1、1 3.3二项式定理与杨辉三角 第一课时二项式定理 课后篇巩固提升 基础达标练 1. ?- 1 2? 4 的展开式中常数项为() A.1 2 B.-1 2 C.3 2 D.-3 2 解析设第 k+1 项为常数项,Tk+1=C4 ?x4-k - 1 2? ? ? C4 ? -1 2 ? x4-2k. 由 4-2k=0 得 k=2,所以 Tk+1=C4 2 - 1 2 2 ? 3 2. 答案 C 2. 2?- 1 ? 6 的展开式中 x2的系数为() A.-240B.240 C.-60D.60 解析二项展开式的通项为 Tk+1=C6 ?(2x)6-k -1 ? ? =(-1)k26-kC6 ?x6
2、-2k,当 6-2k=2 时,k=2,所以二项展开式中 x2的系数为(-1)224C6 2=240. 答案 B 2 3.在 2?3+ 1 ?2 ? (nN+)的展开式中,若存在常数项,则 n 的最小值是() A.3B.5C.8D.10 解析 Tk+1=C? ?(2x3)n-k 1 ?2 ? =2n-kC? ?x3n-5k.令 3n-5k=0,因为 0kn,且 kN+,所以 n 的最小值为 5. 答案 B 4.(2019 全国高考)(1+2x2)(1+x)4的展开式中 x3的系数为() A.12B.16C.20D.24 解析(1+2x2)(1+x)4的展开式中 x3的系数为C4 3+2C 4 1
3、=4+8=12. 答案 A 5.(2019 重庆巴蜀学校高二期末)若(3x+ ?)n展开式二项式系数之和为 32,则展开式中含 x3项的系数 为() A.40B.30C.20D.15 解析2n=32,n=5.Tk+1=C5 ?(3x)5-k( ?)k=C 5 ?35-k?5- ? 2,令 5-? 2=3,解得 k=4.则展开式中含 x 3的项的系 数为C5 435-4=15. 答案 D 6.(2019 天津高考) 2x- 1 8?3 8的展开式中的常数项为 . 解析 Tk+1=C8 ?(2x)8-k 1 -8?3 k =C8 ?28-k -1 8 kx8-4k. 需 8-4k=0,k=2. 常
4、数项为C8 226 -1 8 2=C 8 2261 26 ? C8 2=28. 3 答案 28 7.若(1+2x)6的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项,则 x 的取值范围是. 解析由 ?2 ?1, ?2 ?3, 得 C6 1(2?) 1, C6 1(2?) C 6 2(2?)2.解得 1 12x0,设 ? 2 + 1 ? 5 的展开式中的第 3 项为 M,第 4 项为 N,则 M+N 的最小值为. 6 解析由 T3=C5 2 ? 2 3 1 ? 2 ? 5 4x, T4=C5 3 ? 2 2 1 ? 3 ? 5 2?, 则 M+N=5? 4 + 5 2?2 25 8 ? 5 2 2 . 当
5、且仅当5? 4 ? 5 2?,即 x= 2时,等号成立. 答案5 2 2 6.(2019 江西高二月考)已知二项式 x- 2 ? 10的展开式. (1)求展开式中含 x4项的系数; (2)如果第 3r 项和第 r+2 项的二项式系数相等,求 r 的值. 解(1)设第 k+1 项为 Tk+1=C10 ? (-2)k?10- 3 2?, 令 10-3 2k=4,解得 k=4, 故展开式中含 x4项的系数为C10 4 (-2)4=3 360. (2)第 3r 项的二项式系数为C10 3?-1,第 r+2 项的二项式系数为C 10 ?+1, C10 3?-1 ? C10 ?+1,故 3r-1=r+1
6、或 3r-1+r+1=10, 解得 r=1 或 r=2.5(不合题意,舍去),r=1. 素养培优练 (2019 上海实验学校高二期末)已知(?log2?+1)n的展开式中有连续三项的系数之比为 123,问: (1)这三项是第几项? (2)若展开式的倒数第二项为 112,求 x 的值. 7 解(1)设展开式各项系数为C? ?,由题意C?-1 ? C? ? ? C? ?+1=123,即 ?! (?-?+1)!(?-1)! ? ?! (?-?)!2?! ? ?! (?-?-1)!3(?+1)!,解得 ? ? 5, ? ? 14, 这三项是第 5,6,7 项. (2)倒数第二项为C14 13?log2?, C14 13?log2?=14?log2?=112, ?log2?=8,log2(?log2?)=log28=3, 即(log2x)2=3,log2x=3, x=2 3或 x=2- 3.
