1、1 4.1.2乘法公式与全概率公式乘法公式与全概率公式4.1.3独立性与条独立性与条 件概率的关系件概率的关系 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(2019 天津高二期中)某闯关游戏规则如下:在主办方预设的 6 个问题中,选手若能连续正确回答出 两个问题,即停止答题,闯关成功,假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.6,且每个问题的回答结 果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就闯关成功的概率等于() A.0.064B.0.144C.0.216D.0.432 解析选手恰好回答了 4 个问题就闯关成功,则第 2 个问题不正确,第 3,4 个问题正确. 故 P=0.60.40.60.6+0.4
2、0.40.60.6=0.144.故选 B. 答案 B 2.(多选)下列各对事件中,不是相互独立事件的有() A.运动员甲射击一次,“射中 9 环”与“射中 8 环” B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中 10 环”与“乙射中 9 环” C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有 1 人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” 解析在 A 中,甲射击一次,“射中 9 环”与“射中 8 环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立; 在 B 中,甲、乙各射击一次,“甲射中 10 环”发生与否对“乙射中 9 环”的概率
3、没有影响,二者相互 独立; 在 C 中,甲,乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者 是互斥事件,不独立; 2 在 D 中,设“至少有 1 人射中目标”为事件 A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件 B,则 AB=B,因 此当 P(A)1 时,P(AB)P(A)P(B),故 A,B 不独立.故选 ACD. 答案 ACD 3.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为 0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的 概率为 0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为 0.9.则透镜落地 3 次以内(含 3 次)被打破 的概率是() A.0.378
4、B.0.3C.0.58D.0.958 解析透镜落地 3 次,恰在第一次落地打破的概率为 P1=0.3,恰在第二次落地打破的概率为 P2=0.70.4=0.28,恰在第三次落地打破的概率为 P3=0.70.60.9=0.378,落地 3 次以内被打破的概 率 P=P1+P2+P3=0.958.故选 D. 答案 D 4.(2019 陕西西安中学高二期中)甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每 局比赛中胜的概率为2 3,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了 3 局的概率 为. 解析根据题意,甲获得冠军的概率为2 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 1 3 ?
5、 2 3 ? 1 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 20 27,其中,比赛进行了 3 局的概率为 2 3 ? 1 3 ? 2 3 ? 1 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 8 27,所以,在甲获得冠军的条件下,比赛进行了 3 局的概率为 P= 8 27 20 27 ? 2 5. 答案2 5 5.(2019 吉林高二期中)甲、乙两名射击运动员分别对一目标射击一次,甲射中的概率为 0.8,乙射中的 概率为 0.9,求: (1)2 人都射中目标的概率; (2)2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (3)2 人至少有 1 人射中目标的概率. 3 解记“甲射击 1 次,击中目标”为事件 A,“乙射击 1 次
6、,击中目标”为事件 B,则 A 与 B,?与 B,A 与?,?与? 相互独立, (1)2 人都射中的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.72,所以 2 人都射中目标的概率是 0.72. (2)“2 人各射击 1 次,恰有 1 人射中目标”包括两种情况:一种是甲击中、乙未击中(事件 A?发生), 另一种是甲未击中、乙击中(事件?B 发生),根据题意,事件 A?与?B 互斥,根据互斥事件的概率加法公 式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为 P(A?)+P(?B)=P(A)P(?)+P(?)P(B)=0.8(1- 0.9)+(1-0.8)0.9=0.08+0.18=0.26
7、, 所以 2 人中恰有 1 人射中目标的概率是 0.26. (3)方法 12 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”2 种情况,其概率为 P=P(AB)+P(A?)+P(?B)=0.72+0.26=0.98. 方法 2“2 人至少有一个击中”与“2 人都未击中”为对立事件,2 个都未击中目标的概率 是 P(?)=P(?)P(?)=(1-0.8)(1-0.9)=0.02, 所以“两人至少有 1 人击中目标”的概率为 P=1-P(? ?)=1-0.02=0.98. 能力提升练 1.(多选)下列各对事件中,M,N 是相互独立事件的有() A.掷 1 枚质地均匀的骰子一次,事
8、件 M=“出现的点数为奇数”,事件 N=“出现的点数为偶数” B.袋中有 5 个白球,5 个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件 M=“第 1 次摸到红球”,事 件 N=“第 2 次模到红球” C.分别抛掷 2 枚相同的硬币,事件 M=“第 1 枚为正面”,事件 N=“两枚结果相同” D.一枚硬币掷两次,事件 M=“第一次为正面”,事件 N=“第二次为反面” 解析在 A 中,P(MN)=0,所以 M,N 不相互独立; 在 B 中,第 1 次摸到红球对第 2 次摸到红球有影响,所以不是相互独立事件; 在 C 中,P(M)=1 2,P(N)= 1 2,P(MN)= 1 4,P(MN)=
9、P(M)P(N),因此 M,N 是相互独立事件; 4 在 D 中,第一次为正面对第二次的结果没有影响,因此 M,N 是相互独立事件. 故选 CD. 答案 CD 2.(2020 辽宁高一期末)从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为1 5,身体关节构造 合格的概率为1 4.从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与 否相互之间没有影响)() A.13 20 B.2 5 C.1 4 D.1 5 解析设事件 A:“从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格”,则其对立事件 B:“从中任挑一儿童,这两项 都不合格”,由题可知,儿童体型不合格的概率为4 5,身体关
10、节构造不合格的概率为 3 4,所以 P(B)= 4 5 ? 3 4 ? 3 5, 故 P(A)=1-P(B)=1-3 5 ? 2 5.故选 B. 答案 B 3.(2019 北京高二期末)甲、乙、丙、丁 4 个人进行网球比赛,首先甲、乙一组,丙、丁一组进行比赛, 两组的胜者进入决赛,决赛的胜者为冠军、败者为亚军.4 个人相互比赛的胜率如下表所示,表中的数 字表示所在行选手击败其所在列选手的概率. 甲 乙 丙 丁 甲0.30.30.8 乙0.70.60.4 丙0.70.40.5 丁0.20.60.5 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是() A.0.15B.0.105C.0.045D.0.21 5 解析
11、甲、乙比赛甲获胜的概率是 0.3, 丙、丁比赛丙获胜的概率是 0.5, 甲、丙决赛甲获胜的概率是 0.3, 根据独立事件的概率等于概率之积, 所以甲得冠军且丙得亚军的概率为 0.30.50.3=0.045.故选 C. 答案 C 4.(2020 天津高三期末)某中学组织高三学生进行一项能力测试,测试内容包括 A,B,C 三个类型问题,这 三个类型所含题目的个数分别占总数的1 2, 1 3, 1 6.现有 3 名同学独立地从中任选一个题目作答,则他们选 择的题目所属类型互不相同的概率为() A. 1 36 B. 1 12 C.1 6 D.1 3 解析 3 名同学选择的题目所属类型互不相同,则 A,
12、B,C 三个类型的问题都要入选,则 3 名同学的选法 共有A3 3=6 种情况,每个类型入选的可能为1 2, 1 3, 1 6,所以全部入选的概率为 1 2 ? 1 3 ? 1 6 ? 1 36,则 3 名同学所 选不同类型的概率为 6 1 36 ? 1 6.故选 C. 答案 C 5.(2019 甘肃武威第五中学高二月考)已知 5 个乒乓球,其中 3 个新的,2 个旧的,每次取 1 个,不放回地 取两次,求: (1)第一次取到新球的概率; (2)第二次取到新球的概率; (3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率. 解设第 i 次取到新球为 Ai事件,第 j 次取到旧球为 Bj事件.(i
13、,j=1,2) (1)P(A1)=3 5. 6 (2)第二次取到新球为 C 事件,P(C)=P(A1A2)+P(B1A2)=3 5 ? 2 4 ? 2 5 ? 3 4 ? 3 5. (3)P(A2|A1)=3?2 3?4 ? 1 2. 6.在一个选拔节目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考 核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为5 6, 3 4 , 5 6, 1 3,且各轮问题 能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 解设事件 Ai(i=1,2,3,4)表示
14、“该选手能正确回答第 i 轮问题”,则 P(A1)=5 6,P(A2)= 3 4,P(A3)= 5 6,P(A4)= 1 3. (1)设事件 B 表示“该选手进入第三轮才被淘汰”, 则 P(B)=P(A1A2?3)=P(A1)P(A2)P(?3)=5 6 ? 3 4 1- 5 6 = 5 48. (2)设事件 C 表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则 P(C)=P(?1+A1?2+A1A2?3)=P(?1)+P(A1?2)+P(A1A2?3)=1-5 6 ? 5 6 1- 3 4 +5 6 ? 3 4 1- 5 6 =23 48. 素养培优练 1.事件 A,B,C 相互独立,如果 P(AB)
15、=1 6,P(?C)= 1 8,P(AB?)= 1 8,则 P(B)= ,P(?B)=. 解析由题意得 ?(?)?(?) ? 1 6, ?(?)?(?) ? 1 8, ?(?)?(?)?(?) ? 1 8 , 解得 P(A)=1 3,P(B)= 1 2. 7 所以 P(?B)=P(?)P(B)=2 3 ? 1 2 ? 1 3. 答案1 2 1 3 2.(2020 浙江高三专题练习)眉山市位于四川西南,有“千载诗书城,人文第一州”的美誉,这里是大文豪 苏轼、苏洵、苏辙的故乡,也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周,为了丰富游客的文化生活, 每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、
16、乙两队参赛,每队 3 人,每人回答一个问题, 答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为2 3,乙队中 3 人答对的概率分别 为2 3, 2 3, 1 2,且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为 0 分,2 分的概率; (2)求甲队得 2 分乙队得 1 分的概率. 解(1)记“甲队总得分为 0 分”为事件 A,“甲队总得分为 2 分”为事件 B,甲队总得分为 0 分,即甲队三人 都回答错误,其概率 P(A)= 1-2 3 3=1 27. 甲队总得分为 2 分,即甲队三人中有 1 人答错,其余两人答对,其概率 P(B)=3 2 3 2 1-2 3 =4
17、 9. (2)记“乙队得 1 分”为事件 C,“甲队得 2 分乙队得 1 分”为事件 D. 事件 C即乙队三人中有 2 人答错,其余 1 人答对, 则 P(C)= 1-2 3 2 3 1- 1 2 +2 3 1- 2 3 1-1 2 + 1-2 3 1-2 3 1 2 ? 5 18, 甲队得 2 分乙队得 1 分即事件 B,C 同时发生, 则 P(D)=P(B)P(C)=4 9 ? 5 18 ? 10 81. 3.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据: 元件制造 厂 次品 率 提供元件的份 额 8 10.020.15 20.010.80 30.030.
18、05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志. (1)在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率; (2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,求出此次品由三家工厂 生产的概率分别是多少? 解设 A 表示“取到的是一只次品”,Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第 i 家工厂提供的”. 易知,B1,B2,B3是样本空间 S 的一个划分,且有 P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03. (1)由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.012 5. (2)由贝叶斯公式 P(B1|A)=?(?|?1)?(?1) ?(?) ? 0.02?0.15 0.012 5 =0.24. 同理 P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12. 以上结果表明,这只次品来自第 2 家工厂的可能性最大.
