1、1 3.1.2排列与排列数排列与排列数 课后篇巩固提升 基础达标练 1.将两位新同学分到 4 个班中的两个班,共有的分法种数为() A.4B.12C.6D.24 解析共有A4 2=12 种分法. 答案 B 2.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.现把它们摆放成一排,要求 2 本数学书不 能相邻,则这 5 本书的不同摆放种数是() A.24B.36 C.48D.72 解析先排语文、物理书,有A3 3种方法.然后将数学书插空,有A 4 2种方法.由分步乘法计数原理,得不同摆 放种数为A3 3 ? A4 2=72. 答案 D 3.已知A?+1 2 ? A? 2=1
2、0,则 n 的值为( ) A.4B.5C.6D.7 解析由A?+1 2 ? A? 2=10,得(n+1)n-n(n-1)=10,解得 n=5. 答案 B 4.若直线方程 Ax+By=0 的系数 A,B 可以从 0,1,2,3,6,7 这六个数字中任取两个不同的数值,则这些方 程所表示的直线条数是() A.18B.20 2 C.12D.22 解析第一类:先考虑除 0 之外的五个数字,它们可以组成的直线条数为A5 2,但由于2 1 ? 6 3 , 1 2 ? 3 6 , 1 3 ? 2 6 , 3 1 ? 6 2, 从而不同的直线条数应为A5 2-4; 第二类:A,B 中恰有一个为 0 时,所表示
3、的直线为 x=0 或 y=0 共 2 条. 由分类加法计数原理可知,不同的直线条数应为A5 2-4+2=18. 答案 A 5.甲、乙、丙 3 名志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天 至多安排一人,并要求甲安排在另外两人前面,则不同的安排方法共有() A.20 种B.30 种 C.40 种D.60 种 解析甲安排在周一,不同的安排方法有A4 2=12(种);甲安排在周二,不同的安排方法有A 3 2=6(种); 甲安排在周三,不同的安排方法有A2 2=2(种).所以共有 12+6+2=20 种不同的安排方法.故选 A. 答案 A 6.用 0,1,2,3,4,
4、5组成没有重复数字的 6 位数,其中个位数字小于十位数字,这样的 6 位数共有() A.300 个B.464个 C.600 个D.720个 解析方法一确定十万位有A5 1种不同方法.确定万位、千位、百位,从剩下的 5 个数字中取 3 个排列, 共有A5 3种不同的方法,剩下两个数字,把大的排在十位上即可.由分步乘法计数原理,共有 A5 1A 5 3=5543=300(个). 方法二由于个位数字大于十位数字与十位数字大于个位数字的应各占一半,故有1 2A5 1A 5 5 ? 5?5?4?3?2?1 2 =300(个). 3 答案 A 7.满足不等式A? 7 A? 512 的 n 的最小值为 .
5、解析由排列数公式得?!(?-5)! (?-7)!?!12,即(n-5)(n-6)12,解得 n9 或 n9,所以 n 的最小值 为 10. 答案 10 8.某工程队有 6 项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在 工程乙完成后才能进行,工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么这 6 项工程有种不同 的完成顺序. 解析由题意,工程甲、乙、丙、丁的顺序已确定,且工程丙、丁紧挨着,则只需将余下的 2 项工程安排 好,故这 6 项工程不同的完成顺序有A4 2 + A4 1A 2 2=20(种). 答案 20 9.为配制某种染色剂,需要加入 3 种有机染料、2 种无机染料
6、和 2 种添加剂,其中有机染料的添加顺序 不能相邻.现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为.(用 数字作答) 解析先排无机染料和添加剂,有A4 4种不同的排法,再排有机染料.因为它们不能相邻,所以用插空的方 法排有机染料,有A5 3种不同的排法.故共要进行的试验次数为A 4 4A 5 3=1 440. 答案 1 440 10.某市田径集训队有 4 名队员,要参加 4100接力比赛,根据队员的训练成绩,甲不能跑第一棒,乙不 能跑第四棒,则不同的出场顺序有多少种? 解(排除法)若不考虑限制条件,4 个队员全排列有A4 4=24 种排法,减去甲跑第一棒有A 3 3种排法,乙
7、跑第 四棒有A3 3种排法,再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A 2 2种排法,共有A 4 4-2A 3 3+2=14 种不同的出场顺序. 能力提升练 1.(多选)以下选项中,属于排列问题的是() A.有 10 个车站,共需要准备多少种车票? 4 B.有 10 个车站,共有多少种不同的票价? C.平面内有 10 个点,共可作出多少条不同的有向线段? D.有 10 个同学,假期约定每两人通电话一次,共需通话多少次? 解析 A.有 10 个车站,共需要准备多少种车票?相当于从 10 个不同元素任取 2 个按一定顺序排列起来, 属于排列问题;B.有 10 个车站,共有多少种不同的票价?相当于从 10 个
8、不同元素任取 2 个并成一组, 与顺序无关,不属于排列问题;C.平面内有 10 个点,共可作出多少条不同的有向线段?相当于从 10 个 不同元素任取 2 个按一定顺序排列起来,属于排列问题;D.有 10 个同学,假期约定每两人通电话一次, 共需通话多少次?相当于从 10 个不同元素任取 2 个并成一组,与顺序无关,不属于排列问题.故选 AC. 答案 AC 2.(2020 山东潍坊高二检测)中国诗词大会(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的 开场诗词在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若将进酒山居秋暝望岳送 杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场,且将进酒排在望岳的前面
9、,山居秋暝 与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有() A.288 种B.144种C.720种D.360 种 解析根据题意分 2 步进行分析:将将进酒,望岳和另外两首诗词共 4 首诗词全排列,则有 A4 4=24 种顺序. 将进酒排在望岳的前面,这 4 首诗词的排法有 A4 4 2 =12 种. 这 4 首诗词排好后,不含最后,有 4 个空位,在 4 个空位中任选 2 个,安排山居秋暝与送杜 少府之任蜀州,有A4 2=12 种安排方法. 则后六场的排法有 1212=144 种. 故选 B. 答案 B 3.(多选)(2020山东济南高三月考)6 本不同的书摆放在书架的同一层上,
10、要求甲、乙两本书必须摆放 在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()种 A.24B.36 5 C.A2 2A 3 3A 2 2 D.A2 2A 4 4 解析第一步:甲、乙两本书必须摆放在两端,有A2 2种排法; 第二步:丙、丁两本书必须相邻视为整体与其他两本共三本,有A2 2A 3 3种排法;A 2 2A 3 3A 2 2=24.故选 AC. 答案 AC 4.(2019 天津高三检测)某老师一天上 3 个班级的课,每班一节,如果一天共 9 节课,上午 5 节,下午 4 节, 且老师不能连上 3 节课(第 5 节和第 6 节不算连上),那么这位老师一天的课表的所有排法有 种. 解析从
11、9 节课中任意安排 3 节共有A9 3=504 种, 其中上午 5 节课连排 3 节共有 3A3 3=18 种; 下午 4 节课连排 3 节共有 2A3 3=12 种. 老师一天课表的所有排法共有 504-18-12=474 种. 答案 474 5.(2019 山东师范大学附中高二期中)已知A? 7-A?5 A? 5 =89,则 n 的值为. 解析由题A? 7 A? 5=90,得(n-5)(n-6)=90,解得 n=15. 答案 15 6.两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的排法有种,两位女同学相邻 的概率是. 解析两位女同学相邻的排法共有A2 2A 3 3=26=12 种排
12、法,四位同学排成一列共有A 4 4=432=24 种排 法,所以两位女同学相邻的概率 P=12 24 ? 1 2. 答案 12 1 2 6 7.(2019 山西高二月考)某次文艺晚会上共演出 7 个节目,其中 2 个歌曲,3个舞蹈,2 个曲艺节目,求分别 满足下列条件的节目编排方法有多少种?(用数字作答) (1)一个歌曲节目开头,另一个歌曲节目放在最后压台; (2)2 个歌曲节目相邻且 2 个曲艺节目不相邻. 解(1)根据题意,分 2 步进行分析: 要求 2 个歌曲节目 1 个在开头,另一个在最后,有A2 2=2 种安排方法, 将剩下的 5 个节目全排列,安排在中间,有A5 5=120 种安排
13、方法, 则一共有 2120=240 种安排方法; (2)根据题意,分 3 步进行分析: 2 个歌曲节目相邻,将其看成一个整体,有A2 2=2 种情况, 将这个整体与 3 个舞蹈节目全排列,有A4 4=24 种情况,排好后有 5 个空位, 在 5 个空位中任选 2 个,安排 2 个曲艺节目,有A5 2=20 种情况, 则一共有 22420=960 种安排方法. 8.用 0,1,2,3,4 五个数字组成无重复数字的四位数. (1)有多少个四位偶数? (2)若按从小到大排列,3 204 是第几个数? 解(1)方法一:先排个位数字,分两类:0 在个位时有A4 3种;2 或 4 在个位时按个位、千位、十
14、位和百 位的顺序排,有A2 1A 3 1A 3 2种,故共有A 4 3 + A2 1A 3 1A 3 2=60 个四位偶数. 方法二:(间接法)若无限制条件,总排列数为A5 4,其中不符合条件的有两类:0 在千位,有A 4 3种;1 或 3 在个位,有A2 1A 3 1A 3 2种,则四位偶数有A 5 4 ? A4 3 ? A2 1A 3 1A 3 2=60 个. (2)由高位到低位逐级分为:千位是 1 或 2 时,有A2 1A 4 3个;千位是 3 时,百位可排 0,1 或 2.()当 百位排 0,1 时,有A2 1A 3 2个,()当百位排 2 时,比 3 204 小的仅有 3 201 一
15、个,故比 3 204 小的四位数共有 A2 1A 4 3 + A2 1A 3 2+1=61 个,3 204是第 62 个数. 7 素养培优练 1.解不等式A?-2 2 +x2. 解由A?-2 2 +x2,得(x-2)(x-3)+x2, 即 x2-5x+6+x2, x2-4x+40,即(x-2)20,恒成立,x-22,x4. 即不等式的解集为x|x4 且 xN+. 2.现有 5 名男生和 3 名女生站成一排照相. (1)3 名女生站在一起,有多少种不同的站法? (2)3 名女生次序一定,但不一定相邻,有多少种不同的站法? (3)3 名女生不站在排头和排尾,也互不相邻,有多少种不同的站法? (4)
16、3 名女生中,A,B 要相邻,A,C 不相邻,有多少种不同的站法? 解(1)根据题意,分 2 步分析: 3 名女生看成一个整体,考虑其顺序有A3 3=6 种情况, 将这个整体与 5 名男生全排列,有A6 6=720 种情况, 则 3 名女生排在一起的排法有 6720=4 320种. (2)根据题意,将 5 人排到 8 个位置,有A8 5种排法, 由于 3 名女生次序一定,就一种排法, 则其排法有A8 5=6 720 种排法. (3)根据题意,分 2 步分析: 将 5 名男生全排列,有A5 5=120 种情况, 除去两端,有 4 个空位可选,在其中任选 3 个,安排 3 名女生,有A4 3=24
17、 种情况,则 3 名女生不站在 排头和排尾,也互不相邻的排法有 12024=2 880 种. 8 (4)根据题意,分 2 种情况分析: A,B,C 三人相邻,则 B 在中间,A,C 在两边,三人有A2 2=2 种排法,将 3 人看成一个整体,与 5 名男生 全排列,有A6 6=720 种情况,则此时有 2720=1 440种排法; A,B,C 三人不全相邻,先将 5 名男生全排列,有A5 5=120种情况,将 A,B 看成一个整体,有A 2 2=2 种 情况,再和 C 一起安排在 5 名男生形成的 6 个空位中,有A6 2种情况.此时有 1202A 6 2=7 200 种,则 3 名 女生中,A,B要相邻,A,C 不相邻的排法有 1 440+7 200=8 640 种排法.
