量， 1 OZO 3 把把向向量量绕绕点点 按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转， 2再再将将其其长长度度变变为为原原来来的的 倍倍， 1 2 3OZ. 2 得得到到的的长长度度为为 ，辐辐角角为为的的向向量量对对应应的的复复数数即即为为z zz z 当不要求把计算结果化当不要求把计算结果化 为代数形式时，也可以为代数形式时，也可以 用三角形式表示用三角形式表示 典型例题典型例题 例1 讲课人：邢启强 10 巩固练习巩固练习 C 讲课人：邢启强 11 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 12 = 22 3333 原原式式（cos+isincos+isin）（cos+isincos+
9、isin） 解：解： 2 2 33 计计算算. . （c co os s+ +i is si in n） = 22+ 3333 coscos（）+isin+isin（） 22 =2() 33 cos+isincos+isin 13 =2() 22 +i+i =13 +i+i * (cossin ),.zrinN (cossin) nn zrnin 学习新知学习新知 讲课人：邢启强 13 0 OZ1+ ,OZO120i 如如图图，向向量量对对应应的的复复数数为为把把绕绕点点 按按逆逆时时针针方方向向旋旋转转， OZOZ 得得到到，求求向向量量对对应应的的复复数数（用用代代数数形形式式表表示示）.
10、 . Z Z Ox y 解：解： OZ 向向量量对对应应的的复复数数为为 00 （1+i1+i）(cos120 +isin120 )(cos120 +isin120 ) 13 =- 22 （1+i1+i）(+i)(+i) 1313 =-+-+ 2222 （）i i -1- 33-1 =+ 22 i i 1 1 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 14 探究：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示，探究：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示， 你能得出复数的除法运算的三角表示吗？你能得出复数的除法运算的三角表示吗？ 1111 (cossin),ri设设
11、z z 2222 (cossin),riz z 学习新知学习新知 )sin()cos( )sin(cos )sin(cos 2121 2 1 222 111 2 1 i r r ir ir Z Z 1 2221212 2 (cossin)cos()sin() r rii r 12, zz 且且因因为为 111 (cossin)ri 两个复数相除,商还是一个复数,商的模等于被除数的模除以除数的 模所得的商,商的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 模相除，辐角相减模相除，辐角相减 讲课人：邢启强 15 111 222 (cossin) = (cossin) ri ri 1 1212 2
12、cos()sin() r i r O x y 1 Z 2 Z Z 12 - 学习新知学习新知 探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算探究：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算 的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 讲课人：邢启强 16 4455 54 3366 例例 计计算算（cos+isincos+isin） 2(cos+isin),2(cos+isin), 并并把把结结果果化化为为代代数数形形式式. . 解：解： 44545 =cos()sin() 23636 i 原原式式 =2(cossin) 22 i =2(0) i =2 . i 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 17 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 18 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 19 典型例题典型例题 讲课人：邢启强 20 巩固练习巩固练习 讲课人：邢启强 21 111222 (cossin)(cossin)riri 1 21212 cos+sin()r ri（） 模相乘，辐角相加模相乘，辐角相加 111 222 (cossin) = (cossin) ri ri 1 1212 2 cos()sin() r i r 模相除，辐角相减模相除，辐角相减 课堂小结课堂小结 复数三角形式的乘法法则以及几何意义； 讲课人：邢启强 22 课堂小结课堂小结
