1、4.1.3独立性与条件概率的关系独立性与条件概率的关系 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解独立性与条件概率的关系(难点) 2会求相互独立事件同时发生的概率(重点) 3 综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立 事件同时发生的概率公式解题(重点、难点) 1通过辨析独立性与条件概 率的关系，培养数学抽象素 养 2借助相互独立事件同时发 生的概率公式解题， 提升数学 运算素养. 俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三 人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”其中甲、乙、丙能答对某题目的概率 分别为 50%,40%,30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是 80%.比赛规则
2、：各 个选手独立答题，不得商量，团队中只要 1 人答出该题即为挑战成功 问题：该挑战能否成功？ 事件的独立性 (1)事件 A 与 B 相互独立的充要条件是 P(AB)P(A)P(B) (2)当 P(B)0 时，A 与 B 独立的充要条件是 P(A|B)P(A) 思考：如果 P(A)0，A 与 B 独立，则 P(B|A)P(B)成立吗？ 提示成立P(B|A)PAB PA PAPB PA P(B) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)对于事件 A，B，若 P(B|A)P(A)，则事件 A 与 B 相互独立 () (2)事件 A，B 相互独立，则事件 A 与B 也相互独立 () (3)若
3、 P(A B)P(A)P(B)，则事件A与B相互独立 () 答案(1)(2)(3) 2袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用 A1表示第一次 摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则 A1与 A2是() A相互独立事件B互斥事件 C对立事件D不相互独立事件 AA1的发生与否对 A2不产生影响，故选 A. 3(教材 P58练习 AT4改编)已知 A 与 B 独立，且 P(A )0.7，则 P(A|B) _. 0.3P(A )0.7，P(A)10.70.3， 又 A 与 B 独立，所以 P(A|B)P(A)0.3. 4某人提出问题，甲先答，答对的概率是 0.4，如果甲答错，由乙答，答对 的
4、概率为 0.5，则该问题由乙答对的概率为_ 0.3由题意可知， 甲答错， 乙答对， 故所求概率 P(10.4)0.50.60.5 0.3. 相互独立事件的判断 【例 1】判断下列各对事件是否是相互独立事件 (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生现从甲、乙两组中 各选 1 名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名 女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球中任意取出 1 个， 取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现 3 点
5、或 6 点” 解(1)“从甲组中选出 1 名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出 1 名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件 (2)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为5 8，若这一事件发生 了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的仍是白球”的概率为4 7；若前一 事件没有发生，则后一事件发生的概率为5 7，可见，前一事件是否发生，对后一 事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件 (3)法一：记 A：出现偶数点，B：出现 3 点或 6 点，则 A2,4,6，B3,6， AB6， P(A)3 6 1 2，P(B) 2 6 1 3，P(
6、AB) 1 6. P(AB)P(A)P(B)， 事件 A 与 B 相互独立 法二：由法一可知 P(B|A)1 3， 又 P(B)2 6 1 3， P(B|A)P(B)， 事件 A 与 B 相互独立 判断事件是否相互独立的方法 1定义法：事件 A，B 相互独立P(AB)P(A)P(B) 2由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响 3条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断 跟进训练 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个 家庭中既有男孩又有女孩， B一个家庭中最多有一个女孩 对下述两种情形， 讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个
7、小孩； (2)家庭中有三个小孩 解法一：(利用定义)(1)有两个小孩的家庭，考虑男孩、女孩的可能情形 为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， 共有 4 个元素，由等可能性知概率均为1 4. 这时 A(男，女)，(女，男)， B(男，男)，(男，女)，(女，男)， AB(男，女)，(女，男)， 于是 P(A)1 2，P(B) 3 4，P(AB) 1 2. 由此可知 P(AB)P(A)P(B)， 所以事件 A，B 不相互独立 (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，
8、女，男)，(女，女，女)， 由等可能性知这 8 个元素的概率均为1 8，这时 A 中含有 6 个元素，B 中含有 4 个元素，AB 中含有 3 个元素于是 P(A)6 8 3 4，P(B) 4 8 1 2，P(AB) 3 8，显 然有 P(AB)3 8P(A)P(B)成立 从而事件 A 与 B 是相互独立的 法二：(利用条件概率与独立性的关系) (1)由题意可知 P(B|A)1 2， 又 P(B)3 4， 故 P(B|A)P(B) 所以 A 与 B 不相互独立 (2)由题意可知 P(B|A)3 6 1 2， 又 P(B)4 8 1 2， 故 P(B|A)P(B)，所以 A 与 B 相互独立 相
9、互独立事件发生的概率 【例 2】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有 A， B，C 三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是1 5， 1 4， 1 3. 求： (1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率 思路点拨 明确已知事件的概率及其关系 把待求事件的概率表示成已知事件的概率 选择公式计算求值 解令事件 A，B，C 分别表示 A，B，C 三个独立的研究机构在一定时期 内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件 A，B，C 相互独立，且 P(A)1 5，P(B) 1 4，P(C) 1 3. (1)他们都研制出疫苗，即事件
10、A，B，C 同时发生，故 P(ABC)P(A)P(B)P(C)1 5 1 4 1 3 1 60. (2)他们都失败即事件 A ，B， C 同时发生， 故 P( A B C )P( A )P( B )P( C ) (1P(A)(1P(B)(1P(C) 11 5 11 4 11 3 4 5 3 4 2 3 2 5. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”， 结合对立事件间的概率 关系可得所求事件的概率 P1P( A B C )12 5 3 5. (变结论)在题设条件不变的条件下，求： (1)只有一个机构研制出疫苗的概率 (2)至多有一个机构研制出疫苗的概率 解(1)只有一个机构研制出
11、疫苗，该事件为(A BCABCABC)，故所 求事件的概率为 PP(A BCABCABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) P(A)P( B )P(C)(1P(A)(1P(B)P(C)(1P(A)P(B)(1P(C)P(A)(1 P(B)(1P(C) 11 5 11 4 1 3 11 5 1 4 11 3 1 5 11 4 11 3 4 5 3 4 1 3 4 5 1 4 2 3 1 5 3 4 2 3 1 5 2 15 1 10 13 30. (2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(A BCABCABCABC)发生， 故所求事件的概率为 P(A BCABCABCABC) P(
12、A BC)P(ABC)P(ABC)P(ABC) P(A )P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 4 5 3 4 2 3 1 5 3 4 2 3 4 5 1 4 2 3 4 5 3 4 1 3 2 5 1 10 2 15 1 5 5 6. 1求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积 2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件， 即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生 利用事件之间的关系求概率 探究问题 如何区别“相互独
13、立事件”与“互斥事件”？ 提示 相互独立事件互斥事件 定义一个事件的发生与否对另一个两个事件不可能同时发生，即 事件发生的概率没有影响AB 概率 公式 A 与 B 相互独立等价于 P(AB) P(A)P(B) 若A与B互斥， 则P(AB)P(A) P(B)，反之不成立 【例 3】在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中 1 个开 关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都 是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率 思路点拨由题目可获取以下主要信息：3 个开关并联；每个开关闭 合的概率是 0.7，且闭合与否相互独立解答本题可先作出一个线路图，再分情
14、况讨论 解如图所示，记这段时间内开关 KA，KB，KC能够 闭合为事件 A，B，C. 由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间 没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概 率是 P(A BC) P(A )P(B)P(C) 1P(A)1P(B)1P(C) (10.7)(10.7)(10.7)0.027. 于是这段时间内至少有 1 个开关能够闭合， 从而使线路能够正常工作的概率 是 1P(A BC)10.0270.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是 0.973. 1(变条件)将本例中的“并联”改为“串联”，求相应概率 解 依 题 意 可 知 所 求
15、 事 件 的 概 率 P P(ABC) P(A)P(B)P(C) 0.70.70.70.730.343. 2(变条件)本例中每个开关与闭合的概率不变，求如图所示的线路正常工 作的概率 解要使线路能正常工作，则 KA与 KB至少有一个工作，且 KC正常工作， 即事件(AB)C 发生，故所求事件的概率 PP(AB)P(C)1P(A B)P(C) P(C)P(A B)P(C) P(C)P(A )P(B)P(C) 0.7(10.7)(10.7)0.70.637. 解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在 此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识，依据“串联
16、通易求，并联断易求”的原则，给予解答. 1事件 A，B 之间独立性的判定方式 (1)定义法：P(AB)P(A)P(B)； (2)借助条件概率：P(B|A)P(B)或 P(A|B)P(A)； (3)直接法：看事件 A 发生对事件 B 有无影响 2求复杂事件的概率一般可分三步进行 (1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们； (2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算 3计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题可 以考虑间接法 1已知 P(A|B)0.6，P(B|A)0.3 且 A，B 相
17、互独立，则 P(AB)等于() A0.18B0.9 C0.3D无法求解 AP(A|B)0.6，P(B|A)0.3 且 A，B 相互独立， P(A)0.6，P(B)0.3， P(AB)P(A)P(B)0.60.30.18. 2抛掷 3 枚质地均匀的硬币，A既有正面向上又有反面向上，B至 多有一个反面向上，则 A 与 B 的关系是() A互斥事件B对立事件 C相互独立事件D不相互独立事件 C由已知，有 P(A)12 8 3 4，P(B)1 4 8 1 2，P(AB) 3 8，满足 P(AB) P(A)P(B)，则事件 A 与事件 B 相互独立，故选 C. 3已知 A 与 B 相互独立，且 P(AB
18、)5 8，P(B) 3 4，则 P(A |B)_. 1 2 A 与 B 相互独立， P(AB)P(A)P(B)5 8. 又 P(B)3 4，所以 P(A) 1 2. P(A |B)P(A)1P(A)11 2 1 2. 4明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙 两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为 0.80，乙闹钟准时响的概率为 0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_ 0.98设两个闹钟至少有一个准时响的事件为 A， 则 P(A)1(10.80)(10.90) 10.200.100.98. 5在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为4 5和 3 4. 在同一时间内，求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率 解记“甲气象台预报天气准确”为事件 A，“乙气象台预报天气准确”为事 件 B. (1)P(AB)P(A)P(B)4 5 3 4 3 5. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P1P( A B )1P( A )P( B )11 5 1 4 19 20.
